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4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
课标要求　1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系. 2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.
【引入】 直线与圆相交求弦长，一般用弦心距结合勾股定理解决，也可求出交点坐标直接利用公式求两交点间的距离，当弦所在直线斜率存在且不为零时，还可以用弦长公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|求解，那么如何求圆锥曲线的弦长呢
一、圆锥曲线的弦长公式
探究 已知直线l:y=kx+m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示.


【知识梳理】
圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|=·|x1-x2|=　　　　　　　　=·|y1-y2|=　　　　　　　　.
温馨提示　(1)对于斜率不确定时，需讨论斜率存在或不存在两种情况.
(2)利用弦长公式的前提条件是直线与圆锥曲线相交且有两个交点(即满足Δ>0).
例1 若直线y=x-1与双曲线x2-=1相交于A，B两点，求|AB|.





思维升华　求弦长的两种方法
(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解，
(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解，注意隐含条件Δ>0，另外对抛物线y2=2px(p>0)过焦点的弦长，用|AB|=x1+x2+p更为简单.
训练1 (1)已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F，交椭圆于A，B两点，则|AB|=　　　　.
(2)已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长|AB|=3，则m的值为　　　　.
二、圆锥曲线的中点弦问题
例2 已知双曲线方程为3x2-y2=3.
(1)求以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程;
(2)以定点B(1，1)为中点的弦存在吗 若存在，求出其所在的直线方程;若不存在，请说明理由.




思维升华　(1)若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B，一般先设出交点坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程，通过作差，构造出x1+x2，y1+y2，x1-x2，y1-y2，从而建立中点坐标和斜率的关系.
(2)常用结论
①对于椭圆+=1(a>b>0)，弦AB(不过原点，且不垂直于坐标轴)的中点M(x0，y0)，则有kAB·kOM=-=e2-1.
②对于双曲线-=0(a>0，b>0)，弦AB(不过原点，且不垂直于坐标轴)的中点为M(x0，y0)，则有kAB·kOM==e2-1.
③对于抛物线y2=2px(p>0)，弦AB(不垂直于坐标轴)的中点为M(x0，y0)，则有kAB=.
训练2 (1)直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于 (　　)
A.2或-2 B.-1
C.2 D.3
(2)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的离心率为 (　　)
A. B.
C. D.


三、圆锥曲线弦长的最值(范围)问题
例3 (链接教材P81例6)过椭圆C:+=1的中心的直线l交C于A，B两点，求|AB|的取值范围.




思维升华　求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法:利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法:利用数与形的结合，挖掘几何特性，进而求解.
(3)函数法:探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解.
训练3 (1)(链接教材P83练习T2)直线l经过原点且交椭圆+=1于M，N两点，则|MN|的最大值为　　　　;此时直线l的方程为　　　　.
(2)(链接教材P90复习题二C组T3)直线l:mx-y+1=0与椭圆C:+y2=1交于A，B两点，则|AB|的最大值为　　　　.


【课堂达标】
1.已知等轴双曲线(实轴长等于虚轴长)的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y=x交于A，B两点，若|AB|=2，则该双曲线的方程为 (　　)
A.x2-y2=6 B.x2-y2=9
C.x2-y2=16 D.x2-y2=25
2.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为 (　　)
A. B.
C. D.
3.过双曲线x2-=1的左焦点F1作倾斜角为的弦AB，则|AB|的长为　　　　.
4.过点(1，0)作斜率为-2的直线，与抛物线y2=8x交于A，B两点，则弦AB的长为　　　　.
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
探究　提示　|AB|=
=|x1-x2|(x1≠x2)
=.
知识梳理
　
　
例1　联立直线与双曲线方程得方程组
消去y，得x2+2x-3=0. ①
法一　由方程①解得x1=1，x2=-3，代入y=x-1得y1=0，y2=-4，
于是不妨设A，B两点的坐标分别为(1，0)，(-3，-4)，
则|AB|=.
法二　设方程①的两根分别为x1，x2，由根与系数的关系得x1+x2=-2，x1x2=-3，
则(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16，
则|AB|=.
训练1　(1)　(2)-4　[(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由椭圆方程可知，右焦点F(，0)，
因为直线斜率为1，且过点F，
则l:y=x-，
联立
消去y整理得，5x2-8x+8=0，
所以x1+x2=，x1x2=.
所以|AB|=
=.
(2)由
得4x2+4(m-1)x+m2=0.
Δ=16[(m-1)2-m2]=16(-2m+1)>0，
所以m<.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=1-m，x1x2=.
所以|AB|=
=
=.
因为|AB|=3，所以，解得m=-4.]
例2　解　(1)设以定点A(2，1)为中点的弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
可得x1+x2=4，y1+y2=2，①
由端点在双曲线上，可得3=3，3=3，
两式相减可得3(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)，将①代入上式，
可得以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线斜率为=6，
则以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=6(x-2)，即为y=6x-11，
代入双曲线的方程可得33x2-132x+124=0，由Δ=(-132)2-4×33×124=1 056>0，故所求直线存在，方程为y=6x-11.
(2)假设定点B(1，1)为中点的弦存在，
设以定点B(1，1)为中点的弦的端点坐标为(x3，y3)，(x4，y4)，
可得x3+x4=y3+y4=2，②;由端点在双曲线上，可得3=3，3=3，
两式相减可得3(x3-x4)(x3+x4)=(y3-y4)(y3+y4)，将②代入上式，
可得以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为=3，
则以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=3(x-1)，即为y=3x-2，
代入双曲线的方程可得6x2-12x+7=0，由Δ=(-12)2-4×6×7=-24<0，
可得所求直线不存在，
故以定点B(1，1)为中点的弦不存在.
训练2　(1)C　(2)B　[(1)显然k≠0，联立直线与抛物线方程得消去y，整理得k2x2-4(k+2)x+4=0.
由Δ>0，得k>-1.所以x1+x2==4，所以k=2或k=-1(舍去).
(2)令AB的中点为M，坐标为(1，-1)，则kAB=kMF=，kOM=-1.
因为A，B两点是直线与椭圆的交点，且焦点在x轴，所以kAB·kOM=-=e2-1，则e=，故选B.]
例3　解　法一　考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，所以|AB|=2|OA|=2.
因为点A在椭圆C上，所以=4，整理，得.
将其代入上式，消去xA可得|AB|=2.
0≤≤2，所以2≤|AB|≤4.
法二　当直线l的斜率不存在时(如图1)，直线l:x=0，代入椭圆方程解得A(0，)，B(0，-)，所以|AB|=2.
图1
当直线l的斜率存在时，(如图2)设直线l的方程为y=kx.将椭圆方程化简，整理，得x2+2y2=4.
图2
将直线和椭圆方程联立，得
将②代入①，
得x2+2(kx)2=4，
化简、整理，得(2k2+1)x2=4. ③
显然，无论k取何值，方程③都有实数解，
不妨取xA=，xB=-.
由两点间的距离公式，可得|AB|=
. ④
为了便于求|AB|的取值范围，将④进行变形整理，得|AB|=4.
因为4k2+2≥2，由不等式的性质可得
0<，
所以2<|AB|≤4.
综上，|AB|的取值范围为[2，4].
训练3　(1)4　y=0　(2)　[(1)考虑到直线l与椭圆的两个交点M，N是关于对称中心原点O对称的，所以|MN|=2|OM|=2.
因为点M在椭圆上，
所以3=12，得，
代入上式|MN|=2
=2.
又xM∈[-2，2]，
所以|MN|max=2=4，
此时点M(2，0)或(-2，0)，
直线l的方程为y=0.
(2)法一　由
可得(4m2+1)x2+8mx=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
所以|AB|=
=8
=2.
令t=m2+，则t≥，
且|AB|=2
=.
当时，|AB|取得最大值.
法二　由mx-y+1=0，得直线l恒过椭圆短轴端点(0，1)，设直线l与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(0，1)，
则|AB|==
.
由椭圆性质可得y1∈[-1，1)，
所以当y1=-时，|AB|取得最大值.]
课堂达标
1.B　2.B　3.3　4.2　(共62张PPT)
4.2　直线与圆锥曲线的综合问题
第二章 §4　直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求
1.进一步熟悉直线与圆锥曲线的位置关系.
2.掌握弦长公式，会求解与弦长有关的问题.
引入
课时精练
一、圆锥曲线的弦长公式
二、圆锥曲线的中点弦问题
三、圆锥曲线弦长的最值（范围）问题
课堂达标
内容索引
圆锥曲线的弦长公式
一
探究 已知直线l：y＝kx＋m上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的长度如何表示.
知识梳理
温馨提示
(1)对于斜率不确定时，需讨论斜率存在或不存在两种情况.
(2)利用弦长公式的前提条件是直线与圆锥曲线相交且有两个交点(即满足Δ＞0).
例1
消去y，得x2＋2x－3＝0.①
法一　由方程①解得x1＝1，x2＝－3，代入y＝x－1得y1＝0，y2＝－4，
于是不妨设A，B两点的坐标分别为(1，0)，(－3，－4)，
法二　设方程①的两根分别为x1，x2，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－2，x1x2＝－3，
则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，
求弦长的两种方法
(1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解，
(2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解，注意隐含条件Δ＞0，另外对抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点的弦长，用|AB|＝x1＋x2＋p更为简单.
思维升华
训练1
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
-4
圆锥曲线的中点弦问题
二
例2
已知双曲线方程为3x2－y2＝3.
(1)求以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程；
设以定点A(2，1)为中点的弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则以定点A(2，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝6(x－2)，
即为y＝6x－11，
代入双曲线的方程可得33x2－132x＋124＝0，由Δ＝(－132)2－4×33×124＝
1 056＞0，故所求直线存在，方程为y＝6x－11.
(2)以定点B(1，1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由.
假设定点B(1，1)为中点的弦存在，
设以定点B(1，1)为中点的弦的端点坐标为(x3，y3)，(x4，y4)，
可得x3＋x4＝y3＋y4＝2，②；
则以定点B(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y－1＝3(x－1)，
即为y＝3x－2，
代入双曲线的方程可得6x2－12x＋7＝0，
由Δ＝(－12)2－4×6×7＝－24＜0，
可得所求直线不存在，
故以定点B(1，1)为中点的弦不存在.
思维升华
(1)直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A，B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于
A.2或－2 B.－1 C.2 D.3
训练2
√
√
圆锥曲线弦长的最值(范围)问题
三
例3
法一　考虑到直线l与椭圆C的两个交点A，B是关于中心O对称的，
法二　当直线l的斜率不存在时(如图1)，
图1
图2
思维升华
求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理.
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特性，进而求解.
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解.
训练3
4
考虑到直线l与椭圆的两个交点M，N是关于对称中心原点O对称的，
y＝0
可得(4m2＋1)x2＋8mx＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
【课堂达标】
√
√
设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，
3
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
4.过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________.
【课时精练】
√
√
2.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，且|AB|＝8，那么抛物线方程为
A.y2＝2x B.y2＝4x
C.y2＝8x D.y2＝6x
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋p＝8，
所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
√
设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以此弦所在的直线方程为y－2＝4(x－2)，
即4x－y－6＝0.
√
√
√
√
由题意得F(1，0)，直线AB的斜率不为0，
6.直线AB过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，且线段AB的中点的横坐标是3，则直线AB的斜率是________.
1或－1
设直线AB的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得y2－4my－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4，
所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2＝2×3，解得m＝±1，
所以直线AB的方程为x＝±y＋1，所以kAB＝±1.
得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，
Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，
即a2＋4b2＞9.
由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可设为y＝kx＋1，代入x2＝4y，整理得x2－4kx－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，
8.已知抛物线x2＝4y的焦点为F，经过F的直线与抛物线相交于A，B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________.
√
(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求|AB|的最大值.
设直线AB的方程为y＝－x＋m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
14.已知抛物线C： y2 ＝4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A，B两点，直线l2与抛物线C交于D，E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|＋|DE|的最小值为________.
24
抛物线C：y2＝4x的焦点为F(1，0)，
设直线l1：y＝k1(x－1)，l2：y＝k2(x－1)，
由题意可知k＋k＝1.
上式“＝”成立，
所以|AB|＋|DE|的最小值为24.第二章　课时精练30　直线与圆锥曲线的综合问题
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是(　　)
2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为(　　)
y2=2x y2=4x
y2=8x y2=6x
3.已知(2,2)是双曲线=1一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为(　　)
x+4y-10=0 2x-y-2=0
4x+y-10=0 4x-y-6=0
4.(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点F1,F2在y轴上,短轴长为2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是(　　)
椭圆C的方程为x2+=1 椭圆C的方程为+y2=1
|PQ|= △PF2Q的周长为4
5.已知抛物线y2=2x,过点P(2,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值为(　　)
4 10
6 8
6.直线AB过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点,且线段AB的中点的横坐标是3,则直线AB的斜率是　　　　.
7.直线x-2y+3=0与椭圆=1(a>b>0)相交于A,B两点,且P(-1,1)恰好为AB的中点,则椭圆的离心率为　　　　.
8.已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是　　　　.
9.(15分)已知抛物线方程为y2=2px(p>0),过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A,B两点,且|AB|=p,求AB所在直线的方程.
10.(15分)已知直线l:x+y=1与双曲线C:-y2=1(a>0).
(1)若a=,求l与C相交所得的弦长;
(2)若l与C有两个不同的交点,求双曲线C的离心率e的取值范围.
二、综合运用
选择题每小题5分,共5分
11.已知椭圆G:=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则G的方程为(　　)
=1
=1
12.设直线l:3x+4y-6=0,椭圆C:+y2=1,将椭圆C绕着其中心O逆时针旋转90°(旋转过程中椭圆C的大小形状不变,只是位置变化)与椭圆C':+x2=1重合,旋转过程中椭圆C与直线l交于A,B两点,则|AB|的最大值为　　　　.
13.(15分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,且点P(2,1)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)斜率为-1的直线与椭圆C相交于A,B两点,求|AB|的最大值.
三、创新拓展
14.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于D,E两点,若l1与l2的斜率的平方和为1,则|AB|+|DE|的最小值为　　　　.
课时精练30　直线与圆锥曲线的综合问题
1.B　2.B　3.D　4.ACD　5.D　
6.1或-1　[由题意得F(1，0)，直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为x=my+1，与抛物线方程联立得y2-4my-4=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系得y1+y2=4m，y1·y2=-4，
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2=2×3，解得m=±1，
所以直线AB的方程为x=±y+1，所以kAB=±1.]
7.　[由消去x，
得(4b2+a2)y2-12b2y+9b2-a2b2=0，
Δ=144b4-4(a2+4b2)(9b2-a2b2)>0，
即a2+4b2>9.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=.
∵线段AB的中点为(-1，1)，
∴=2，于是得a2=2b2.
又a2=b2+c2，∴a2=2c2，∴e=.]
8.2　[由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在，故AB所在的直线方程可设为y=kx+1，代入x2=4y，整理得x2-4kx-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k，
由y=kx+1可得y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2，|AB|=y1+y2+p=4k2+4，
故所截弦长为2，当k=0时弦长取最小值.]
9.解　由题意知焦点F，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x轴，则|AB|=2p所以直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y=k，k≠0.
由消去y，
整理得k2x2-(k2p+2p)x+=0.
由根与系数的关系得x1+x2=p+.
所以|AB|=x1+p，解得k=±2.
所以AB所在直线的方程为y=2
或y=-2，
即2x-y-p=0或2x+y-p=0.
10.解　(1)当a=时，双曲线C的方程为4x2-y2=1，
联立消去y，
得3x2+2x-2=0.
设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-，x1x2=-，
于是|AB|=.
(2)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中消y得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0，
所以
解得0又双曲线的离心率e=，
所以e>，
即离心率e的取值范围是∪(，+∞).
11.D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减并化简得-，
即-，
所以，
即a2=2b2，
由于a2=b2+c2且c=3，
因此可得a2=18，b2=9，
故椭圆G的方程为=1.]
12.　[由运动的相对性，可把椭圆视为不动，直线l绕原点旋转，原点到直线l的距离为，
设直线在旋转过程中的方程为y=kx+m，其中，所以m2=(1+k2)，联立直线方程y=kx+m与椭圆C的方程得x2+2kmx+m2-1=0，
所以Δ=4k2+1-m2=，
由弦长公式得|AB|=
=，
令4k2+1=t，
所以|AB|=
=.
当且仅当k2=时取等号，经检验此时Δ>0，符合题意，故|AB|max=.]
13.解　(1)由题意得
∴
∴椭圆C的方程为=1.
(2)设直线AB的方程为y=-x+m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得3x2-4mx+2m2-6=0，
∴
∴|AB|=|x1-x2|
=
=，
当m=0时，满足Δ>0，|AB|max=4.
14.24　[抛物线C:y2=4x的焦点为F(1，0)，
设直线l1:y=k1(x-1)，l2:y=k2(x-1)，
由题意可知=1.
联立
整理得x2-(2+4)x+=0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=.
设D(x3，y3)，E(x4，y4)，
同理可得x3+x4=2+.
由抛物线的性质可得
|AB|=x1+x2+p=4+，|DE|=x3+x4+p=4+，
所以|AB|+|DE|=8+=24，当且仅当时，上式“=”成立，
所以|AB|+|DE|的最小值为24.]

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