资源简介

1.2　空间两点间的距离公式
课标要求　1.了解空间中点坐标公式. 2.掌握并能推导空间两点间的距离公式.
3.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
【引入】 距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为长度为|P1P2|=，那么在空间直角坐标系中，已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点坐标和长度又如何求呢
一、空间中点坐标公式
探究1 方程x2+y2+z2=1表示以原点为球心，1为半径长的一个球面(如图)，写出它与x轴的交点A1，A2的坐标，A1，A2与球心O它们的坐标有什么关系






【知识梳理】
已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标为
.
温馨提示　若点P1关于点P0的对称点为点P2，则P0为P1P2的中点.
　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (1)空间直角坐标系中，已知点P(2，-1，3)，M(-1，2，3)，若PQ的中点为M，则点Q的坐标为 (　　)
A.(4，1，1) B.(-4，5，3)
C.(4，-3，1) D.(-5，3，4)
(2)如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，以O为坐标原点，OA，OC，OO'所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，|OA|=2，|AB|=3，|AA'|=2，M是OB'与BO'的交点，则点M的坐标为　　　　.




思维升华　在空间中，运用中点坐标公式可以解决一些难以直接求出的点的坐标确定问题.
训练1 (1)在空间直角坐标系中，点P(-2，1，4)关于点M(2，-1，-4)对称的点Q的坐标是 (　　)
A.(0，0，0) B.(2，-1，-4)
C.(6，-3，-12) D.(-2，3，12)
(2)已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，-5，1)，C(3，7，-5)，则点D的坐标为 (　　)
A. B.(2，3，1)
C.(-3，1，5) D.(5，13，-3)



二、空间两点间的距离公式
探究2 在空间直角坐标系中，点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求


探究3 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求


【知识梳理】
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|=　　　　　　　　.
温馨提示　公式特征:同名坐标差的平方和的算术平方根.
例2 (链接教材P97习题3-1B组T1)如图，正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC'|.求|MN|的长.






思维升华　1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
训练2 已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).
(1)求△ABC中最短边的边长;
(2)求AC边上中线的长度.






三、利用距离公式求空间点的坐标或参数
例3 (链接教材P97习题3-1A组T6)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，-3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形 若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由.






思维升华　由空间两点间距离公式求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
训练3 (1)在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|=，则实数a的值是 (　　)
A.3或5 B.-3或-5
C.3或-5 D.-3或5
(2)设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，-1)的距离的2倍，则点P的坐标为　　　　.




四、空间距离的最值
例4 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP=a，当a为何值时，NP的长最小






思维升华　空间距离的最值问题常用函数方法求解.
训练4 如图，在棱长为1的正方体B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O-xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P'的坐标;
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.






【课堂达标】
1.已知A(-1，2，7)，B(-3，-10，-9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是 (　　)
A.(4，8，2) B.(4，2，8)
C.(4，2，1) D.(2，4，1)
2.空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和点B(2，-1，6)的距离是 (　　)
A.2 B.2
C.9 D.
3.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|=2，则实数x的值是　　　　.
4.已知点A(1，a，-5)，B(2a，-7，-2)，则|AB|的最小值为　　　　.
1.2　空间两点间的距离公式
探究1　提示　A1(1，0，0)，A2(-1，0，0).球心O的横、纵、竖坐标分别等于A1，A2横、纵、竖坐标和的一半.
例1　(1)B　(2)　[(1)设点Q的坐标为(a，b，c)，
则∴点Q的坐标为(-4，5，3).故选B.
(2)因为几何体OABC-O'A'B'C'是长方体，所以OB'与BO'是体对角线，故M是体对角线的交点，所以M是OB'的中点，因为|OA|=2，|AB|=3，|AA'|=2，所以B'(2，3，2)，又O(0，0，0)，所以M.]
训练1　(1)C　(2)D　[(1)根据题意知，M为线段PQ的中点，设Q(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6，y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12，∴Q(6，-3，-12).故选C.
(2)连接AC，BD交于点P(图略)，则P为AC与BD的中点，由A，C两点坐标求得中点P，再由B(2，-5，1)，求得点D的坐标为(5，13，-3).]
探究2　提示　如图，
|OP|=，
|OA|=|x0|，|OB|=|y0|，|OC|=|z0|，
|OP|=.
探究3　提示　作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，
由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)，
|AB|=，
|AC|=|x1-x2|，|CD|=|y1-y2|，
|DB|=|z1-z2|，
|AB|=.
知识梳理
　
例2　解　建立如图所示的空间直角坐标系.
过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCO，
所以MF⊥NF，
因为|BM|=2|MC'|，
所以|BF|=2|FC|，
又|AN|=2|CN|，
所以NF∥AB，
所以|NF|=|FC|=，
同理|MF|=，
因此，点N的坐标为，点M的坐标为，
于是|MN|==.
训练2　解　(1)由空间两点间距离公式得
|AB|==3，
|BC|=，
|AC|=，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为，
∴AC边上中线的长度为.
例3　解　假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形.
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|=|MB|成立，
所以只要再满足|MA|=|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
因为|MA|=，
|AB|=2，解得y=±.
故y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形，此时点M的坐标为(0，，0)或(0，-，0).
训练3　(1)A　(2)(1，0，0)或(-1，0，0)　[(1)由已知得，
解得a=3或a=5.
(2)因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x，0，0)，
因为|PP1|=2|PP2|，
所以
=2
所以x=±1，
所以点P坐标为(1，0，0)或(-1，0，0).]
例4　解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，N(1，2，3)，
设点P的坐标为(x，y，0)，
则x=2y(0≤y≤1).
|NP|=
=
=
=，
所以当y=时，|NP|取最小值，此时a=，所以当a=时，NP的长最小.
训练4　解　(1)由题意知P的坐标为.
P关于y轴的对称点P'的坐标为.
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有
|MP|=
=，
当m=时|MP|取到最小值，
所以点M的坐标为.
课堂达标
1.D　2.D　3.-2或6　4.3　(共59张PPT)
第三章 §1　空间直角坐标系
1.2　空间两点间的距离公式
课标要求
1.了解空间中点坐标公式.
2.掌握并能推导空间两点间的距离公式.
3.能够运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
引入
课时精练
一、空间中点坐标公式
二、空间两点间的距离公式
三、利用距离公式求空间点的坐标或参数
课堂达标
内容索引
四、空间距离的最值
空间中点坐标公式
一
探究1 方程x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，1为半径长的一个球面(如图)，写出它与x轴的交点A1，A2的坐标，A1，A2与球心O它们的坐标有什么关系？
提示　A1(1，0，0)，A2(－1，0，0).球心O的横、纵、竖坐标分别等于A1，A2横、纵、竖坐标和的一半.
知识梳理
温馨提示
若点P1关于点P0的对称点为点P2，则P0为P1P2的中点.
例1
√
设点Q的坐标为(a，b，c)，
(1)空间直角坐标系中，已知点P(2，－1，3)，M(－1，2，3)，若PQ的中点为M，则点Q的坐标为
A.(4，1，1) B.(－4，5，3)
C.(4，－3，1) D.(－5，3，4)
(2)如图，在长方体OABC－O′A′B′C′中，以O为坐标原点，OA，OC，OO′所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA′|＝2，M是OB′与BO′的交点，则点M的坐标为___________.
在空间中，运用中点坐标公式可以解决一些难以直接求出的点的坐标确定问题.
思维升华
(1)在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)关于点M(2，－1，－4)对称的点Q的坐标是
A.(0，0，0) B.(2，－1，－4)
C.(6，－3，－12) D.(－2，3，12)
训练1
√
根据题意知，M为线段PQ的中点，设Q(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴Q(6，－3，－12).故选C.
√
空间两点间的距离公式
二
探究2 在空间直角坐标系中，点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？
提示　如图，
探究3 空间任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离怎么求？
提示　作长方体使A，B为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴，
由已知得，C(x2，y1，z1)，D(x2，y2，z1)，
|AC|＝|x1－x2|，|CD|＝|y1－y2|，
|DB|＝|z1－z2|，
知识梳理
已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为|PQ|＝___________________________________.
温馨提示
公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根.
例2
(链接教材P97习题3－1B组T1)如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求|MN|的长.
建立如图所示的空间直角坐标系.
过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF，
显然MF垂直于平面ABCO，
所以MF⊥NF，
因为|BM|＝2|MC′|，
所以|BF|＝2|FC|，
又|AN|＝2|CN|，
所以NF∥AB，
思维升华
1.求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
2.若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算.
已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度.
训练2
(1)由空间两点间距离公式得
利用距离公式求空间点的坐标或参数
三
例3
(链接教材P97习题3－1A组T6)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
假设在y轴上存在点M(0，y，0)，使△MAB为等边三角形.
由题意可知y轴上的所有点都能使|MA|＝|MB|成立，
所以只要再满足|MA|＝|AB|，就可以使△MAB为等边三角形.
思维升华
由空间两点间距离公式求点的坐标的方法
(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.
(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.
训练3
(1)在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是
A.3或5 B.－3或－5
C.3或－5 D.－3或5
由已知得
√
因为P在x轴上，
所以设P点坐标为(x，0，0)，
因为|PP1|＝2|PP2|，
所以x＝±1，
所以点P坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
空间距离的最值
四
例4
在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)，B(1，0，－3)，在y轴上是否存在点M，使△MAB为如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，DP＝a，当a为何值时，NP的长最小？
如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，N(1，2，3)，
设点P的坐标为(x，y，0)，则x＝2y(0≤y≤1).
思维升华
空间距离的最值问题常用函数方法求解.
训练4
如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O－xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标.
设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，
【课堂达标】
1.已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是
A.(4，8，2) B.(4，2，8) C.(4，2，1) D.(2，4，1)
√
由题意，得AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2，4，1).
√
－2或6
由空间两点间的距离公式得
4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为________.
【课时精练】
√
√
2.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为
√
由距离公式得：
3.已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，△ABC的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.
√
由题意，点P(1，1，1)关于平面xOy的对称点为M(1，1，－1)，
√
因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m，1－m，0)，
由空间两点间的距离公式，得|AB|＝
∵P在z轴上，可设P(0，0，z)，
6.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为___________.
7.已知三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为________.
设AC的中点G，
2
由距离公式
8.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝________.
∵∠BAC＝90°，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，解得x＝2.
9.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
由空间两点的距离公式得|AB|＝
10.已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求：
(1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度；
设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，
则根据中点坐标公式得
(2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
化简得4x＋6y－8z＋7＝0.
即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为
4x＋6y－8z＋7＝0.
√
设点A(3，1，2)关于平面z＝－1对称的点A1(3，1，－4)，
12.在空间直角坐标系中，以A(m，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为
A.－4 B.4
C.－6或4 D.6或4
√
已知点A(m，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)，
设△ABC是以AB为底边的等腰三角形，
则|AC|＝|BC|，
整理得53＝(m－2)2，m∈Z，所以方程无解;
设△ABC是以AC为底边的等腰三角形，
则|AB|＝|BC|，
整理得85＝(m－10)2，m∈Z，方程无解;
设△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
则|AB|＝|AC|，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB，BC，BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G，H，
连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，
∴|CH|＝|MH|＝|BG|
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.第三章　课时精练33　空间两点间的距离公式
(分值:100分)
一、基础巩固
选择题每小题5分,共25分
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(　　)
9
2.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　)
3.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),△ABC的形状是(　　)
等腰三角形 等边三角形
直角三角形 等腰直角三角形
4.一束光线自点P(1,1,1)发出,被xOy平面反射,到达点Q(3,3,6)被吸收,那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　)
57
5.已知空间直角坐标系O-xyz中有一点A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则A,B两点的最短距离是(　　)
6.已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且|PA|=|PB|,则点P的坐标为　　　　.
7.已知三角形三个顶点为A(2,-1,4),B(3,2,-6),C(5,0,2),则过B点的中线长为　　　　.
8.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则x=　　　　.
9.(15分)已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),求|AB|取最小值时A,B两点的坐标,并求此时的|AB|.
10.(15分)已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:
(1)线段AB的中点坐标及|AB|的长度;
(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
二、综合运用
选择题每小题5分,共10分
11.在空间直角坐标系中,已知点A(3,1,2),B(-1,-2,1)及动点M(x,y,-1),则|AM|+|BM|的最小值为(　　)
5
12.在空间直角坐标系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,则m的值为(　　)
-4 4
-6或4 6或4
13.(15分)已知正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若|CM|=|BN|=a(0(1)用a表示出|MN|的长;
(2)当a为何值时,|MN|的长最小.
三、创新拓展
14.对于任意实数x,y,z,+
的最小值为　　　　.
课时精练33　空间两点间的距离公式
1.B　2.B　3.C　4.C　5.B　
6.(0，0，3)　[∵P在z轴上，可设P(0，0，z)，
由|PA|=|PB|，
∴
=，
解得z=3.]
7.　[设AC的中点G，
∵三角形三个顶点为A(2，-1，4)，B(3，2，-6)，C(5，0，2)，
∴G，∴|BG|=.]
8.2　[由距离公式
|AB|=;
|AC|=
=;
|BC|=
=;
∵∠BAC=90°，
∴|BC|2=|AB|2+|AC|2，
∴(1-x)2+2=2+(2-x)2+1，解得x=2.]
9.解　由空间两点的距离公式得|AB|=
=
当x=时，|AB|有最小值.
此时A，B.
10.解　(1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点，
则根据中点坐标公式得
x1==2，y1=，z1==3.
所以AB的中点坐标为.
根据两点间距离公式，得
|AB|=，
所以|AB|的长度为.
(2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等，
所以
=，
化简得4x+6y-8z+7=0.
即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为
4x+6y-8z+7=0.
11.C　[设点A(3，1，2)关于平面z=-1对称的点A1(3，1，-4)，
则|AM|+|BM|的最小值为线段A1B的长度，
而|A1B|=，
所以|AM|+|BM|的最小值为5.]
12.B　[已知点A(m，1，9)，B(10，-1，6)，C(2，4，3)，
设△ABC是以AB为底边的等腰三角形，
则|AC|=|BC|，
所以
=，
整理得53=(m-2)2，m∈Z，所以方程无解;
设△ABC是以AC为底边的等腰三角形，
则|AB|=|BC|，
所以
=，
整理得85=(m-10)2，m∈Z，方程无解;
设△ABC是以BC为底边的等腰三角形，
则|AB|=|AC|，
所以
=，
所以(m-10)2=32+(m-2)2，m∈Z，解得m=4.]
13.解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB，BC，BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G，H，
连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|=|BN|=a，
∴|CH|=|MH|=|BG|=|GN|=a，
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，
则M，N.
(1)|MN|=
.
(2)由(1)得，当a=时，|MN|最小，最小为，这时M，N恰好为AC，BF的中点.
14.　[结合空间直角坐标系中任意两点的距离公式，可得+
表示的几何意义是空间内任意一点M(x，y，z)与原点O(0，0，0)及定点A(-3，-2，1)的距离之和，显然当O，M，A三点共线且M在线段OA上时，|OM|+|MA|最小，最小值为|OA|=
.]

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