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高 2027 届高一（下）月考
数学参考答案
一．单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B C A D C B
BC 2 1
7 题解析：设 BC 边上的高为 AD， tanC 2, CD ，sinC , cosC
3 5 5
CD BC BD 2BC ， AD, B ， cos A cos(B C)
3 3 4
(cosB cosC sin B sinC) 2 (cosC sinC) 2 ( 1 2 ) 10
2 2 5 5 10
故选 C。
8 题解析：由题意知 ABCD 为边长为 2 的正方形。
1
当 1时， AP AB AD，故 E 为 BC 上靠近 B 的四等分点。
4
1 1
当 时， AP AB AD，故 F 为 DC 上靠近 D 的四等分点。
4 4
过E作AB的对称点E ' ,过F作AD的对称点F '，
E 'G'H 'F ' 5 2则当 四点共线时取最小值，最小值为 ，故选 B。
2
二．多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AC BC
10 题解析：
f (x) 2 sin(x ) 2 1, T 2 , A正确；f (x)的最大值为 2 1， B错误
4 1
x k , 3 令 则x k ,取k 1,则x , C正确
4 4 4
f (x) 2 2,则sin(x ) , x 2k 或2k 3 ， x 2k 或2k
4 2 4 4 4 2
{#{QQABAYCQggAgAgBAAQgCQwVwCAAQkBCCCYoGRAAUIAAAQAFABAA=}#}

2x 4k 或2k ，f (2x) 2 sin 1 2或f (2x) 2 sin（ ） 1 0
4 4
D错误，故选AC。

11题解析： (OA OC) AC 0, OA OC,同理，OB OC, OA OB OC,
O为ABC的外心，故选B不选A。 2 B , AOC , AC 3,
3 3
OA OB OC 1
2 2 2 2
2OA OB 2OC 4OA OB 4OC 4OA OB 4OC OB 8OA OC
9 4cos 2C 4 4cos 2A 8cos 2B 5 4cos 2C 4cos( 2C) 5 4cos(2C )
3 3
2 4 1是锐角三角形， C , 2C , 1 cos(2C ) ,
6 2 3 3 3 3 2
1 5 4cos(2C ) 3.故选C不选D。
3
三．填空题
题号 12 13 14
答案 1 3
2 7 4 3 4
3

13题解析：BF 4 a BE 4 b BC， C、E、F三点共线， a b 1
3 3
1 1 (4 a b) 4 b 4a 7 b 4a 7 2 7 4 3 （ ） 1 2 2
a b 3 3 a 3b 3 a 3b 3 3 3
当且仅当2a 3b时取等。
1 cos 2o 1 cos62o14 1题解析：原式 sin 32o sin( 30o )
2 2 2
3 cos62o cos 2o sin 32o 3 2sin 32o sin 30o sin 32o 3

4 2 4 2 4
四、解答题

15、（1）m 1时，a ( 2, 1), a b ( 1,1)， a b ( 1)2 12 2 …（6 分）
2
(2) a b (2m 1,m 2), c (3,4). a b与 c共线， （4 2m 1） 3(m 2)， m
5
…（8 分）
{#{QQABAYCQggAgAgBAAQgCQwVwCAAQkBCCCYoGRAAUIAAAQAFABAA=}#}

此时，a 4 2 ( , ), a ( 4 2 2 5 )2 ( )2 . …… （ 10 分 ）
5 5 5 5 5
4 2
cos a c
3 4
5 5 2 5

a c 2 5 55 ……（13 分）
5
16、（1）f (x) 2cos x(cos x 3 sin x 1 ) 3 sin 2 x sin x cos x （3分）
2 2
3 cos2 x 2sin x cos x 3 sin 2 x
1 3
sin 2x 3 cos 2x 2( sin 2x cos 2x) 2sin(2x ) （6分）
2 2 3
2k 2x 2k , （7分）
2 3 2
2k 2x 2k 5 , k 5 x k ， （9分）
6 6 12 12
f (x) k 5 故 的单调增区间为： ，k 或写成 k

k 5 ， （ k Z） （10分）
12 12 12 12
（2）g(x) f ( x) 2sin(2 x )， （11分）
3
x (0, )， 0 2 x （ ，2 ） （13分）
3 3 3 3 3
1
2 0 ， (14分) 0， （15分）3 3 2

17、(1)当A、E重合时，BF 3. CF CB 3 3 BF CB BA CB CD （3分）
4 4
2
CF 3 CD (CB CD) CD 3 CB CD CD . （5分） ABCD为菱形，
4 4
1
cosC cos A CF CD 1 3 4 4（ ） 4 4 12 4 8 （8分）
4 4 4
2
(2)设EF中点为M，则FC EC CF CE （CM MF）（ CM ME） CM 1 （10分）
4
2 2
当CM AB时，CM 15取最小值，此时CM CB sin B 4 15， CM 15 （12分）
4
1 5 2 2 1 2 5 1
当AM ，即ME 时，CM 最大。此时CM 15 21 （14分）
2 2 4 2 4
{#{QQABAYCQggAgAgBAAQgCQwVwCAAQkBCCCYoGRAAUIAAAQAFABAA=}#}

FC EC 59 的范围为 ，21 （15分） 4
18 1 f (x ) cos 2(x ) 、（）
8
cos(2x ). （1分）
8 4
f (x) 关于原点对称， k ， （2分）
4 2
3 k ， ， ， （3分） f (x) cos(2x ) （4分）
4 2 4 4
（2 ）g(x) 2 f (x ) 2 cos 2(x ) 2 sin(2x

) （6分）
4 4 4 4
t 2 sin(2x ) cos(2x ) 3 2 sin(2x ) 1 cos(2x )
4 4 3 4 3 4


3 sin(2x )， （7分）
4
sin 1其中 , cos 2 , tan 1 , , ，
3 3 2 6 4
x (0, ), 2x , 3 . 3 7 ， （8分）
2 4 4 4 4 2 12
3 2 6 1 2 2
且 3 sin( ) 3 (sin cos ) 1 （10分）
4 2 2 3 2
2
由图象可知，t (1 , 3) （11分）
2
3 2 2 12 3 （）由对称性有： ，（ 分）
4 4 4
3 3 t ， 2 （13分）. sin(2 )
4 4 4 3
cos( ) cos(2 3 ) sin(2 ) t （15分）
4 4 3
2 2
cos 2( ) 2cos2 ( ) 1 2 t 2t 1 1 （17分）
3 3
{#{QQABAYCQggAgAgBAAQgCQwVwCAAQkBCCCYoGRAAUIAAAQAFABAA=}#}
19、（1） f (x) 0,2 f (x) 1 1,3 , f (x) 3 3, 1 . x1, x2，使得
f (x1) 1 f (x2 ) 3 9成立，则x1, x2处分别取最大和最小值。 （2分）
T 2
x1 x2 T 2 , 1 （4分）min 2
(2) y sin x 1令 ,则sin x 1 (3 cos x)y 3y y cos x,
3 cos x
sin x y cos x 3y 1 （5分）
1 y2 sin(x ) 3y 1,sin(x ) 3y 1 （6分）
1 y2
sin(x ) 1, 3y 1 1 y2 （7分）
9y2 6y 1 y2 1,2y(4y 3) 0, 3 3 0 y , 故值域为 0， . （9分）4 4
3 h(x) 3 cos x（）
5sin x 7cos x sin x cos x 14
3 cos x

sin 2 x 2sin x 1 9 6cos x cos2 x 3sin x sin x cos x 3 cos x
3 cos x
（12分）
（sin x 1）2 （3 cos x）2 （3 cos x）(1 sin x)
1
（14分）
sin x 1 2 1 sin x（ ） 1
3 cos x 3 cos x
t 1 sin x 1 3令 ，h(x) y,则y ,由（2）知t
3 cos x t 2 t 1
0,
4
y 在 0,
3 3 4 37
上单调递减，故在t 时取得最小值。此时ymin （17分） 4 4 37
{#{QQABAYCQggAgAgBAAQgCQwVwCAAQkBCCCYoGRAAUIAAAQAFABAA=}#}重庆市巴蜀中学高 2027 届高一3月月考
数学试卷
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。
3. 考试结束后,请将答题卡交回,试卷自行保存。满分150分,考试用时120分钟。
一、单项选择题(本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1. 已知向量 ,若 ,则 ( )
A、1 B、-1 C、0 D、
2. 在 中,点 为 上的点,且满足 ,记 ,则 ( )
A、 B、 C、 D、
3. 已知向量 的夹角为 ,且满足 ,则 ( )
A、 B、 C、 D、
4. 已知 ,且 是方程 的两根,则 的值为 ( )
A. B、 C、 D、
5. 近日重庆气温波动较大, 假设渝中区某天 8 一 -18 时的温度变化近似满足函数 ,已知 8 时气温最低,为 10 度,14 时气温最高,为 20 度,则 的解析式可以是( )
A、
B、
C、
D、
6. 为了得到函数 的图象,只需将 上所有点 ( )
A、横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位
B、横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位
C、横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位
D、横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位
7. 在 中, 边上的高等于 , ,则 ( )
A、 B、 C、 D、
8. 已知四边形 ABCD 满足 ,且 。设平面内有一点 满足 ,点 的轨迹分别与 交于 两点。线段 上有一动点 上有一动点 ,则 的最小值为: ( )
A、 B、 C、 D、
二、多项选择题(本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 已知 是夹角为 的单位向量,且 ,则下列选项正确的是 ( )
A、 B.
C. 的夹角为 D、 在 上的投影向量为
10. 已知 ,则下列说法正确的是( )
A、 的最小正周期为 B、 的最大值为 3
c、 关于 对称 D、若 ,则
11. 在锐角 中, ,点 为 所在平面内一点,且满足
,则下列说法正确的是: ( )
A、 为三角形 的重心 B、 为三角形 的外心
C、若 ,则 的取值范围是
D、若 ,则 的取值范围是
三、填空题(本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)
12. 在 中,点 为 的中点,且 ,则实数 _____
13. 在 中,点 为边 上一点且满足 ,若点 为 上一点且满足 ,则 的最小值为:_____
14. _____
四、解答题(本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(本小题 13 分)
设
(1)若 ,求 。(2)若 与 共线,求 与 夹角的余弦值。
16.(本小题 15 分)
设 。(1)求 的单调增区间；
(2)设 ,若 在 上无零点,求 的取值范围。
17.(本小题 15 分)
如图,在菱形 ABCD 中, , , 、 为线段 AB 上的两个动点 (包含端点), 且 ,(1) 若 重合,求 (2) 求 的取值范围
18.(本小题 17 分)
已知函数 ,且 的图象关于原点对称。
(1)求 的解析式；
(2)将 的图象向右移 个单位,再将所得到图象的纵坐标变为原来的 倍,得到 的图象。已知关于 的方程 在 内有 2 个不同的解 ( i ) 求 的取值范围；(ii)求 。(用 表示)
19.(本小题 17 分)
已知 ,存在 ,使得 成立,且 的最小值为 。
(1)求 的值；
(2)若函数 ,(i)求函数 的值域；(ii)若函数 ,求 的最小值.

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