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2024-2025学年山西省名校联考高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，且，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，为了测量，两点之间的距离，某数学兴趣小组的甲、乙、丙三位同学分别在点、距离点米处的点、距离点米处的点进行观测．甲同学在点测得，乙同学在点测得，丙同学在点测得，则，两点间的距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形．已知正八边形的边长为，是线段的中点，为正八边形内的一点含边界，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知，，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.已知，均为复数，且，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则是实数
C. 若，则是纯虚数 D. 若，则
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则是等腰三角形
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，，则面积的最大值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，且，，则在上的投影向量为 ．
13.已知，则的值为 ．
14.在中，是的中点，点满足，与交于点，则的值为 ；若，则的值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，复数．
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
若满足，，求的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若，的面积为，求边上的高．
17.本小题分
已知二次函数满足，函数满足，且不等式的解集为．
求的解析式；
若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
若，求的值；
求的长；
求的取值范围．
19.本小题分
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
若向量为函数的伴随向量，求；
若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：复数在复平面内对应的点为，
由在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是．
依题意，，
又，则，解得，
，
所以．

16.解：由和余弦定理，
可得：，
化简得，则得，
故；
由可得，
由已得，解得，
由余弦定理，
，解得，
设边上的高边上的高为，
则由，解得，
故边上的高为．

17.解：由，得，则，
由二次函数满足，设，
不等式，即，
依题意，是方程的二实根，且，
于是，解得，
所以的解析式为．
由知，，
不等式，
依题意，不等式对任意的恒成立，
而，，当且仅当，即时取等号，
因此，解得，
所以实数的取值范围是．

18.解：由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以．
由可知，，
由，则，
，
可得，解得．
由图可得，
，
，
由，则．

19.解：因，
则，故．
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得，
由正弦定理，，可得，
代入，可得，
又由余弦定理，，
可得，
于是，
解得．
依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象．
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点．
由图知，当且仅当时，两者有四个交点．
故实数的取值范围为．

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