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浙江中考解答题——二次函数（含解析）
一、解答题：
1．（2024九下·龙湾模拟）已知，点，在二次函数的图象上．
（1）当时，求此时二次函数的表达式和顶点坐标．
（2）求证：
2．（2025·萧山模拟）在直角坐标系中，设函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数）．
（1）求函数图象的对称轴；
（2）若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）已知当x＝0，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若2q＜p+r，求证：m＜0．
3．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系运动中，已知二次函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）图象上有两点.
①若，求的值；
②探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
4．（2025·金华模拟）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）图象上的点称为函数的不动点，求这个函数不动点的坐标．
（3）若是二次函数图象上不动点之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
5．（2025九下·温州模拟）已知二次函数的图象经过点.
（1）求二次函数解析式及其对称轴；
（2）将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点A，B（在原点左侧），当时，求的值；
（3）当时，二次函数的最小值为2n，求的值.
6．（2025·浙江模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数（b，c是常数）．
（1）若，当时，，求的函数表达式．
（2）当时，判断函数与轴的交点个数，并说明理由．
（3）当时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求的值．
7．（2025九下·定海模拟）已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B（4，0），BC＝4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB，PC，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点K．记△PBC，△BDK的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使∠QFE＝2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
8．（2025九下·奉化模拟）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
（3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式．当时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．
9．（2025·绍兴模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A、B两点，点B坐标为，抛物线的对称轴方程为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
10．（2025·鄞州模拟）如图，抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，过N作交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q，连接PK，当为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：，
二次函数图象的对称轴为直线，
，
解得，，
二次函数的表达式为，
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：∵点，在二次函数的图象上，
∴，，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，即可求出m的值，得到抛物线的解析式，然后化为顶点式得到顶点坐标即可；
（2）代入可得，，进而得到关于m的二次函数，根据最值解答即可．
2．【答案】（1）解：∵函数y＝m（x+1）2+4n（m≠0，且m，n为实数），
∴函数图象的对称轴为x＝-1；
（2）证明：令y＝0，则0＝m（x+1）2+4n，
即，
∵m，n异号，
∴，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；
（3）证明：由题可知p＝m+4n，q＝16m+4n，r＝25m+4n，
∵2q-（p+r）＝2（16m+4n）-（m+4n+25m+4n）＝6m＜0，
∴m＜0．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式即可求出抛物线的对称轴；
（2）令y=0，转化为求一元二次方程根的情况，结合题意即可求解；
（3）分别代入求出p、q、r的值，根据不等式，化简即可求解.
3．【答案】（1）解：由已知，二次函数的图象经过点，得，
解得
（2）解：①由题，，得.
.
②的最小值为0
∴的最小值为0
【解析】【分析】把点A的坐标代入函数解析式，求出k值即可；
（2）①代入两点坐标计算y1-y2得到t=m，然后代入计算解题；
② 先代入两点坐标计算y1+y2，然后配方得到，即可解题.
4．【答案】（1）解：∵二次函数 的图象经过点(
，且对称轴为直线
解得
∴这个二次函数的解析式为
（2）解：当y=x时， 则
整理得
解得
∴这个函数不动点的坐标是( 和(5，5)
（3）解：
∴抛物线开口向上，顶点为(
∵这个函数不动点的坐标是A(-2，-2)， B(5，5)，
∴若点P(x，y)是函数图象上的一个动点，当点P在点A，B之间运动时，y的最大值为5，最小值为-11，
∴的最大值与最小值的差为5-(-11)=16
【解析】【分析】(1)根据待定系数法即可求出答案；
(2)根据为函数的不动点的定义列出方程，求解即可；
(3)根据不动点的坐标以及二次函数的性质求出最小值，然后求差解题.
5．【答案】（1）解：将代入，得.
，
对称轴为直线
（2）解：函数图象向上平移个单位长度后解析式为
在原点左侧，
设点坐标为，点坐标为
，解得
将代入，得
（3）解：当即时，当时有最小值为2n，
，解得（舍），（舍）
当即时，当时有最小值为，
，解得
综上，
【解析】【分析】（1）由于抛物线解析中只有一次项系数未知，且知道其图象上一个点的坐标，只需把这个点的坐标代入到函数解析式中即可求出的值，此时再根据抛物线的对称轴公式计算即可；
（2）由于平移不改变抛物线的形状与大小，则沿轴方向平移时，对称轴不变，可根据题意分别设出A、B两点的坐标，再利用对称关系即可求出点A的坐标值，再代入到平移后的抛物线解析式中即可求出的值；
（3）由于抛物线的开口向上，所以二次函数有最小值，此时在对称轴的左边，随的增大而减小；反之，随的增大而增大；因为二次函数 ，即当时，最小值为；所以应当分类讨论，当时，函数最小值为，此时有，解得， ，均与假设不符；当即时，函数最小值为，即时有最小值为，即.
6．【答案】（1）解：把c=2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+2，
∵当x=-1时，y=4，
∴4=1-b+2，
∴b=-1，
∴二次函数的关系式为y=x2-x+2；
（2）解：把c=b-2代入y=x2+bx+c，
得y=x2+bx+b-2，
∵Δ=b2-4c
=b2-4(b-2)
=b2-4b+8=(b-2)2+4>0，
∴函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）解：∵该函数顶点坐标为 ，
，其对称轴为直线： ，
∴当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；
∵该函数二次项系数为1＞0，
∴图象开口向上，
①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
解得：（舍去），
；
②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，不符合题意；
③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，
函数最大值为： ，函数最小值为 ，
∵最大值与最小值的差为5，
，即 ，
（两个都不符合题意，舍去）；
的值为 ．
【解析】【分析】（1）把c=2与x=-1，y=4同时代入y=x2+bx+c可求出b的值，从而可得该函数的解析式；
（2）把c=b-2代入y=x2+bx+c， 得y=x2+bx+b-2，然后算出判别式“△=b2-4ac”的值，进而将判别式的值利用配方法配成一个完全平方式与一个正数的和得形式，结合偶数次幂的非负性可得判别式的值一定大于零，从而即可得出函数y=x2+bx+c的图象与x轴有两个交点；
（3）将函数顶点坐标代入可求出抛物线的解析式为y=x2+x+2，其对称轴直线为；根据抛物线的对称性可得当x=2与x=-3时，对应的函数值相等；由于抛物线的二次项系数大于零，故图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；从而分类讨论：①当 时，函数最大值在x=2处取得，最小值在x=m处取得，②当 时，函数最大值在x=2或x=-3处取得，最小值在x=处取得，③当 时，函数最大值在x=m处取得，最小值在x=处取得，分别算出对应的最大值及最小值，由最大值与最小值的差为5建立方程，求解并检验即可得出答案.
7．【答案】（1）解：∵B（4，0），
∴OB＝4，
把，代入函数解析式得：
解得：，
（2）解：∵B（4，0），C（0，4），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+4（k≠0），把B（4，0）代入，得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4，
设，则，
，，，
，
当时，的最大值为；
（3）解：令，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），
∵C（0，4），点E为AC的中点，
∴E（﹣1，2），
连接CF，如图：
∵FE⊥AC，
∴AF＝CF，
∴∠AFE＝∠CFE，
设OF＝a，则CF＝AF＝a+2，
在Rt△COF中，由勾股定理，得：a2+42＝（a+2）2，
∴a＝3，
∴F（3，0），CF＝5，
∵FE⊥AC，∠AOC＝90°，
∴∠AFE＝∠OCA＝90°﹣∠CAF，
∴∠AFE＝∠OCA＝∠CFE.
①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2），
设FE1的解析式为：y＝k1x+b，
则：，解得：，
联立，
解得：(舍去)或，
②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF，
过点作轴，则：，
，
设直线的解析式为：，
则：，
解得：
联立
解得：(舍去)或
综上所述，或.
【解析】【分析】（1）利用点B的坐标可求出OB的长，利用勾股定理求出OC的长，可得到点C的坐标；分别将点B、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，代入可得到抛物线的解析式.
（2）利用点B、C的坐标，可求出直线BC的函数解析式，利用两函数解析式和PD⊥x轴，设，则，可表示出PK、DK、DB的长，从而可表示出S1和S2，由此可得到S1-S2关于m的函数解析式，将其函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可求出S1﹣S2的最大值.
（3）利用抛物线的解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，再利用点C的坐标及点E为AC的中点，可得到点E的坐标，利用勾股定理求出AE、CE的长，可推出AF=CF，利用等腰三角形的性质可得到∠AFE=∠CFE；设OF＝a，则CF＝AF＝a+2，在Rt△COF中利用勾股定理可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到点F的坐标，同时求出CF的长；利用EF⊥AC和∠AAOC=90°可证明∠AFE＝∠OCA＝∠CFE；①取点E关于x轴的对称点E1，连接FE1交抛物线于点Q1，则：∠Q1FE＝2∠EFA＝2∠OCA，E1（﹣1，﹣2），利用待定系数法求出FE1的解析式，将此函数解析式与二次函数解析式联立得方程组，解方程组求出其解，可得到符合题意的点Q1的坐标；②取E关于CF的对称点E2，连接EE2交CF于点G，连接FE2交抛物线于点Q2，则：∠Q2FE＝2∠CFE＝2∠OCA，EG⊥CF，利用勾股定理求出EF的长，利用三角形的面积公式和等面积法求出EG的长，再利用勾股定理求出FG的长；过点作轴，利用解直角三角形可求出GH、FH的长，可得到OH的长，据此可得到点G的坐标，利用点E的坐标，可得到点E2的坐标，利用待定系数法可求出线的解析式，将此函数解析式与二次函数解析式联立方程组，解方程组求出其解，可得到符合题意的点Q2的坐标；综上所述可得到符合题意的点Q的坐标.
8．【答案】（1）解：由题意， 抛物线顶点为(2，3)，
∴可设该抛物线的表达式为
将点(0，1)代入， 得4
∴该抛物线的表达式为
（2）解：由题意，当 时，
∴水流能越过该障碍物
（3）解：由题意，
∴抛物线的对称轴为直线
①当 即 时，将 代入 得
②当 即 时，将 代入 得
综上所述，a的取值范围为
【解析】【分析】(1)依据题意，抛物线顶点为(2，3)，从而可设该抛物线的表达式为 再将点(0，1)代入， 得 可得 进而可以得解；
(2)依据题意， 当 时，求出y值与2作比较故解题；
(3)依据题意，由 可得抛物线的对称轴为直线 再结合二次函数的性质进行分 和 两种情形讨论计算可以得解.
9．【答案】（1）解：点B坐标为，抛物线的对称轴方程为，，
把点、、点，分别代入，
得：，解得：，
该抛物线的解析式为：；
（2）解：设运动时间为t秒，则，，．
由题意得，点C的坐标为．在中，．
如图1，过点N作于点H，
，，
，即，，
，即，
当存在时，，当时，最大．
答：运动1秒使的面积最大，最大面积是；
（3）解：如图2，
在中，．
设运动时间为t秒，则，，．
①当时，，即，化简，得，解得；
②当时，，化简，得，解得．
综上所述：或时，为直角三角形．
【解析】【分析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒，利用三角形 的面积公式列出 与t的函数关系式利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案.
10．【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于A（-4，0）、B（2，0）两点
∴，解得
∴抛物线的解析式为
∵
∴顶点坐标为
（2）解：延长MN交x轴于E
∵B（2，0），C（0，2）
∴OB=OC=2
∴
∵
∴
∴
∵A（-4，0）
∴直线AC解析式为
设
∵点M是第二象限内抛物线上一点，过M作轴，交AC于点N，
∴M点坐标为，N点坐标为
∴
∴
∴当时的值最大，最大值是，此时点M的坐标
（3）P点坐标为、、、
解：∵将抛物线沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，且，
∴相当于将抛物线先向右平移6个单位长度再向上平移3个单位长度，得到新抛物线，
∴新抛物线解析式为
∴新抛物线与y轴交于点K坐标为
∵在（2）的条件下，当取最大值时，M的坐标
∴直线MK解析式为
∵P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作轴交射线MK于点Q
∴设，则
∴
当时，
∵
∴，解得或
当时，，
当时，，故舍去
当时，
∵
∴，解得，此时
当时，
∵
∴，解得，解得或
当时，，
当时，
综上所述，当为等腰三角形时，P点坐标为、、、
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