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2．1.1　等差数列的概念及其通项公式
1．已知{an}是等差数列，a2＝1，a3＝，则公差d为(　B　)
A． B．－ C． D．－
解析：∵a3＝a2＋d，∴d＝－1＝－.故选B.
2．在等差数列{an}中，若首项a1＝－1，公差d＝1，则a5＝(　C　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d，所以a5＝a1＋4d＝－1＋4×1＝3.故选C.
3．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　A　)
A．an＝2(n＋1)2
B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2
D．an＝4n(n＋1)
解析：由题意得－＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2＋(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2.
4．(2024·河北张家口高二月考)现有下列命题：
①若an＝an－1＋π(n≥2)，则数列{an}是等差数列；
②若an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列；
③若an＝bn＋c(b，c是常数)，则数列{an}是等差数列．
其中真命题有(　C　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解析：由an＝an－1＋π(n≥2)得an－an－1＝π(n≥2)，满足等差数列的定义，故①正确；
an＋1－an＝n，n不是常数，不满足等差数列的定义，故②错误；an＝bn＋c，an－1＝b(n－1)＋c＝bn＋c－b(n≥2)，an－an－1＝b(n≥2)，b是常数，满足等差数列的定义，故③正确．故选C.
5．在等差数列{an}中，a1＝－23，d＝2，则数列{an}中负数项的个数为(　B　)
A．11 B．12 C．13 D．14
解析：an＝a1＋(n－1)d＝－23＋(n－1)×2＝2n－25，因为an＝2n－25<0，则n<12.5，所以数列{an}中负数项的个数为12.故选B.
6．已知数列{an}为等差数列，且满足a100＝2 024，a2 024＝100，则a2 124的值为(　D　)
A．2 034 B．2 124
C．124 D．0
解析：设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝－1，所以a2 124＝a100＋(2 124－100)d＝2 024－2 024＝0.故选D.
二、多项选择题
7．已知等差数列11，8，5，…，则(　ACD　)
A．公差d＝－3
B．该数列的通项公式为an＝－3n＋16
C．a6<0
D．－49是该数列的第21项
解析：由题意可知a1＝11，d＝8－11＝－3，∴an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，∴a6＝－3×6＋14＝－4.由－3n＋14＝－49，得n＝21.故选ACD.
8．在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则(　AC　)
A．b1＝－7
B．b2＝27
C．an＝8－5n
D．{bn}中的第50项是{an}中的第200项
解析：因为a1＝3，d＝－5，所以an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n，故C正确；数列{an}中项的序号被4除余3的项是第3项，第7项，第11项，…，所以b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27，故A正确，B错误；设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第k项，则m＝3＋4(k－1)＝4k－1，所以当k＝50时，m＝4×50－1＝199，即{bn}中的第50项是{an}中的第199项，故D错误．
三、填空题
9．设数列{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为an＝6n－3．
解析：由a1＝3得a2＋a5＝3＋d＋3＋4d＝36，则d＝6，所以an＝3＋(n－1)×6＝6n－3.
10．公差不为零的等差数列{an}中，若a7＝2a5，则数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．
解析：设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，又a7＝2a5，所以a1＋6d＝2a1＋8d，则a1＝－2d，则an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，所以4a5＝4(a1＋4d)＝8d.令an＝(n－3)d＝4a5＝8d，又d≠0，故n＝11.
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为169．
解析：因为能被3除余1且被4除余1的数即为能被12除余1的数，故an＝12n－11(n∈N*).又an≤2 024，即12n－11≤2 024，解得n≤.又n∈N*，所以1≤n≤169且n∈N*，所以{an}中有169项．
四、解答题
12．在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求a2 024的值；
(2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由．
解：(1)由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
由a2＋a5＝24，a17＝66，
即解得所以数列{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2，所以a2 024＝4×2 024－2＝8 094.
(2)令an＝4n－2＝2 026，解得n＝507，所以2 026是数列{an}中的项，是第507项．
13．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81.
(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)求数列{an}的通项公式．
解：(1)由题意知a4＝2a3＋24－1＝81，所以a3＝33.
同理可得a2＝13，a1＝5.
(2)假设存在实数λ满足题意，则－的值必是与n无关的常数，
又－＝＝1－，所以λ＝－1，所以存在实数λ，使得数列为等差数列，且λ＝－1.
(3)由(2)知数列为等差数列，其首项为2，公差为1，则＝2＋(n－1)×1，所以an＝(n＋1)2n＋1.
14．在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钞无数，要依等第数分明，请问高明能算者，细推详算莫差争．”题意是现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．根据上面的已知条件，丁有(　C　)
A．107钱 B．102钱
C．101钱 D．94钱
解析：由题意知甲、乙、丙、丁、戊、己、庚的钱数成等差数列，分别设为a1，a2，…，a7，且公差为d，依题意得
解得所以a4＝a1＋3d＝122－21＝101，即丁有101钱．故选C.
15．已知数列{an}满足＋＝2，且a1＝1，a2＝，则a2 024＝(　C　)
A． B．
C． D．
解析：依题意得 ＋＝，则有 －＝－.又因为＝1，－＝3－1＝2，所以数列是以 ＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 ＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以 ＝2×2 024－1＝4 047，所以a2 024＝.故选C.
16．(2024·上海师大附中高二期中)在等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，求数列{an}的公差．
解：设{an}的公差为d，则am－an＝－＝＝(m－n)·d，∴d＝，∴am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d＝＋＝＝(m＋n)d，即2a1＋(m＋n－2)d＝(m＋n)d，∴公差d＝a1＝.2．1.1　等差数列的概念及其通项公式
1．已知{an}是等差数列，a2＝1，a3＝，则公差d为(　　)
A． B．－ C． D．－
2．在等差数列{an}中，若首项a1＝－1，公差d＝1，则a5＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在数列{an}中，若＝＋，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2(n＋1)2
B．an＝4(n＋1)
C．an＝8n2
D．an＝4n(n＋1)
4．(2024·河北张家口高二月考)现有下列命题：
①若an＝an－1＋π(n≥2)，则数列{an}是等差数列；
②若an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列；
③若an＝bn＋c(b，c是常数)，则数列{an}是等差数列．
其中真命题有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在等差数列{an}中，a1＝－23，d＝2，则数列{an}中负数项的个数为(　　)
A．11 B．12 C．13 D．14
6．已知数列{an}为等差数列，且满足a100＝2 024，a2 024＝100，则a2 124的值为(　　)
A．2 034 B．2 124
C．124 D．0
二、多项选择题
7．已知等差数列11，8，5，…，则(　　)
A．公差d＝－3
B．该数列的通项公式为an＝－3n＋16
C．a6<0
D．－49是该数列的第21项
8．在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}，则(　　)
A．b1＝－7
B．b2＝27
C．an＝8－5n
D．{bn}中的第50项是{an}中的第200项
三、填空题
9．设数列{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为 ．
10．公差不为零的等差数列{an}中，若a7＝2a5，则数列{an}中第 项的值与4a5的值相等．
11. “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为 ．
四、解答题
12．在等差数列{an}中，a2＋a5＝24，a17＝66.
(1)求a2 024的值；
(2)2 026是否为数列{an}中的项？若是，求出是第几项；若不是，请说明理由．
13．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n－1(n≥2)，且a4＝81.
(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
(2)是否存在一个实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(3)求数列{an}的通项公式．
14．在明朝程大位《算法统宗》中有首依等算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钞无数，要依等第数分明，请问高明能算者，细推详算莫差争．”题意是现有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲、乙两人共237钱，戊、己、庚三人共261钱，求各人钱数．根据上面的已知条件，丁有(　　)
A．107钱 B．102钱
C．101钱 D．94钱
15．已知数列{an}满足＋＝2，且a1＝1，a2＝，则a2 024＝(　　)
A． B．
C． D．
16．(2024·上海师大附中高二期中)在等差数列{an}中，a1＝，am＝，an＝(m≠n)，求数列{an}的公差．

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