资源简介

2.3.2　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
课标要求　1.了解和差化积、积化和差公式推导过程.2.能用和差化积、积化和差的公式解决一些简单的问题.3.掌握三角恒等变换的应用.
【引入】 在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式.
(1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？
(2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？
这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧.
一、和差化积
探究1 在公式cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]中，若令γ＝α＋β，θ＝α－β，你发现了什么？
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【知识梳理】
和差化积公式
(1)cos α＋cos β＝2coscos；
(2)sin α＋sin β＝2sincos；
(3)cos α－cos β＝－2sinsin；
(4)sin α－sin β＝2cossin.
例1 (链接教材P91T4)把下列各式化成积的形式：
(1)sin 44°＋sin 76°；(2)cos 50°＋cos 42°；
(3)cos 3x－cos 5x；(4)sin 50°－sin 70°.
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思维升华　利用和差化积公式化简求值时的两个注意点
(1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式.
(2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式.
训练1 将下列各式化成积的形式：
(1)sin－sin；(2)sin x＋.
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二、积化和差
探究2 如果已知cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝，你能求出cos αcos β及sin αsin β的值吗？试写出推导过程.
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【知识梳理】
积化和差公式
(1)cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
(2)sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
(3)sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
(4)cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)].
例2 (链接教材P91习题T3)(1)sincos等于(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
(2)把下列各式化成和或差的形式：
①sin 64° cos 134°；②cos 2cos 1.2.
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思维升华　在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式.
训练2 求cos 15°cos 60°cos 75°的值.
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三、辅助角公式及其应用
探究3 请同学们根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行合并：sin x±
cos x，sin x±cos x，cos x±sin x.
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探究4 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
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【知识梳理】
辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ).
温馨提示　(1)该函数的最大值为，最小值为－.
(2)有时y＝asin x＋bcos x＝cos(x－θ).
例3 (链接教材P90例6)已知函数f(x)＝sincos－cos2＋cos＋.
(1)若x∈(0，π)，求f(x)≥的解集；
(2)若α为锐角，且f(α)＝，求tan 2α的值.
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思维升华　1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
2.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
训练3 已知函数f(x)＝cos·
cos，g(x)＝sin 2x－.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
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【课堂达标】
1.将sin 93°＋sin 27°化为积的形式，下列结论正确的是(　　)
A.cos 43° B.cos 33°
C.cos 53° D.cos 63°
2.已知cos(α＋β)·cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝(　　)
A.－ B.－
C. D.
3.sin 37.5°·cos 7.5°＝________.
4.已知函数f(x)＝asin x＋bcos x的图象过点和，则f(x)的最大值是______.
2.3.2　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
探究1　提示　cos γ＋cos θ＝2coscos.
例1　解　(1)原式＝2sin cos
＝2sin 60°·cos 16°＝cos 16°.
(2)原式＝2coscos
＝2cos 46°cos 4°.
(3)原式＝－2sinsin
＝2sin 4xsin x.
(4)原式＝2cossin
＝2cos 60°sin(－10°)＝－sin 10°.
训练1　解　(1)原式＝2cos·
sin
＝2cos αsin ＝cos α.
(2)原式＝sin x＋sin
＝2sincos
＝2sincos.
探究2　提示　推导如下：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，①
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，②
①＋②得cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝.
①－②得sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]＝－.
例2　(1)B　[原式＝
＝＝＋.]
(2)解　①原式＝[sin(64°＋134°)＋sin(64°－134°)]
＝(sin 198°－sin 70°).
②原式＝[cos(2＋1.2)＋cos(2－1.2)]
＝(cos 3.2＋cos 0.8).
训练2　解　原式＝cos 15°cos 75°
＝×[cos(15°＋75°)＋cos(15°－75°)]
＝×(0＋cos 60°)＝.
探究3　提示　sin x±cos x＝sin，
sin x±cos x＝2sin，
cos x±sin x＝2sin.
探究4　提示　第一步：提常数，提出，
得到y＝
；
第二步：定角度，确定一个角φ满足cos φ＝，sin φ＝，
得到y＝(cos φsin x＋sin φcos x)；
第三步：化简、逆用公式得y＝asin x＋bcos x
＝sin(x＋φ)，其中tan φ＝.
例3　解　(1)f(x)＝sin x－(1＋cos x)－
cos＋
＝sin x－－cos x－cos x＋sin x＋
＝sin x－cos x
＝sin，
由sin≥，
即sin≥，
得2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
又x∈(0，π)，故f(x)≥的解集为
.
(2)由sin＝，
得sin＝，
因为α为锐角，
所以0＜α＜，则－＜α－＜，
则cos＝＝，
故tan 2α＝＝－
＝－
＝－＝－.
训练3　解　(1)f(x)＝·
＝cos2x－sin2x
＝－
＝cos 2x－，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos 2x－sin 2x
＝cos，
当2x＋＝2kπ(k∈Z)，
即x＝kπ－(k∈Z)时，h(x)有最大值，
此时x的集合为.
课堂达标
1.B　[原式＝2sincos
＝cos 33°.]
2.C　[cos(α＋β)·cos(α－β)
＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]
＝cos2α－sin2β＝，故选C.]
3.　[sin 37.5°·cos 7.5°
＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)
＝.]
4.2　[由题意得
解得
∴f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∴f(x)的最大值为2.](共54张PPT)
第2章 2.3　简单的三角恒等变换
2.3.2　和差化积与积化和差公式 及三角恒等变换的应用
课标要求
1.了解和差化积、积化和差公式推导过程.2.能用和差化积、积化和差的公式解决一些简单的问题.3.掌握三角恒等变换的应用.
引入
在求解三角函数的有关问题时，有时需要把三角函数的积化为和或差的形式，有时又需要把和或差化为积的形式.
(1)如何将两个三角函数的积化为和(差)形式？
(2)如何将两个三角函数的和(差)化为积的形式？
这就是本节课将要学习的内容，让我们一起来探索吧.
课时精练
一、和差化积
二、积化和差
三、辅助角公式及其应用
课堂达标
内容索引
和差化积
一
知识梳理
例1
(链接教材P91T4)把下列各式化成积的形式：
(1)sin 44°＋sin 76°；(2)cos 50°＋cos 42°；
(3)cos 3x－cos 5x；(4)sin 50°－sin 70°.
利用和差化积公式化简求值时的两个注意点
(1)必须是同名的三角函数和与差的形式才能化为乘积形式.
(2)若不同名，应用诱导公式化为同名的三角函数和差形式再利用和差化积公式.
思维升华
训练1
积化和差
二
提示　推导如下：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，①
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，②
知识梳理
例2
√
(2)把下列各式化成和或差的形式：
①sin 64° cos 134°；②cos 2cos 1.2.
思维升华
在利用积化和差公式化简求值时，应注意：左端是异名函数乘积形式时，右端是正弦函数的和、差形式；左端是同名函数乘积形式时，右端是余弦函数的和、差形式.
求cos 15°cos 60°cos 75°的值.
训练2
辅助角公式及其应用
三
探究4 一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？
知识梳理
温馨提示
例3
思维升华
1.为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
2.解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.
训练3
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.
【课堂达标】
√
√
3.sin 37.5°·cos 7.5°＝________.
2
【课时精练】
√
√
√
√
√
6.sin 105°＋sin 15°＝________.
7.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.
－13
π
8.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期为________.
m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
√
∵C＝π－(A＋B)，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1.
13.已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
f(x)＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x
14.设α，β均为锐角且满足sin2α＋sin2β＝sin(α＋β)，求α＋β的值.第2章　课时精练21　和差化积与积化,和差公式及三角恒等变换的应用
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分.
一、基础巩固
1.cos 15°·cos 75°＝(　　)
－ －
2.函数y＝3sin 4x＋cos 4x的最大值是(　　)
2
3 6
3.sin 20°＋sin 40°－sin 80°＝(　　)
0 －
2sin 80°
4.使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是(　　)
5.函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
6.sin 105°＋sin 15°＝________.
7.函数f(x)＝5cos x＋12sin x的最小值为________.
8.函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期为________.
9.(10分)已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值.
10.(10分)已知函数f(x)＝cos x·sin－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
二、综合运用
11.在△ABC中，sin C＝，则此三角形的形状是(　　)
等边三角形 钝角三角形
直角三角形 等腰直角三角形
12.设向量a＝，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，则x的值为________；
(2)设函数f(x)＝a·b，则f(x)的最大值为________.
13.(13分)已知函数f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
三、创新拓展
14.(17分)设α，β均为锐角且满足sin2α＋sin2β＝sin(α＋β)，求α＋β的值.
课时精练21　和差化积与积化和差公式及三角恒等变换的应用
1.B　[cos 15°·cos 75°
＝[cos 90°＋cos(－60°)]
＝＝.]
2.B　[y＝3sin 4x＋cos 4x
＝2
＝2sin，
∴ymax＝2，故选B.]
3.A　[sin 20°＋sin 40°－sin 80°
＝2sin ·cos －sin 80°
＝cos 10°－sin 80°
＝sin 80°－sin 80°＝0.]
4.D　[f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin.
当θ＝时，f(x)＝2sin(2x＋π)
＝－2sin 2x为奇函数.]
5.D　[f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)，
因为x∈[－π，0]，
所以令k＝0得单调递增区间为.]
6.　[sin 105°＋sin 15°＝2sincos＝2sin 60°cos 45°＝.]
7.－13　[f(x)＝13
＝13sin(x＋φ)(其中tan φ＝)，
∴f(x)min＝－13.]
8.π　[f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1
＝＋sin 2x＋1
＝(sin 2x－cos 2x)＋
＝sin＋，
∴T＝π.]
9.解　m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
∵π<θ<2π，∴<＋<.
∴cos<0.由已知|m＋n|＝，得|m＋n|
＝
＝
＝
＝ ＝2
＝2
＝－2cos＝，
∴cos＝－.
10.解　(1)由已知，有
f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－
cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－).
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，f(－)＝－，
f()＝，
所以函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.
11.C　[∵C＝π－(A＋B)，
∴sin C＝sin(A＋B)＝，
∴2sincos
＝，
∴2cos2＝1，即cos(A＋B)＝0，
∴A＋B＝，∴C＝，
故此三角形为直角三角形.]
12.(1)　(2)　[(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2 x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2 x＝1.
又x∈，从而sin x＝，
所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2 x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋
当x＝∈时，
sin取最大值1，
所以f(x)的最大值为.]
13.解　(1)f(x)＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x
＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)－sin 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝cos.
∴T＝＝π，
∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴当2x＋＝π，即x＝时，
f(x)min＝－，
f(x)取最小值时x的集合为.
14.解　显然当α＋β＝时，等式成立；
由已知条件知
sin2α＋sin2β＝sin αcos β＋cos αsin β，
整理得sin α(sin α－cos β)＝sin β(cos α－sin β).
若α＋β≠，则有sin α－cos β与cos α－sin β同号.
若它们同为正，则有
sin α>cos β＝sin，
cos α＝sin>sin β，
从而有α>－β，－α>β，无解；
若它们同为负，用类似的方法也可以推出矛盾.
综上，α＋β＝.

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