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6．1.2　函数单调性的应用
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　　)
A．a≤0 B．a＜1
C．a＜2 D．a≤
2．若函数f(x)＝－cos x＋ax在R上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
3．(2024·陕西西安高二期末)函数f(x)＝sin x＋2x在R上是(　　)
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
4．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
5．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)2的解集为 (　　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
6．(2024·重庆第二外国语学校高二期中)若函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0] B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8] D．[0，＋∞)
二、多项选择题
7．函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件可以是(　　)
A．a∈(－∞，3)
B．a∈(0，3)
C．a∈(－∞，0)∪(0，3)
D．a∈(－∞，0)
8．(2024·江苏南京高二开学考)若a，b为正实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．> B．ln a>ln b
C．a ln a>b ln b D．a－b三、填空题
9．若函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝ ．
10．函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调递减区间是 ．
11．已知函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围为 ．
四、解答题
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．
13．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
14．(2024·河南南阳一中高二期中)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)＜f(3＋x)的解集为 ．
15．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x1，x2∈[1，e]，且x1一、单项选择题
1．若函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则(　A　)
A．a≤0 B．a＜1
C．a＜2 D．a≤
解析：由题意得f′(x)＝3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
2．若函数f(x)＝－cos x＋ax在R上为增函数，则实数a的取值范围是(　B　)
A．[－1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：由题意可得，f′(x)＝sin x＋a≥0恒成立，故a≥－sin x恒成立．因为－1≤－sin x≤1，所以a≥1.
3．(2024·陕西西安高二期末)函数f(x)＝sin x＋2x在R上是(　D　)
A．偶函数、增函数 B．奇函数、减函数
C．偶函数、减函数 D．奇函数、增函数
解析：f(－x)＝sin (－x)＋2(－x)＝－sin x－2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，f′(x)＝cos x＋2>0，所以f(x)是增函数．故选D.
4．若函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是(　A　)
A． B．
C． D．
解析：函数f(x)＝ln x＋ax2－2的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＝.当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．当a<0时，由2ax2＋1＝0，解得x＝(负根舍去)，所以在区间(0，)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减．依题意，函数f(x)＝ln x＋ax2－2在区间(1，4)内存在单调递减区间，所以<4，解得a<－，所以实数a的取值范围是(－∞，－).故选A.
5．已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)2的解集为 (　B　)
A．(－∞，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
解析：令g(x)＝，则g′(x)＝＝＞0，
∴g(x)在R上单调递增，∵f(0)＝2，
∴g(0)＝＝2，则不等式＞2即为g(x)＞2，即g(x)＞g(0)，∴x＞0，∴不等式＞2的解集为(0，＋∞).故选B.
6．(2024·重庆第二外国语学校高二期中)若函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－∞，0] B．(－∞，－8)
C．(－∞，－8] D．[0，＋∞)
解析：因为函数f(x)＝ex(x2＋a)，
所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a).
因为函数f(x)＝ex(x2＋a)在[－2，2]上单调递减，所以f′(x)＝ex(x2＋2x＋a)≤0在[－2，2]上恒成立，即a≤－x2－2x在[－2，2]上恒成立．
令t＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，则在[－2，2]上，－8≤t≤1，则a≤－8，当a＝－8时，f′(x)＝ex(x2＋2x－8)＝ex[(x＋1)2－9]不恒为零，也符合题意，所以实数a的取值范围是(－∞，－8].故选C.
二、多项选择题
7．函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件可以是(　BD　)
A．a∈(－∞，3)
B．a∈(0，3)
C．a∈(－∞，0)∪(0，3)
D．a∈(－∞，0)
解析：f′(x)＝3ax2＋6x＋1，因为函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间，所以函数f′(x)＝3ax2＋6x＋1有2个不同的零点，所以解得a<3且a≠0，所以a∈(－∞，0)∪(0，3)，则函数f(x)＝ax3＋3x2＋x－1恰有3个单调区间的充分不必要条件是B，D两个选项．故选BD.
8．(2024·江苏南京高二开学考)若a，b为正实数，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　BD　)
A．> B．ln a>ln b
C．a ln a>b ln b D．a－b解析：对于A，由于函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故当a>b>0时，<，故A错误；对于B，由于函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，故当a>b>0时，ln a>ln b，故B正确；对于C，令y＝x ln x，则y′＝ln x＋1，故当x∈(0，)时，y′＝ln x＋1<0，y＝x ln x单调递减，当x∈(，＋∞)时，y′＝ln x＋1>0，y＝x ln x单调递增，所以a ln a与b ln b大小不定，故C错误；对于D，令y＝ex－x，则y′＝ex－1>0在(0，＋∞)上恒成立，故函数y＝ex－x在(0，＋∞)上单调递增，故当a>b>0时，eb－b三、填空题
9．若函数f(x)＝x3－mx2＋m－2的单调递减区间为(0，3)，则m＝．
解析：令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝.
10．函数f(x)＝x3－(2a＋1)x2＋(a2＋a)x＋4的单调递减区间是(a，a＋1)．
解析：f′(x)＝x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝[x－(a＋1)](x－a)，令f′(x)＜0，得a＜x＜a＋1，故f(x)的单调递减区间是(a，a＋1).
11．已知函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．
解析：令g(x)＝，当x＞0时，
g′(x)＝＜0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又因为f(x)为奇函数，g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以g(－x)＝＝＝g(x)，所以g(x)为偶函数，则g(x)在(－∞，0)上单调递增．
因为f(－1)＝0，所以g(1)＝g(－1)＝0，作出g(x)的大致图象如图所示．
当f(x)<0，x>0时，g(x)<0，得x∈(1，＋∞)；当f(x)<0，x<0时，g(x)＞0，得x∈(－1，0).所以x的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞).
四、解答题
12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1，2)，且在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[m，m＋1]上单调递增，求实数m的取值范围．
解：(1)因为函数f(x)＝ax3＋bx2(x∈R)的图象过点P(－1，2)，所以－a＋b＝2.
又因为f′(x)＝3ax2＋2bx，且f(x)在点P处的切线恰好与直线x－3y＝0垂直，
所以f′(－1)＝3a－2b＝－3，
由解得所以f(x)＝x3＋3x2(x∈R).
(2)由(1)知f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，令f′(x)>0，即3x·(x＋2)>0，解得x<－2或x>0，令f′(x)<0，即3x(x＋2)<0，解得－2得m＋1≤－2或m≥0，解得m≤－3或m≥0，所以实数m的取值范围为(－∞，－3]∪[0，＋∞).
13．若函数f(x)＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围．
解：由题可知f(x)的定义域为R，f′(x)＝ax2＋1，若a≥0，则f′(x)＝ax2＋1>0恒成立，此时f(x)在R上单调递增，即只有一个单调区间，不符合题意；若a<0，由f′(x)＝ax2＋1>0，解得－，此时f(x)在上单调递增，在和上单调递减，共有三个单调区间，符合题意．所以a的取值范围是(－∞，0).
14．(2024·河南南阳一中高二期中)已知函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2，则关于x的不等式f(2x－1)＜f(3＋x)的解集为．
解析：函数f(x)＝cos x＋ex＋e－x－x2的定义域为R，f(－x)＝cos (－x)＋e－x＋ex－(－x)2＝cos x＋ex＋e－x－x2＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．
当x≥0时，有f′(x)＝－sin x＋ex－e－x－x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex＋e－x－cos x－1≥2－cos x－1＝1－cos x≥0，第1个等号仅在x＝0处取得，所以函数g(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)≥g(0)＝0，即f′(x)≥0且等号不恒成立，故函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以不等式f(2x－1)＜f(3＋x)可转化为|2x－1|<|3＋x|，两边同时平方得 3x2－10x－8<0，解得－15．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若对于任意x1，x2∈[1，e]，且x1解：(1)易知f(x)的定义域为R，f′(x)＝(x＋1)ex，当x>－1时，f′(x)＞0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递增；当x<－1时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－1)上单调递减 ，∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，单调递增区间是(－1，＋∞).
(2)当x1，x2∈[1，e]，且x1设φ(x)＝g(x)＋＝＋＝，由题意可知，φ(x)在[1，e]上单调递减，即φ′(x)＝＝≤0
在[1，e]上恒成立，∴(1－x)ex－(m＋1)≤0在[1，e]上恒成立，∴m＋1≥(1－x)ex在[1，e]上恒成立．
设h(x)＝(1－x)ex，x∈[1，e]，
则h′(x)＝－xex<0，∴h(x)在[1，e]上单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝0，
∴ m＋1≥0，即m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).

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