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6．2.2　函数极值的综合问题
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　)
A．0＜b＜1 B．b＜0
C．b＞0 D．b＜
3．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取得极大值，则f(x)的极大值为(　　)
A．0 B．32
C．0或32 D．0或－32
4．若函数f(x)＝2ax－ln x在(1，3)上不单调，则实数a的取值范围为(　　)
A．(2，6)
B．(－∞，2)∪(6，＋∞)
C．
D．∪
5．若函数f(x)＝x＋与函数g(x)＝aex－x有相等的极小值，则实数a＝(　　)
A． B．e3 C．2 D．
6．(2024·陕西汉中高二期末)若a>0，b>0，且函数f(x)＝2x3－x2－bx＋2在x＝1处取得极值，则ab的最大值为(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
二、多项选择题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝0
B．a＋b＝－7
C．f(x)一定有两个极值点
D．f(x)一定存在单调递减区间
8．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若xf′(x)＋f(x)＝，f(1)＝，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
三、填空题
9．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为 ．
10．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是 ．
11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x＝ ．
12．已知三次函数f(x)＝mx3＋nx2＋px＋2q的图象如图所示，则＝ ．
四、解答题
13．在①f(x)在x＝1处取得极小值2；②f(x)在x＝－1处取得极大值6；③f(x)的极大值为6，极小值为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且 ，求f(x)的单调区间．
14．设函数f(x)＝x(x－1)(x－a)，其中a>1.
(1)求证：函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2；
(2)对于(1)中的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤0成立，求a的取值范围．
15．已知实数a满足1(1)当a＝2时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)与f(x)的极小值点相等，求证：g(x)的极大值不大于10.6．2.2　函数极值的综合问题
一、单项选择题
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝(　D　)
A．2 B．3 C．4 D．5
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5(经检验符合题意).
2．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　A　)
A．0＜b＜1 B．b＜0
C．b＞0 D．b＜
解析：f′(x)＝3x2－3b，因为函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，
所以函数的极小值点在(0，1)内．
令f′(x)＝3x2－3b＝0，
则有x2＝b>0，解得x＝±.
又因为为极小值点，
所以∈(0，1)，解得03．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处取得极大值，则f(x)的极大值为(　B　)
A．0 B．32
C．0或32 D．0或－32
解析：f′(x)＝3(x－c)，f′(c)＝0，f′＝0，即f(x)在x＝c和x＝处取得极值，由题意知f(x)在x＝2处取得极大值，∴c＞0，c＞，∴当x＜时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当c时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，f(x)在x＝处取得极大值，∴＝2，c＝6，则f(x)的极大值为2×(2－6)2＝32.故选B.
4．若函数f(x)＝2ax－ln x在(1，3)上不单调，则实数a的取值范围为(　C　)
A．(2，6)
B．(－∞，2)∪(6，＋∞)
C．
D．∪
解析：由f(x)＝2ax－ln x，得f′(x)＝2a－＝.
因为f(x)在(1，3)上不单调，所以f(x)在(1，3)上有极值点．
当a＝0时，f′(x)＝－<0在(1，3)上恒成立，所以f(x)在(1，3)上单调递减，不满足题意；当a≠0时，令f′(x)＝0，得x＝，所以有1＜<3，解得综上所述，实数a的取值范围为.故选C.
5．若函数f(x)＝x＋与函数g(x)＝aex－x有相等的极小值，则实数a＝(　B　)
A． B．e3 C．2 D．
解析：f(x)＝x＋在x＝2处取到极小值f(2)＝2＋＝4，对于g(x)＝aex－x，当a≤0时，g(x)在定义域内单调递减，无极值，不合题意；当a>0时，g′(x)＝aex－1，令g′(x)<0，解得x<－ln a，令g′(x)>0，解得x>－ln a，则g(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增，所以g(x)的极小值为g(－ln a)＝1＋ln a＝4，解得a＝e3.故选B.
6．(2024·陕西汉中高二期末)若a>0，b>0，且函数f(x)＝2x3－x2－bx＋2在x＝1处取得极值，则ab的最大值为(　D　)
A．2 B．3 C．6 D．9
解析：由题意得f′(x)＝6x2－ax－b，∵在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝0，即6－a－b＝0，∴a＋b＝6.∵a>0，b>0，∴ab＝a(6－a)＝6a－a2＝－(a－3)2＋9，当a＝3，b＝3时，ab取得最大值9，此时f′(x)＝6x2－ax－b＝6x2－3x－3＝3(x－1)(2x＋1)，当x>1时，f′(x)>0，当－二、多项选择题
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列结论正确的是(　BCD　)
A．a＋b＝0
B．a＋b＝－7
C．f(x)一定有两个极值点
D．f(x)一定存在单调递减区间
解析：函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2的定义域为R，求导得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得即
解得或当时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意，当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)·(x－1)，当x<－或x>1时，f′(x)>0，当－8．已知f′(x)为函数f(x)的导函数，若xf′(x)＋f(x)＝，f(1)＝，则下列结论错误的是(　ABC　)
A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
B．xf(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．xf(x)在(0，＋∞)上有极大值
D．xf(x)在(0，＋∞)上有极小值
解析：令g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝，
则g(x)＝(ln x)2＋c，由f(1)＝，
得g(1)＝1×f(1)＝＝c，
则g(x)＝xf(x)＝(ln x)2＋，
所以f(x)＝，
f′(x)＝＝－·≤0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；由g′(x)＝，得当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上有极小值，为g(1)＝，故B，C错误，D正确．故选ABC.
三、填空题
9．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为8．
解析：y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x).
令y′＝0，得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，故2＋m＝10，m＝8.
10．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围是(－∞，－1)．
解析：因为y＝ex＋ax，所以y′＝ex＋a.
令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a.
又因为函数有大于零的极值点，
所以ex＝－a有大于零的实根，
所以－a>1，即a<－1.
11．如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，则x＋x＝．
解析：由题图知f(x)的图象过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此
解得所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.
12．已知三次函数f(x)＝mx3＋nx2＋px＋2q的图象如图所示，则＝1．
解析：由题意得，m≠0，且f′(x)＝3mx2＋2nx＋p，由题图可知，x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝－1是函数f(x)的极小值点，即2，－1是方程f′(x)＝0的两个根，由解得
∵f′(0)＝p＝－6m，f′(1)＝3m＋2n＋p＝－6m，∴＝1.
四、解答题
13．在①f(x)在x＝1处取得极小值2；②f(x)在x＝－1处取得极大值6；③f(x)的极大值为6，极小值为2这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：已知函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)，且 ，求f(x)的单调区间．
解：选条件①，
易知f′(x)＝3x2－3a，
由即
解得经检验符合题意，
所以f(x)＝x3－3x＋4，
所以f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)>0，解得x<－1或x>1，
令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
选条件②，
易知f′(x)＝3x2－3a，
由即
解得经检验符合题意，
所以f(x)＝x3－3x＋4，
所以f′(x)＝3x2－3.
令f′(x)>0，解得x<－1或x>1，
令f′(x)<0，解得－1所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
选条件③，
易知f′(x)＝3x2－3a，
令f′(x)＝3x2－3a＝0，解得x＝±，
则f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：
x (－∞，－) － (－，) (，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以
解得
所以f(x)的单调递减区间为(－1，1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞).
14．设函数f(x)＝x(x－1)(x－a)，其中a>1.
(1)求证：函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2；
(2)对于(1)中的极值点x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)≤0成立，求a的取值范围．
解：(1)证明：由已知得f′(x)＝3x2－2(a＋1)x＋a.令f′(x)＝0，得3x2－2(a＋1)x＋a＝0.因为a>1，方程f′(x)＝0的根的判别式Δ＝4[a(a－1)＋1]>0，所以方程f′(x)＝0有两个不相等的实根x1，x2，不妨设x1当x0；当x1x2时，f′(x)>0.
因此x1是函数f(x)的极大值点，x2是函数f(x)的极小值点，故函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2.
(2)由题意知f(x1)＋f(x2)≤0，
即f(x1)＋f(x2)＝(x1＋x2)(x－x1x2＋x)－(a＋1)(x＋x)＋a(x1＋x2)≤0，
而由(1)得x1＋x2＝(a＋1)，x1x2＝，代入上式整理，得2a2－5a＋2≥0，解得a≥2或a≤，又a>1，所以a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞).
15．已知实数a满足1(1)当a＝2时，求f(x)的极小值；
(2)若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x(b∈R)与f(x)的极小值点相等，求证：g(x)的极大值不大于10.
解： (1)当a＝2时，f(x)＝x3－x2＋2x，所以f′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2).
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以f(x)的极小值为f(2)＝.
(2)证明：f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a).
由于a>1，
所以当x>a或x<1时f′(x)>0，
当1即f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，
所以当x＝a时，f(x)取极小值，
所以g(a)为g(x)的极小值，
而g′(x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)·(2x＋b＋2)，
所以a＝－，即b＝－2(a＋1).
所以当x>a或x<1时g′(x)>0，
当1即g(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，
又因为1所以g(x)极大值＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10，
故g(x)的极大值不大于10.

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