资源简介

第二课时　直线与平面平行的性质定理
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明.2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
【引入】 上一节课我们学习了直线与平面平行的判定定理，可以简单描述为“线线平行，则线面平行”，自然而然有同学会问，线面平行能否得出线线平行，让我们一起走进今天的课堂——直线与平面平行的性质定理.
一、直线与平面平行的性质定理
探究1 将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，那么每页纸和桌面的交线与书脊有什么样的位置关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 如图，直线l∥平面α，直线a 平面α，直线l与直线a一定平行吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面________，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与________平行.
符号语言 ________________________ a∥b
图形语言
例1 (链接教材P160例7)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　1.利用线面平行的性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
训练1 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
二、与线面平行性质定理有关的计算
例2 (1)如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.
(2)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为线段PC，PB上一点，若PM∶MC＝3∶1，且AN∥平面BDM，求PN∶NB的值.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
(3)利用所得关系计算求值.
训练2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三、直线与平面平行的判定和性质定理的综合应用
例3 如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
问：(1)l与BC是否平行？说明理由；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　1.线线平行线面平行.
2.应用线面平行判定定理，关键找或作平行线，应用线面平行性质，关键找(或作)过线的平面.
训练3 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线(　　)
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
2.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为(　　)
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
第二课时　直线与平面平行的性质定理
探究1　提示　平行.
探究2　提示　不一定.
知识梳理
平行　交线　a∥α，a β，α∩β＝b
例1　证明　如图所示，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
训练1　证明　因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
例2　(1)　[因为A a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝.
又＝，所以＝，
于是EG＝＝＝.]
(2)解　如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，连接OG.
由AN∥平面BDM，平面ANC∩平面BMD＝OG，
AN 平面ANC，
得AN∥OG.
∵OA＝OC，∴CG＝NG，
∴G为CN的中点.
作NH∥BM，交PC于点H，
∴CM＝HM.
∵PM∶MC＝3∶1，∴PH＝HC，
∴PN∶NB＝PH∶HM＝2∶1.
训练2　解　∵EF∥平面AB1C，
平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，
∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，
∴EF＝AC＝×2＝.
例3　解　(1)平行，理由如下：
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，BC 平面PAD，
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
(2)平行.证明如下：
如图所示，
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
训练3　解　直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，
且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
课堂达标
1.B
2.B　[因为MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA，且MN 平面PAC，所以MN∥PA.]
3.A　[因为直线l∥平面α，
所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，
所以a∥b∥c∥…，故选A.]
4.5　[因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，
所以AB∥MN，
又点M是AD的中点，
所以MN是梯形ABCD的中位线，
故MN＝5.](共45张PPT)
第二课时　直线与平面平行的性质定理
第4章 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面平行的性质定理，并加以证明.2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
引入
上一节课我们学习了直线与平面平行的判定定理，可以简单描述为“线线平行，则线面平行”，自然而然有同学会问，线面平行能否得出线线平行，让我们一起走进今天的课堂——直线与平面平行的性质定理.
课时精练
一、直线与平面平行的性质定理
二、与线面平行性质定理有关的计算
三、直线与平面平行的判定和性质定理的综合应用
课堂达标
内容索引
直线与平面平行的性质定理
一
探究1 将一本书打开，扣在桌面上，使书脊所在的直线与桌面平行，那么每页纸和桌面的交线与书脊有什么样的位置关系？
提示　平行.
探究2 如图，直线l∥平面α，直线a 平面α，直线l与直线a一定平行吗？
提示　不一定.
直线与平面平行的性质定理
知识梳理
文字语言 一条直线与一个平面______，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行.
符号语言 ____________________________ a∥b
图形语言
平行
交线
a∥α，a β，α∩β＝b
例1
(链接教材P160例7)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
如图所示，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点.
又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，∴AP∥平面BDM.
又∵AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.
1.利用线面平行的性质定理解题的步骤
思维升华
2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.
如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
训练1
因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB 平面ABC，
所以由线面平行的性质定理知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
与线面平行性质定理有关的计算
二
例2
(1)如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝
4，AF＝5，则EG＝________.
因为A a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.
因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，
(2)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M，N分别为线段PC，PB上一点，若PM∶MC＝3∶1，且AN∥平面BDM，求PN∶NB的值.
如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，连接OG.
由AN∥平面BDM，平面ANC∩平面BMD＝OG，
AN 平面ANC，得AN∥OG.
∵OA＝OC，∴CG＝NG，∴G为CN的中点.
作NH∥BM，交PC于点H，∴CM＝HM.
∵PM∶MC＝3∶1，∴PH＝HC，
∴PN∶NB＝PH∶HM＝2∶1.
思维升华
利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点
(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.
(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.
(3)利用所得关系计算求值.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长.
训练2
∵EF∥平面AB1C，平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF 平面ADC，
∴EF∥AC，
∵E是AD的中点，∴F是CD的中点，
直线与平面平行的判定和性质定理的综合应用
三
例3
如图所示，已知P是 ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.
问：(1)l与BC是否平行？说明理由；
平行，理由如下：
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，BC 平面PAD，
AD 平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又平面PBC∩平面PAD＝l，BC 平面PBC，所以BC∥l.
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
平行.证明如下：如图所示，
取PD的中点E，连接AE，NE，
可以证得NE∥AM且NE＝AM.
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
思维升华
训练3
如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明.
直线l∥平面PAC，证明如下：
因为E，F分别是PA，PC的中点，
所以EF∥AC.
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
而EF 平面BEF，
且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，
所以l∥平面PAC.
【课堂达标】
1.直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线
A.至少有一条 B.至多有一条
C.有且只有一条 D.没有
√
√
2.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
因为MN∥平面PAD，平面PAD∩平面PAC＝PA，且MN 平面PAC，所以MN∥PA.
3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为
A.都平行 B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点
√
因为直线l∥平面α，
所以根据直线与平面平行的性质定理知l∥a，l∥b，l∥c，…，
所以a∥b∥c∥…，故选A.
4.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，
所以AB∥MN，
又点M是AD的中点，
所以MN是梯形ABCD的中位线，
故MN＝5.
5
【课时精练】
√
1.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线
A.只有一条，不在平面α内 B.只有一条，且在平面α内
C.有无数条，一定在平面α内 D.有无数条，不一定在平面α内
假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，
由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，
故过点P且平行于l的直线只有一条，
又因为点P在平面内，
所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内.故选B.
√
2.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
∵EH∥FG，EH 平面BDC，FG 平面BDC，∴EH∥平面BDC，
又EH 平面ABD，
且平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴EH∥BD.
√
3.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是
A.如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
B.如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交
C.如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
D.如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
由线面平行的性质定理知C正确.
√
4.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，则直线a与直线b
A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定
直线a∥平面α，直线a∥平面β，
所以在α，β中可以各找到一条直线平行于直线a，
设m在平面α内，n在平面β内，
则m∥a，n∥a，所以m∥n，
又因为m不在平面β内，n在平面β内，
所以m∥β，又因为α∩β＝b，所以m∥b，
又因为m∥a，所以a∥b，故选B.
√
5.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是
A.E，F，G，H一定是各边的中点
B.G，H一定是CD，DA的中点
C.BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D.AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
由于BD∥平面EFGH，BD 平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EH，
所以有BD∥EH，同理BD∥FG，
则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
6.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是__________________.
画图可知两直线可平行、相交或异面.
平行、相交或异面
7.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是___________.
∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB 平面ABC，∴EG∥AB.
平行四边形
同理FH∥AB，∴EG∥FH.
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD 平面BCD，
∴GH∥CD.
同理EF∥CD，∴GH∥EF，
∴四边形EFHG是平行四边形.
∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN 平面PMN，
9.如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.
10.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.
如图，连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC 平面PAC，
在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，
故PM∶MA＝1∶3.
√
11.(多选)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则
A.AC⊥BD B.AC∥平面PQMN
C.AC＝BD D.M，N分别是线段DC，AD的中点
由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；
√
由PQ∥AC，PQ 平面PQMN，AC 平面PQMN，可得AC∥平面PQMN，故B正确.
不能确定M，N分别是线段DC，AD的中点，从而不能得到AC＝BD.
12.如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为___________.
由EF∥平面BCC1B1，
可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，
平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，
13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
若MB∥平面AEF，过F，B，M的平面交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
如图，设平面ADE与直线B1C相交于点H，连接DH，HE.
2
因为AE∥平面DB1C，
AE 平面ADHE，平面ADHE∩平面B1CD＝DH，
所以AE∥DH，
又AD∥BB1，AD 平面CBB1C1，BB1 平面CBB1C1，
所以AD∥平面CBB1C1，AD 平面ADHE，平面ADHE∩平面CBB1C1＝HE，
所以AD∥EH，
故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，第三课时　直线与平面垂直的判定定理
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
【引入】 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
一、直线与平面垂直的定义
探究1 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 我们能说若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面垂直的定义及画法
定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的________，那么就称直线l与平面α垂直
记法 ________
有关概念 直线l叫作平面α的__________，平面α叫作直线l的__________，它们的交点叫作__________
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
性质 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直
例1 (多选)下列命题中正确的是(　　)
A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
训练1 (多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
A.三角形的两边 　　　 B.梯形的两边
C.圆的两条直径 　　　 D.正六边形的两条边
二、直线与平面垂直的判定定理
探究4 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的________________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，________＝A l⊥α
图形语言
例2 (链接教材P162例9)如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
训练2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三、线面垂直的应用
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　1.探索性问题主要有两种类型：
(1)结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.
(2)存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论“不存在”.
2.本题属于条件探索性问题，需认真分析结论，利用结论中的MN⊥平面PBD探索条件并确定点N的位置.
训练3 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.6
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
其中正确的个数是(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
3.若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是(　　)
A.a⊥b，且a与b相交
B.a⊥b，且a与b不相交
C.a⊥b
D.a与b不一定垂直
4.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的位置关系是________.
第三课时　直线与平面垂直的判定定理
探究1　提示　始终保持垂直.
探究2　提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
探究3　提示　不能.
知识梳理
所有直线　l⊥α　垂线　垂面　垂足
例1　CD　[若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以A错误；
当l与α不垂直时，l与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确.]
训练1　AC　[由线面垂直的判定定理知，直线垂直于AC图形所在的平面.
对于BD图形中的两边不一定是相交直线，
所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.]
探究4　提示　如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在的平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.
知识梳理
两条相交直线　a∩b
例2　证明　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，
∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.
∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，
∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，
且SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
训练2　证明　因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC，所以BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC，BC 平面SBC，
所以AD⊥平面SBC.
例3　(1)证明　如图，取PD的中点E，连接EM，AE，
则有EM綊CD.
而由题意可得
AB綊CD，
∴EM綊AB，
∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE.
∵AE 平面PAD，BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
(2)解　当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD.
理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
∵PA＝AD，E是PD的中点，
∴AE⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABME，
∴PD⊥平面ABME.
作MN⊥BE，交AE于点N，∴MN⊥PD.
又∵PD∩BE＝E，PD，BE 平面PBD，
∴MN⊥平面PBD.
易知△BME∽△MEN，
而BM＝，EM＝AB＝1，
∴＝，即EN＝＝＝.
∵AE＝，∴N为AE的中点.
训练3　解　当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接DE，A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B 平面A1BCD1，
所以AB1⊥平面A1BCD1，
又D1E 平面A1BCD1，所以AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，
所以AF⊥DD1.
又AF⊥DE，DD1∩DE＝D，
DD1，DE 平面D1DE，
所以AF⊥平面D1DE，
又D1E 平面D1DE，
所以AF⊥D1E.
又AF∩AB1＝A，AF，AB1 平面AB1F，
所以D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
课堂达标
1.B　[仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.]
2.C　[①错误，②③正确.]
3.C　[过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，
则b∥c.
因为直线a⊥平面α，c α，所以a⊥c.
因为b∥c，所以a⊥b.
当b与a相交时为相交垂直，
当b与a不相交时为异面垂直.]
4.垂直　[因为PA＝PC，O是AC的中点，
所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，
又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.](共51张PPT)
第三课时　直线与平面垂直的判定定理
第4章 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
引入
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
课时精练
一、直线与平面垂直的定义
二、直线与平面垂直的判定定理
三、线面垂直的应用
课堂达标
内容索引
直线与平面垂直的定义
一
探究1 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，它们的位置关系如何？
提示　始终保持垂直.
探究2 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？
提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
探究3 我们能说若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直吗？
提示　不能.
直线与平面垂直的定义及画法
知识梳理
定义 如果直线l与平面α相交，并且垂直于这个平面内的__________，那么就称直线l与平面α垂直
记法 ________
有关 直线l叫作平面α的______，平面α叫作直线l的______，它们的交点叫作______
所有直线
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
性质 过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直
例1
√
(多选)下列命题中正确的是
A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，所以A错误；
√
当l与α不垂直时，l与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；
过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确.
直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
思维升华
(多选)如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是
A.三角形的两边 　　　 B.梯形的两边
C.圆的两条直径 　　　 D.正六边形的两条边
训练1
√
由线面垂直的判定定理知，直线垂直于AC图形所在的平面.
√
对于BD图形中的两边不一定是相交直线，
所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
直线与平面垂直的判定定理
二
探究4 如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？
提示　如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在的平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.
知识梳理
直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的______________垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 a α，b α，l⊥a，l⊥b，________＝A l⊥α
图形语言
两条相交直线
a∩b
例2
(链接教材P162例9)如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.
在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD.
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.
∴∠SDB＝∠SDA，∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC，BD 平面ABC，∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD，
且SD∩AC＝D，SD，AC 平面SAC，
∴BD⊥平面SAC.
思维升华
利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
(3)根据判定定理得出结论.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC于点D，求证：AD⊥平面SBC.
训练2
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC.
又SA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以SA⊥BC.
又AC∩SA＝A，SA 平面SAC，AC 平面SAC，所以BC⊥平面SAC，
因为AD 平面SAC，所以BC⊥AD.
又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC，BC 平面SBC，
所以AD⊥平面SBC.
线面垂直的应用
三
例3
如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点.
(1)求证：BM∥平面PAD；
如图，取PD的中点E，连接EM，AE，
∴四边形ABME是平行四边形，∴BM∥AE.
∵AE 平面PAD，BM 平面PAD，∴BM∥平面PAD.
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由.
当N为AE的中点时，MN⊥平面PBD.
理由如下：
∵PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD.
∵PA＝AD，E是PD的中点，
∴AE⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABME，
∴PD⊥平面ABME.
作MN⊥BE，交AE于点N，∴MN⊥PD.
又∵PD∩BE＝E，PD，BE 平面PBD，
∴MN⊥平面PBD.
易知△BME∽△MEN，
思维升华
1.探索性问题主要有两种类型：
(1)结论型：从承认结论入手，探索出命题成立的条件.
(2)存在型：先假定“存在”，若经推理无矛盾，则“存在”成立，若推出矛盾，则结论“不存在”.
2.本题属于条件探索性问题，需认真分析结论，利用结论中的MN⊥平面PBD探索条件并确定点N的位置.
训练3
如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接DE，A1B，CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，A1D1，A1B 平面A1BCD1，
所以AB1⊥平面A1BCD1，
又D1E 平面A1BCD1，所以AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，
所以AF⊥DD1.
又AF⊥DE，DD1∩DE＝D，DD1，DE 平面D1DE，
所以AF⊥平面D1DE，
又D1E 平面D1DE，
所以AF⊥D1E.
又AF∩AB1＝A，AF，AB1 平面AB1F，
所以D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
【课堂达标】
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是
A.1 B.2 C.3 D.6
√
仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.
√
2.给出下列三个命题：
①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；
②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；
③一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直.
其中正确的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
①错误，②③正确.
3.若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是
A.a⊥b，且a与b相交 B.a⊥b，且a与b不相交
C.a⊥b D.a与b不一定垂直
√
过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.
因为直线a⊥平面α，c α，所以a⊥c.
因为b∥c，所以a⊥b.
当b与a相交时为相交垂直，
当b与a不相交时为异面垂直.
4.平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PB＝PD，则PO与平面ABCD的位置关系是________.
因为PA＝PC，O是AC的中点，
垂直
所以PO⊥AC，同理PO⊥BD，
又AC∩BD＝O，所以PO⊥平面ABCD.
【课时精练】
√
1.直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
若l∥m，又l α，m α，∴l∥α，
这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.
√
2.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A.若l⊥m，m α，则l⊥α B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m D.若l∥α，m∥α，则l∥m
对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；
对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；
对于C，也有可能是l，m异面；
对于D，l，m还可能相交或异面.
√
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为
A.AD1⊥B1E B.AD1∥B1E
C.AD1与B1E共面 D.以上都不对
连接A1D，则由正方形的性质知AD1⊥A1D.
又B1A1⊥平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，所以B1A1⊥AD1，
又A1B1∩A1D＝A1，A1B1，A1D 平面A1B1ED，
所以AD1⊥平面A1B1ED.
又B1E 平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E.
√
4.空间四边形ABCD的四条边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，
又AC 平面AOC，∴BD⊥AC，
又BD，AC异面，∴选C.
√
5.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有
A.1条 　 B.2条
C.3条 　 D.4条
∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，BD都与AC垂直.
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中直角三角形的个数为________.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD，PA⊥AB，
4
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.
7.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系为________.
∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
垂直
又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，∴l⊥AC.
90°
8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，
∴MN⊥平面C1B1M，
又C1M 平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1 平面BB1O，∴AC⊥平面BB1O，
又E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF 平面A1B1BA，BA1 平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1.
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，
又AE 平面ABC，从而BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCB1，
所以AE⊥平面BCB1.
√
11.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
易证AC⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.
12.(多选)下列命题错误的是
A.若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α
B.若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交
C.如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行
D.过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直
√
A错误，若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交、垂直或l在α内都有可能；
√
√
B错误，若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；
C错误，这两条直线相交、异面都有可能；
D正确，不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A与直线a垂直，
且α∩β＝l，设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ
＝b，β∩γ＝c.因为a⊥α，a⊥β，所以a⊥b，a⊥c，这样
在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的.所以过点A和直线a垂直的平面只有一个.
由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.
又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论.
当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：
∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，
∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF.
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，PA⊥平面AC，E在线段BC上，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是________；E点有一个时，a的值为________.
(6,＋∞)
6
由平面几何知识得,以AD为直径的圆与BC边有两个交点时，a＝BC>2AB＝6，
与BC边有一个交点时a＝BC＝2AB＝6.第四课时　直线与平面垂直的性质定理
课标要求　1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
一、直线与平面垂直的性质定理
探究1 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究2 如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究3 你能证明探究2的结论吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 若a⊥α，b⊥α，则________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行，②作平行线
例1 (链接教材P165T1)如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
训练1 已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
二、空间中的距离问题
探究4 若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
探究5 你能证明探究4的结论吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
1.点到平面的距离
如图，过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称________的长为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离
一条直线与一个平面____________，这条直线上____________到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离.
例2 (链接教材P165例12)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，AB∥CD，AB＝AD＝AP＝CD＝2，E为PC的中点.
(1)求证：BE⊥平面PCD.
(2)求直线AB到平面PCD的距离.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　点、直线到平面的距离的求法
(1)直接法(也称定义法)：即直接找出或作出符合要求的线段，按“一找、二证、三计算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一垂线段.
(2)转移法：转移法是指将此点(或直线)到平面的距离转化为另一点(或该直线上一点)到该平面的距离.在用直接法不易求解时，可考虑利用与平面平行的直线上各点到该平面的距离都相等的性质进行转化.
训练2 如图，已知正方形ABCD的边长为2，分别以AB，BC为一边在空间中作正三角形PAB、正三角形PBC，延长CD到点E，使CE＝2CD，连接AE，PE.
(1)证明：AE⊥平面PAC.
(2)求点B到平面PAE的距离.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三、直线与平面所成的角
探究6 当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面所成的角
(1)斜线：一条直线l与一个平面α________，但不与平面α垂直，这条直线叫作这个平面的斜线.
(2)斜足：斜线与平面的________.
(3)投影：过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作________，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影.
(4)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在该平面上的投影所成的________，叫作这条直线与这个平面所成的角.
(5)直线与平面所成角的取值范围：________.
例3 (链接教材P165T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　求直线与平面所成角的步骤
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
(4)结论.
训练3 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
2.(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，则可以使a∥b成立的条件是(　　)
A.a和b垂直于正方体的同一个面
B.a和b与正方体的同一个面平行
C.a和b平行于同一条棱
D.a和b与正方体的同一条棱垂直
3.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
4.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________.
第四课时　直线与平面垂直的性质定理
探究1　提示　平行.
探究2　提示　a与b平行.
探究3　提示　如图，假设b与a不平行.设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，平面β经过直线b与b′，α∩β＝c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b′∥a，所以b′⊥c.这样，在平面β内，经过直线c上一点O就有两条直线b，b′都与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
知识梳理
平行　a∥b
例1　证明　如图所示，
连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
训练1　C　[∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，
∴l∥m.]
探究4　提示　相等.
探究5　提示　如图，
过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.
即直线l上各点到平面α的距离相等.
知识梳理
1.线段SA
2.平行　任意一点
例2　(1)证明　如图，
取PD的中点F，连接AF，EF.
又E为PC的中点，所以EF是△PCD的中位线，
所以EF∥CD且EF＝CD.
又AB∥CD且AB＝CD，
所以EF∥AB且EF＝AB，
所以四边形ABEF是平行四边形，所以BE∥AF.
因为AD＝AP，F为PD的中点，所以AF⊥PD.
因为AD⊥AB，AB∥CD，所以AD⊥CD.
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF.
又PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD，
即BE⊥平面PCD.
(2)解　因为AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD.
所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.
由(1)得AF⊥平面PCD，则AF等于点A到平面PCD的距离.
因为AB＝AD＝AP＝CD＝2，
所以AF＝PD＝＝.
故点A到平面PCD的距离为，
即直线AB到平面PCD的距离为.
训练2　(1)证明　如图，
连接BD交AC于点O，连接OP，则OA＝OB＝OC.
又∵PC＝PA，∴PO⊥AC.易证△POB≌△POC，
∴∠POB＝∠POC＝90°，∴PO⊥BD.
∵OB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABCD.
∵AE 平面ABCD，∴PO⊥AE.
∵AD⊥CD，AD＝DE＝CD，
∴∠EAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EAC＝90°，即AE⊥AC.
∵PO∩AC＝O，∴AE⊥平面PAC.
(2)解　由题知，AB∥DE，且AB＝DE，可得四边形ABDE为平行四边形，∴BD∥AE.
又∵BD 平面PAE，∴BD∥平面PAE.
∵点O∈BD，∴点B到平面PAE的距离等于点O到平面PAE的距离.取AP的中点F，连接OF，则由(1)可得OF⊥AE.
在Rt△OPB中，PO＝
＝＝，
则PO＝AO，∴OF⊥PA.
∵AE∩AP＝A，∴OF⊥平面PAE，
即OF为点O到平面PAE的距离.
在Rt△POA中，OF＝PA＝1，
即点B到平面PAE的距离为1.
探究6　提示　铅笔和它在桌面上的投影所成的角.
知识梳理
(1)相交　(2)交点　(3)垂线　(4)锐角
(5)
例3　解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，
B1B，B1D1
平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，
又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°.
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
训练3　解　由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC，
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin ∠MBC＝5sin 60°
＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝
＝＝3，
在Rt△MAC中，sin ∠MCA＝
＝＝，
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
课堂达标
1.B
2.AC　[A为直线与平面垂直的性质定理的应用；
C为基本事实4的应用.]
3.2　[由线面间的距离知点B到平面α的距离为2.]
4.30°　[如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，
AB＝10 cm，
AC＝3 cm，BD＝2 cm，
则AO＝6 cm，BO＝4 cm，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.](共60张PPT)
第四课时　直线与平面垂直的性质定理
第4章 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
课标要求
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会应用直线和平面垂直的性质定理证明一些空间的简单线面关系.
课时精练
一、直线与平面垂直的性质定理
二、空间中的距离问题
三、直线与平面所成的角
课堂达标
内容索引
直线与平面垂直的性质定理
一
探究1 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AA′，BB′，CC′，DD′所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？
提示　平行.
探究2 如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？
提示　a与b平行.
探究3 你能证明探究2的结论吗？
提示　如图，假设b与a不平行.设b∩α＝O，b′是经过点O与直线a平行的直线，平面β经过直线b与b′，α∩β＝c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b′∥a，所以b′⊥c.这样，在平面β内，经过直线c上一点O就有两条直线b，b′都与c垂直，显然不可能.因此b∥a.
直线与平面垂直的性质定理
知识梳理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线______
符号语言 若a⊥α，b⊥α，则________
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行，②作平行线
平行
a∥b
例1
(链接教材P165T1)如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
思维升华
已知△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
训练1
√
∵l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，
∴l⊥平面ABC，同理m⊥平面ABC，
∴l∥m.
空间中的距离问题
二
探究4 若直线l∥平面α，直线l上各点到平面α的距离相等吗？
提示　相等.
探究5 你能证明探究4的结论吗？
提示　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.
∵AA1⊥α，BB1⊥α，
∴AA1∥BB1，
设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α＝A1B1，
∵l∥α，∴l∥A1B1.
∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1＝BB1.
即直线l上各点到平面α的距离相等.
知识梳理
1.点到平面的距离
如图，过一点S向平面ABC作垂线，垂足为A，则称__________
的长为点S到平面ABC的距离.
2.直线与平面的距离
一条直线与一个平面______，这条直线上__________到这个平面的距离，叫作这条直线到这个平面的距离.
线段SA
平行
任意一点
例2
如图，取PD的中点F，连接AF，EF.
(1)求证：BE⊥平面PCD.
又E为PC的中点，所以EF是△PCD的中位线，
所以EF∥AB且EF＝AB，
所以四边形ABEF是平行四边形，所以BE∥AF.
因为AD＝AP，F为PD的中点，所以AF⊥PD.
因为AD⊥AB，AB∥CD，所以AD⊥CD.
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.
又AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD.
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF.
又PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD，
即BE⊥平面PCD.
(2)求直线AB到平面PCD的距离.
因为AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，所以AB∥平面PCD.
所以直线AB到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离.
由(1)得AF⊥平面PCD，则AF等于点A到平面PCD的距离.
思维升华
点、直线到平面的距离的求法
(1)直接法(也称定义法)：即直接找出或作出符合要求的线段，按“一找、二证、三计算”的步骤完成，用此方法的关键在于如何找出或作出这一垂线段.
(2)转移法：转移法是指将此点(或直线)到平面的距离转化为另一点(或该直线上一点)到该平面的距离.在用直接法不易求解时，可考虑利用与平面平行的直线上各点到该平面的距离都相等的性质进行转化.
如图，已知正方形ABCD的边长为2，分别以AB，BC为一边在空间中作正三角形PAB、正三角形PBC，延长CD到点E，使CE＝2CD，连接AE，PE.
(1)证明：AE⊥平面PAC.
训练2
如图，连接BD交AC于点O，连接OP，则OA＝OB＝OC.
又∵PC＝PA，∴PO⊥AC.易证△POB≌△POC，
∴∠POB＝∠POC＝90°，∴PO⊥BD.
∵OB∩OC＝O，∴PO⊥平面ABCD.
∵AE 平面ABCD，∴PO⊥AE.
∵AD⊥CD，AD＝DE＝CD，
∴∠EAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EAC＝90°，即AE⊥AC.
∵PO∩AC＝O，∴AE⊥平面PAC.
(2)求点B到平面PAE的距离.
由题知, AB∥DE,且AB＝DE，可得四边形ABDE为平行四边形，∴BD∥AE.
又∵BD 平面PAE，∴BD∥平面PAE.
∵点O∈BD，∴点B到平面PAE的距离等于点O到平面PAE的距离.取AP的中点F，连接OF，则由(1)可得OF⊥AE.
∵AE∩AP＝A，∴OF⊥平面PAE，
即OF为点O到平面PAE的距离.
即点B到平面PAE的距离为1.
直线与平面所成的角
三
探究6 当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察思考铅笔和桌面所成的角怎样定义？
提示　铅笔和它在桌面上的投影所成的角.
知识梳理
直线与平面所成的角
(1)斜线：一条直线l与一个平面α______，但不与平面α垂直，这条直线叫作这个平面的斜线.
(2)斜足：斜线与平面的______.
(3)投影：过斜线l上斜足以外的一点P向平面α作______，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线l在平面α上的投影.
(4)直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在该平面上的投影所成的______，叫作这条直线与这个平面所成的角.
相交
交点
垂线
锐角
知识梳理
(5)直线与平面所成角的取值范围：_______.
例3
(链接教材P165T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，
B1B，B1D1 平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
又∵∠A1OB＝90°，
又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°.
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
思维升华
求直线与平面所成角的步骤
(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
(4)结论.
训练3
如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
由题意知A是M在平面ABC上的射影，
∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC，
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
【课堂达标】
1.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
√
√
2.(多选)直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，则可以使a∥b成立的条件是
A.a和b垂直于正方体的同一个面 B.a和b与正方体的同一个面平行
C.a和b平行于同一条棱 D.a和b与正方体的同一条棱垂直
A为直线与平面垂直的性质定理的应用；
√
C为基本事实4的应用.
3.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.
由线面间的距离知点B到平面α的距离为2.
2
4.一条与平面α相交的线段AB，其长度为10 cm，两端点A，B到平面α的距离分别是3 cm，2 cm，则线段AB与平面α所成角的大小是________.
如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD，AC，BD确定的平面与平面α交于CD，且CD与AB相交于O，
30°
AB＝10 cm，AC＝3 cm，BD＝2 cm，
则AO＝6 cm，BO＝4 cm，
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
即线段AB与平面α所成的角的大小为30°.
【课时精练】
√
√
√
√
2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线
A.平行 B.相交
C.异面 D.以上皆有可能
两条直线平行、相交或异面.
√
3.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是
A.a⊥β B.a∥β
C.a β D.a β或a∥β
若a β，b⊥平面β，可证得a⊥b；
若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c β，则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.
√
连接EB(图略)，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.
√
依题意知A1A⊥平面ABCD，∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，
所以A1A即为A1C1到底面ABCD的距离，
在Rt△ABB1中，∠B1AB＝60°，BB1⊥AB，AB＝1，
6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.
∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
平行
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a 平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
∴a⊥平面EAB，∴a∥l.
7.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1
所成角的正弦值等于________.
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝
λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为________.
因为A1B1∥EF，A1B1 平面D1EF，EF 平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，
点G在A1B1上，所以点G到平面D1EF的距离即点A1到平面D1EF的距离，
9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.
如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
10.如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)求AE与平面BDE所成角的大小.
设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成角的大小为30°.
√
11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，
所以EG∥FH，
所以E，F，H，G四点共面.
又PQ 平面α，
所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β，
则由PQ 平面β，得EF⊥PQ，
又EG与EF为相交直线，
所以PQ⊥平面EFHG，
所以PQ⊥GH.
√
如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，
所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.
13.如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
∴BC⊥平面PCD.
而PC 平面PCD，∴PC⊥BC.
(2)求点A到平面PBC的距离.
过A作AE⊥CD，
交CD的延长线于点E，连接PE，
∵BC⊥CD，∴AE∥BC.
∵AE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，
ED＝AB－DC＝1＝DC，
又PD⊥DC，
∴EP⊥PC，
又EC⊥BC，PC⊥BC，EC∩PC＝C，∴BC⊥平面PCE，
又EP 平面PCE，∴EP⊥BC，
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴EP⊥平面PBC，
14.(多选)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系中正确的是
A.SG⊥平面EFG B.SE⊥平面EFG
C.GF⊥SE D.EF⊥平面SEG
由SG⊥GE，SG⊥EF，GE∩EF＝E，得SG⊥面EFG，故A正确；
√
√
若SE⊥面EFG，故有SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，故B不正确；
∵GF⊥GE，GF⊥GS，GE∩GS＝G，∴GF⊥面SEG，
∵SE 面SEG，∴GF⊥SE，故C正确；
若EF⊥面SEG，∴GF∥EF，这与EF∩GF＝F矛盾，故D不正确.4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
第一课时　直线与平面平行的判定定理
课标要求　1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中直线和平面的位置关系，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行.
【引入】 为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片.
如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？
一、空间中直线与平面的位置关系
探究1 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有____个公共点 有且只有____公共点 ____公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
例1 (1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是(　　)
A.若a∥b，b α，则a∥α
B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α
D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
训练1 下列命题中正确的个数是(　　)
①如果直线a，b满足a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、直线与平面平行的判定定理
探究2 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果______一条直线与此________的一条直线________，那么该直线与此平面平行
符号语言 ________________________ a∥α
图形语言
温馨提示　(1)定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”，缺一不可；(2)实质是线线平行 线面平行.
例2 (1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
(2)(链接教材P158例6)如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形中位线、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
训练2 (1)(多选)下列说法正确的是(　　)
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α或l α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a与直线b不相交，直线b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
三、线面平行的探索性问题
例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　平行中的探索问题解题策略
(1)主要类型：①对平行关系的探索；②对条件或结论不完备的开放性问题的探索.
(2)解题思路：首先假设存在，然后在这个假设的条件下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设.
(3)注意事项：①解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来；②在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测.
训练3 如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.能保证直线与平面平行的条件是(　　)
A.直线与平面内的一条直线平行
B.直线与平面内的某条直线不相交
C.直线与平面内的无数条直线平行
D.直线与平面内的所有直线不相交
2.若平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.AB α
3.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行
B.若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行
C.若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行
D.若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________个.
第一课时　直线与平面平行的判定定理
探究1　提示　(1)直线在平面内——有无数个公共点.
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.
(3)直线与平面平行——没有公共点.
知识梳理
无数　一个　没有
例1　(1)B　(2)ABC　[(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1B1∥AB，
AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.]
训练1　B　[如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.]
探究2　提示　AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
知识梳理
平面外　平面内　平行　a α，b α，且a∥b
例2　(1)D　[由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.]
(2)证明　如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
因为AD∥BC，
所以＝，
又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP，
又MN 平面SBC，SP 平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
训练2　(1)AD　[A正确；
B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；
C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内；D正确.]
(2)证明　如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，
GN＝DC.
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM＝DC，AM∥DC，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又∵MN 平面PAD，AG 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
例3　解　存在.证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，
因此MD∥OE且MD＝OE，
从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
训练3　解　如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
取BE的中点N，连接CN，MN，
则MN∥AB且MN＝AB.
又PC∥AB且PC＝AB，
所以MN綊PC，
即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
课堂达标
1.D　[根据线面平行的判定与定义，知D满足.]
2.C　[结合图形可知选项C正确.]
3.ABD　[C中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故C不正确，ABD都正确.]
4.2　[如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
连接A1C1，C1D，EF，
因为F为B1D1的中点，
所以F为A1C1的中点，
在△A1C1D中，EF为中位线，
所以EF∥C1D，
又EF 平面C1CDD1，
C1D 平面C1CDD1，
所以EF∥平面C1CDD1.
同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA，共2个.](共51张PPT)
第一课时　直线与平面平行的判定定理
第4章 4.3　直线与直线、直线与平面的位置关系
4.3.2　空间中直线与平面的位置关系
课标要求
1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中直线和平面的位置关系，归纳出直线与平面平行的判定定理，并加以证明.2.会应用直线与平面平行的判定定理证明直线与平面平行.
引入
为了美化城市，许多城市实施“景观工程”，对现有平顶房进行“平改坡”，将平顶改成尖顶，并铺上彩色瓦片.
如图，工人们在施工时，是如何确保尖顶屋脊EF与平顶ABCD平行的呢？
课时精练
一、空间中直线与平面的位置关系
二、直线与平面平行的判定定理
三、线面平行的探索性问题
课堂达标
内容索引
空间中直线与平面的位置关系
一
探究1 一支笔所在的直线与桌面所在的平面有哪些位置关系呢？
提示　(1)直线在平面内——有无数个公共点.
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点.
(3)直线与平面平行——没有公共点.
知识梳理
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 有______个公共点 有且只有______公共点 ______公共点
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
无数
一个
没有
例1
√
(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.
√
(2)(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题中假命题是
A.若a∥b，b α，则a∥α B.若a∥α，b∥α，则a∥b
C.若a∥b，b∥α，则a∥α D.若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
√
√
A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，
A1B1 平面ABB1A1，故A错误；
A1B1∥平面ABCD，B1C1∥平面ABCD，
但A1B1与B1C1相交，故B错误；
AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；
因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面.
在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
思维升华
下列命题中正确的个数是
①如果直线a，b满足a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
训练1
√
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.
直线与平面平行的判定定理
二
探究2 如图将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在的平面有什么样的位置关系？该如何判定直线与平面平行呢？
提示　AB平行于桌面所在平面，由翻动过程中，封面另一边始终在桌面所在平面内，故可知：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
知识梳理
直线与平面平行的判定定理
文字语言 如果________一条直线与此________的一条直线______，那么该直线与此平面平行
符号语言 __________________________ a∥α
图形语言
平面外
平面内
平行
a α，b α，且a∥b
温馨提示
(1)定理中的三个条件“a α，b α，a∥b”，缺一不可；(2)实质是线线平行 线面平行.
例2
√
(1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
A.相交 B.b∥α C.b α D.b∥α或b α
由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
求证：MN∥平面SBC.
如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP.
又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
思维升华
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形中位线、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理.
(1)(多选)下列说法正确的是
A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α或l α
B.若直线a在平面α外，则a∥α
C.若直线a与直线b不相交，直线b α，则a∥α
D.若直线a∥b，b α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线
训练2
√
A正确；
√
B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；
C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内；D正确.
(2)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.
如图，取PD的中点G，连接GA，GN.
∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，
∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，
∴AM∥GN，AM＝GN，
∴四边形AMNG为平行四边形，
∴MN∥AG.
又∵MN 平面PAD，AG 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
线面平行的探索性问题
三
例3
在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
存在.证明如下：
如图，取线段AB的中点为M，
连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.
由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，OM，
则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，
因此MD∥OE且MD＝OE，
从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE 平面A1MC，MO 平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.
思维升华
平行中的探索问题解题策略
(1)主要类型：①对平行关系的探索；②对条件或结论不完备的开放性问题的探索.
(2)解题思路：首先假设存在，然后在这个假设的条件下推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，若推出了矛盾就否定假设.
(3)注意事项：①解决此类问题的关键是通过条件与所求把要探索的问题确定下来；②在转化过程中要有理有据，不能凭空猜测.
训练3
如图，四边形ABCD为正方形，△ABE为等腰直角三角形，AB＝AE，P是线段CD的中点，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE.若存在，指出点M的位置，并证明你的结论.
如图，存在点M，当点M是线段AE的中点时，PM∥平面BCE.
即四边形MNCP为平行四边形，
所以PM∥CN.
因为PM 平面BCE，CN 平面BCE，
所以PM∥平面BCE.
【课堂达标】
1.能保证直线与平面平行的条件是
A.直线与平面内的一条直线平行
B.直线与平面内的某条直线不相交
C.直线与平面内的无数条直线平行
D.直线与平面内的所有直线不相交
√
根据线面平行的判定与定义，知D满足.
√
2.若平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是
A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AB α
结合图形可知选项C正确.
3.(多选)下列说法中正确的是
A.若直线与平面没有公共点，则直线与平面平行
B.若直线与平面内的任意一条直线不相交，则直线与平面平行
C.若直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行
D.若平面外的直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交
√
C中若直线在平面内，虽与平面内的无数条直线平行，但直线与平面不平行，故C不正确，ABD都正确.
√
√
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体6个表面中与直线EF平行的平面有________个.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
2
连接A1C1，C1D，EF，因为F为B1D1的中点，
所以F为A1C1的中点，在△A1C1D中，EF为中位线，
所以EF∥C1D，
又EF 平面C1CDD1，C1D 平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.
同理，EF∥平面A1B1BA.
故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA，共2个.
【课时精练】
√
1.能保证直线a与平面α平行的条件是
A.b α，a∥b
B.b α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D.a α，b α，a∥b
由线面平行的判定定理可知，D正确.
√
2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是
A.MN∥β B.MN与β相交或MN β
C.MN∥β或MN β D.MN∥β或MN与β相交或MN β
若平面β是△ABC所在的平面，
则MN β.
若MN β，则MN∥β.故选C.
√
3.过直线l外两点作与l平行的平面，则这样的平面
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；
若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；
若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行.
√
4.已知直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面
A.有且只有一个 　　 B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在 　　 D.不存在
在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，
又∵a∩b′＝A，
∴a与b′确定一个平面α，
即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.
√
5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
由题意知OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，故①正确；
PD 平面PCD，OM 平面PCD，∴OM∥平面PCD，故②正确；
同理可得OM∥平面PDA，故③正确；
OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确.故共有3个结论正确.
6.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________.
l α
7.三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，
平行
又AE∶ES＝2∶1，
∴EG∥SF，
又SF 平面SBC，EG 平面SBC，
∴EG∥平面SBC.
平行
8.如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.
∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.
又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
∴MN∥平面ADE.
9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
取AB1的中点H，连接EH，HC1.
∵E为棱AB的中点，∴EH∥BB1
又BB1∥CC1且BB1＝CC1，
∴EH∥DC1且EH＝DC1，
∴四边形EHC1D为平行四边形，
∴DE∥HC1.
又∵HC1 平面AB1C1，DE 平面AB1C1，
∴DE∥平面AB1C1.
10.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD；
设BC∩OD＝E，∵D是弧BC的中点，∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，
OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的底面半径.
设圆锥底面半径为r，高为h，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，
即此圆锥的底面半径为3.
√
又EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.
12.如图为正方体ABCD－A1B1C1D1切去一个三棱锥B1－A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是______，D1O与A1B的夹角为________.
如图，将其补成正方体ABCD－A1B1C1D1，设B1D1和A1C1交于点O1，
平行
30°
连接O1B，依题意可知D1O1∥OB，且D1O1＝OB，
即四边形D1OBO1为平行四边形，
则D1O∥O1B.
因为BO1 平面A1BC1，D1O 平面A1BC1，
所以直线D1O∥平面A1BC1.
∠A1BO1为D1O与A1B的夹角，
易知∠A1BO1＝30°.
存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.理由如下：如图，
连接AC，BD交于点O.因为四边形ABCD为矩形，
所以O为AC的中点.
连接OP，因为P为AM的中点，所以MC∥OP.
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，所以MC∥平面PBD.
14.如图，在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点，M是AD上一点，且AM＝2MD，设点N是平面ABED内一点，且MN∥平面FGH，则点N的位置是___________________________________________.(写出一种即可)
点N可以是线段BE上靠近点E的三等分点.
N是线段BE上靠近点E的三等分点(答案不唯一)
证明如下：连接MN(图略)，因为AM＝2MD，BN＝2NE，
所以AB∥MN，又G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB，所以MN∥GH，又GH 平面FGH，MN 平面FGH，
所以MN∥平面FGH.第4章　课时精练34　直线与平面平行的判定定理
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分.
一、基础巩固
1.能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
b α，a∥b
b α，c∥α，a∥b，a∥c
b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
a α，b α，a∥b
2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是(　　)
MN∥β
MN与β相交或MN β
MN∥β或MN β
MN∥β或MN与β相交或MN β
3.过直线l外两点作与l平行的平面，则这样的平面(　　)
不可能作出
只能作出一个
能作出无数个
上述三种情况都存在
4.已知直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)
有且只有一个 　　 有无数多个
有且只有一个或不存在 　　 不存在
5.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.
其中正确的个数为(　　)
1 2
3 4
6.已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m α，l∥m”中另外添加的一个条件是________.
7.三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________.
8.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________
9.(13分)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，若D是棱CC1的中点，E是棱AB的中点，证明：DE∥平面AB1C1.
10.(15分)如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C为底面圆周上一点.
(1)若弧BC的中点为D.求证：AC∥平面POD；
(2)如果△PAB的面积是9，求此圆锥的底面半径.
二、综合运用
11.如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若＝＝，则与平面EFGH平行的直线有(　　)
0条 1条
2条 3条
12.如图为正方体ABCDA1B1C1D1切去一个三棱锥B1A1BC1后得到的几何体，若点O为底面ABCD的中心，则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是______，D1O与A1B的夹角为________.
13.(17分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，M是上异于C，D的点.在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.
三、创新拓展
14.如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点，M是AD上一点，且AM＝2MD，设点N是平面ABED内一点，且MN∥平面FGH，则点N的位置是________________________.(写出一种即可)
课时精练34　直线与平面平行的判定定理
1.D　[由线面平行的判定定理可知，D正确.]
2.C　[若平面β是△ABC所在的平面，
则MN β.
若MN β，则MN∥β.故选C.]
3.D　[设直线外两点为A，B，若直线AB∥l，则过A，B可作无数个平面与l平行；
若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；
若直线AB与l相交，则过A，B没有平面与l平行.]
4.A　[在a上任取一点A，则过A与b平行的直线有且只有一条，设为b′，
又∵a∩b′＝A，
∴a与b′确定一个平面α，
即为过a与b平行的平面，可知它是唯一的.]
5.C　[由题意知OM是△BPD的中位线，
∴OM∥PD，故①正确；
PD 平面PCD，OM 平面PCD，
∴OM∥平面PCD，故②正确；
同理可得OM∥平面PDA，故③正确；
OM与平面PBA和平面PBC都相交，故④，⑤不正确.故共有3个结论正确.]
6.l α
7.平行　[如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2∶1，
又AE∶ES＝2∶1，
∴EG∥SF，
又SF 平面SBC，EG 平面SBC，
∴EG∥平面SBC.]
8.平行　[∵M，N分别是BF，BC的中点，
∴MN∥CF.
又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，
∴MN∥DE.
又MN 平面ADE，DE 平面ADE，
∴MN∥平面ADE.]
9.证明　取AB1的中点H，连接EH，HC1.
∵E为棱AB的中点，
∴EH∥BB1
且EH＝BB1.
又∵D为棱CC1的中点，
∴DC1＝CC1，
又BB1∥CC1且BB1＝CC1，
∴EH∥DC1且EH＝DC1，
∴四边形EHC1D为平行四边形，
∴DE∥HC1.
又∵HC1 平面AB1C1，DE 平面AB1C1，
∴DE∥平面AB1C1.
10.(1)证明　设BC∩OD＝E，
∵D是弧BC的中点，
∴E是BC的中点，
又∵O是AB的中点，∴AC∥OE，
又∵AC 平面POD，
OE 平面POD，
∴AC∥平面POD.
(2)解　设圆锥底面半径为r，高为h，
∵圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，
∴h＝r，
∵S△PAB＝×2r×h＝r2＝9，∴r＝3，
即此圆锥的底面半径为3.
11.C　[∵＝，∴EF∥AB.
又EF 平面EFGH，AB 平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
同理，由＝，可证CD∥平面EFGH.
∴与平面EFGH平行的直线有2条.]
12.平行　30°　[如图，将其补成正方体ABCD－A1B1C1D1，
设B1D1和A1C1交于点O1，连接O1B，依题意可知D1O1∥OB，且D1O1＝OB，
即四边形D1OBO1为平行四边形，
则D1O∥O1B.
因为BO1 平面A1BC1，D1O 平面A1BC1，
所以直线D1O∥平面A1BC1.
∠A1BO1为D1O与A1B的夹角，
易知∠A1BO1＝30°.]
13.解　存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.理由如下：
如图，连接AC，BD交于点O.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点.
连接OP，因为P为AM的中点，
所以MC∥OP.
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
14.N是线段BE上靠近点E的三等分点(答案不唯一)　[点N可以是线段BE上靠近点E的三等分点.
证明如下：连接MN(图略)，因为AM＝2MD，BN＝2NE，
所以AB∥MN，又G，H分别为AC，BC的中点，
所以GH∥AB，
所以MN∥GH，又GH 平面FGH，MN 平面FGH，
所以MN∥平面FGH.]第4章　课时精练35　直线与平面平行的性质定理
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线(　　)
只有一条，不在平面α内
只有一条，且在平面α内
有无数条，一定在平面α内
有无数条，不一定在平面α内
2.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是(　　)
平行 相交
异面 不确定
3.对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是(　)
如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n∥α
如果m α，n α，m，n是异面直线，那么n与α相交
如果m α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
4.已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，则直线a与直线b(　　)
相交 平行
异面 不确定
5.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是(　　)
E，F，G，H一定是各边的中点
G，H一定是CD，DA的中点
BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
6.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是__________.
7.如图，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________.
8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
9.(13分)如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形.
10.(15分)如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值.
二、综合运用
11.(多选)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则(　　)
AC⊥BD
AC∥平面PQMN
AC＝BD
M，N分别是线段DC，AD的中点
12.如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________.
13.(16分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.
三、创新拓展
14.如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，E是BC上的动点，D是AA1上的动点，且＝m，AE∥平面DB1C.若E是BC上靠近B的三等分点，则m的值为________.
课时精练35　直线与平面平行的性质定理
1.B　[假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l，
由平行公理得m∥n，
这与两条直线m与n相交于点P相矛盾，
故过点P且平行于l的直线只有一条，
又因为点P在平面内，
所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内.故选B.]
2.A　[∵EH∥FG，EH 平面BDC，FG 平面BDC，∴EH∥平面BDC，
又EH 平面ABD，
且平面ABD∩平面BDC＝BD，
∴EH∥BD.]
3.C　[由线面平行的性质定理知C正确.]
4.B　[直线a∥平面α，直线a∥平面β，
所以在α，β中可以各找到一条直线平行于直线a，
设m在平面α内，n在平面β内，
则m∥a，n∥a，所以m∥n，
又因为m不在平面β内，n在平面β内，
所以m∥β，
又因为α∩β＝b，所以m∥b，
又因为m∥a，所以a∥b，故选B.]
5.D　[由于BD∥平面EFGH，BD 平面ABD，平面ABD∩平面EFGH＝EH，
所以有BD∥EH，同理BD∥FG，
则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.]
6.平行、相交或异面　[画图可知两直线可平行、相交或异面.]
7.平行四边形　[∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，AB 平面ABC，∴EG∥AB.
同理FH∥AB，∴EG∥FH.
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，CD 平面BCD，
∴GH∥CD.
同理EF∥CD，∴GH∥EF，
∴四边形EFHG是平行四边形.]
8.a　[∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，MN 平面PMN，
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，
故PQ＝＝DP＝a.]
9.证明　∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，BC 平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.
10.解　如图，
连接BD交AC于点O1，连接OM.
因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC 平面PAC，
所以PC∥OM，所以＝.
在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，
所以＝.
又AO1＝CO1，所以＝＝，
故PM∶MA＝1∶3.
11.AB　[由题意知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC，PQ 平面PQMN，AC 平面PQMN，可得AC∥平面PQMN，故B正确.
不能确定M，N分别是线段DC，AD的中点，从而不能得到AC＝BD.]
12.4＋6　[由EF∥平面BCC1B1，
可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，
平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，
所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝
4＋6.]
13.解　若MB∥平面AEF，过F，B，M的平面交AE于点N，连接MN，NF.
因为BF∥平面AA1C1C，BF 平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.
又MB∥平面AEF，MB 平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，
所以BFNM是平行四边形，
所以MN∥BF，MN＝BF＝1.
而EC∥FB，EC＝2FB＝2，
所以MN∥EC，MN＝EC＝1，
故MN是△ACE的中位线.
所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.
14.2　[如图，设平面ADE与直线B1C相交于点H，连接DH，HE.
因为AE∥平面DB1C，
AE 平面ADHE，平面ADHE∩平面B1CD＝DH，
所以AE∥DH，
又AD∥BB1，AD 平面CBB1C1，BB1 平面CBB1C1，
所以AD∥平面CBB1C1，AD 平面ADHE，平面ADHE∩平面CBB1C1＝HE，
所以AD∥EH，
故四边形DAEH是平行四边形，则AD＝EH，
因为EH∥BB1，所以＝＝，
所以＝＝，则＝2，即m＝2.]第4章　课时精练36　直线与平面垂直的判定定理
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.直线l⊥平面α，直线m α，则l与m不可能(　　)
平行 相交
异面 垂直
2.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
若l⊥m，m α，则l⊥α
若l⊥α，l∥m，则m⊥α
若l∥α，m α，则l∥m
若l∥α，m∥α，则l∥m
3.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，侧面AA1D1D为正方形，E为棱CD上任意一点，则AD1与B1E的关系为(　　)
AD1⊥B1E AD1∥B1E
AD1与B1E共面 以上都不对
4.空间四边形ABCD的四条边相等，则它的两条对角线AC，BD的关系是(　　)
垂直且相交 相交但不一定垂直
垂直但不相交 不垂直也不相交
5.如图所示，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，在图中与AC垂直的线段有(　　)
1条 　　 2条
3条 　　 4条
6.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中直角三角形的个数为________.
　　
7.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的位置关系为________.
8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________.
　
9.(13分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
10.(15分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.
(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求证：直线AE⊥平面BCB1.
二、综合运用
11.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为(　　)
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形 无法确定
12.(多选)下列命题错误的是(　　)
若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l⊥α
若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α必相交
如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行
过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直
13.(16分)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点.
(1)求证： C1D⊥平面AA1B1B；
(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论.
三、创新拓展
14.如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，PA⊥平面AC，E在线段BC上，在满足条件PE⊥DE的E点有两个时，a的取值范围是________；E点有一个时，a的值为________.
课时精练36　直线与平面垂直的判定定理
1.A　[若l∥m，又l α，m α，∴l∥α，
这与已知l⊥α矛盾.
所以直线l与m不可能平行.]
2.B　[对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；
对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；
对于C，也有可能是l，m异面；
对于D，l，m还可能相交或异面.]
3.A　[连接A1D，则由正方形的性质知AD1⊥A1D.
又B1A1⊥平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
所以B1A1⊥AD1，
又A1B1∩A1D＝A1，A1B1，
A1D 平面A1B1ED，
所以AD1⊥平面A1B1ED.
又B1E 平面A1B1ED，所以AD1⊥B1E.]
4.C　[取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
且AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，
又AC 平面AOC，
∴BD⊥AC，
又BD，AC异面，∴选C.]
5.D　[∵PO⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴PO⊥AC，
又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O，
∴AC⊥平面PBD，
∴平面PBD中的4条线段PB，PD，PO，
BD都与AC垂直.]
6.4　[∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD，PA⊥AB，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形.]
7.垂直　[∵AB⊥α，l α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴l⊥平面ABC，
又AC 平面ABC，∴l⊥AC.]
8.90°　[∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN 平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.
又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，
∴MN⊥平面C1B1M，
又C1M 平面C1B1M，
∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.]
9.证明　∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，BO，BB1 平面BB1O，
∴AC⊥平面BB1O，
又E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
10.证明　(1)如图，连接A1B.
在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又因为EF 平面A1B1BA，BA1 平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，
BB1∥AA1，
所以BB1⊥平面ABC，
又AE 平面ABC，从而BB1⊥AE.
又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1 平面BCB1，
所以AE⊥平面BCB1.
11.B　[易证AC⊥平面PBC，
又BC 平面PBC，所以AC⊥BC.]
12.ABC　[A错误，若直线m∥平面α，直线l⊥m，则l与α平行、相交、垂直或l在α内都有可能；
B错误，若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α平行、相交或l在α内都有可能；
C错误，这两条直线相交、异面都有可能；
D正确，不论点A是否在直线a上(如图)，设过点A与直线a垂直的平面为α.如果还有一个平面β过点A与直线a垂直，且α∩β＝l，设过点A和直线a且不过l的平面为γ，且α∩γ＝b，β∩γ＝c.因为a⊥α，a⊥β，所以a⊥b，a⊥c，这样在同一平面γ内，过一点A就有两条直线b，c都与a垂直，这是不可能的.所以过点A和直线a垂直的平面只有一个.]
13.(1)证明　由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.
又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)解　当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下：
由(1)得C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
易知A1B1＝，∵AA1＝，
∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，
∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF.
14.(6，＋∞)　6
[
DE⊥AE.
由平面几何知识得，以AD为直径的圆与BC边有两个交点时，a＝BC>2AB＝6，
与BC边有一个交点时a＝BC＝2AB＝6.]第4章　课时精练37　直线与平面垂直的性质定理
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.(多选)下列命题正确的是(　　)
b⊥α a∥b
a⊥b a∥b
2.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　)
平行 相交
异面 以上皆有可能
3.直线a⊥直线b，直线b⊥平面β，则a与β的关系是(　　)
a⊥β a∥β
a β a β或a∥β
4.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为(　　)
2 　　　 1
　　　
5.若长方体ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　)
1 　　　
2 　　　
6.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a β，a⊥AB，则直线a与直线l的位置关系是________.
7.已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于________.
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为________.
9.(13分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF与异面直线AC，A1D都垂直.求证：EF∥BD1.
10.(13分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小.
二、综合运用
11.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
EF⊥平面α EF⊥平面β
PQ⊥GE PQ⊥FH
12.在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)
2 7
13.(17分)如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离.
三、创新拓展
14.(多选)如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系中正确的是(　　)
SG⊥平面EFG SE⊥平面EFG
GF⊥SE EF⊥平面SEG
课时精练37　直线与平面垂直的性质定理
1.ACD
2.D　[两条直线平行、相交或异面.]
3.D　[若a β，b⊥平面β，可证得a⊥b；
若a∥β，过a作平面α，α∩β＝c，b⊥平面β，c β，则b⊥c，a∥c，于是b⊥a.]
4.D　[连接EB(图略)，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，
则tan∠FEB＝＝.]
5.D　[依题意知A1A⊥平面ABCD，
∠B1AB＝60°，A1C1∥平面ABCD，
所以A1A即为A1C1到底面ABCD的距离，
在Rt△ABB1中，∠B1AB＝60°，BB1⊥AB，
AB＝1，
所以A1A＝B1B＝.]
6.平行　[∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，
即l α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.
又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.
∵EB⊥β，a 平面β，∴EB⊥a.
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
∴a⊥平面EAB，∴a∥l.]
7.　[取A1C1中点E，连接AE，B1E，由题意知B1E⊥平面ACC1A1，则∠B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角，令各棱长为1，
则sin∠B1AE＝＝.]
8.　[因为A1B1∥EF，
A1B1 平面D1EF，EF 平面D1EF，
所以A1B1∥平面D1EF，
点G在A1B1上，所以点G到平面D1EF的距离即点A1到平面D1EF的距离，
即点A1到D1E的距离，D1E＝，
由三角形面积公式可得所求距离为＝.]
9.证明　如图所示，连接AB1，B1D1，B1C，BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1 平面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，
又AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C 平面AB1C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
10.(1)证明　∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD，DE 平面BED，BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE.
(2)解　设AC∩BD＝O，连接EO，如图所示.
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的投影，
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中，EA＝＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝30°，即AE与平面BDE所成角的大小为30°.
11.B　[因为EG⊥平面α，FH⊥平面α，
所以EG∥FH，
所以E，F，H，G四点共面.
又PQ 平面α，
所以EG⊥PQ.
若EF⊥平面β，
则由PQ 平面β，得EF⊥PQ，
又EG与EF为相交直线，
所以PQ⊥平面EFHG，
所以PQ⊥GH.]
12.A　[如图所示，因为PC⊥平面ABC，CM 平面ABC，所以PC⊥CM，则△PCM
是直角三角形，故PM2＝PC2＋CM2，
所以当CM⊥AB时，CM最小，此时PM也最小.
由条件知AC＝4，BC＝4，
故CM的最小值为2，
又PC＝4，则PM的最小值为＝2.]
13.(1)证明　∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，∴PD⊥BC.
∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，
∴BC⊥平面PCD.
而PC 平面PCD，∴PC⊥BC.
(2)解　过A作AE⊥CD，
交CD的延长线于点E，连接PE，
∵BC⊥CD，∴AE∥BC.
∵AE 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE∥平面PBC，
∴点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离，
ED＝AB－DC＝1＝DC，
又PD⊥DC，
∴PE＝PC＝，∠PED＝∠PCD＝45°，
∴EP⊥PC，
又EC⊥BC，PC⊥BC，EC∩PC＝C，
∴BC⊥平面PCE，
又EP 平面PCE，∴EP⊥BC，
又PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴EP⊥平面PBC，
∴点E到平面PBC的距离为.
∴点A到平面PBC的距离为.
14.AC　[由SG⊥GE，SG⊥EF，GE∩EF＝E，得SG⊥面EFG，故A正确；
若SE⊥面EFG，故有SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，故B不正确；
∵GF⊥GE，GF⊥GS，GE∩GS＝G，∴GF⊥面SEG，∵SE 面SEG，∴GF⊥SE，故C正确；
若EF⊥面SEG，∴GF∥EF，这与EF∩GF＝F矛盾，故D不正确.]

展开更多......

收起↑