资源简介

5.2.2　概率的运算
课标要求　通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算公式.
【引入】 我们知道事件的交、并、补的运算还是事件，而随机事件的概率是可求的，故概率是可以运算的，让我们先来学习两个互斥事件的概率运算吧.
一、两个互斥事件的概率加法公式
探究1 抛掷一枚质地均匀的骰子，A＝{向上的点数是1}，B＝{向上的点数是2}，C＝{向上的点数是1或2}.
(1)事件A与事件B什么关系？
(2)P(A)，P(B)，P(C)三者之间存在怎样的关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
两个互斥事件的概率加法公式
(1)如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)＝____________.
(2)两个互斥事件的概率加法公式的推广：如果事件A1，A2，A3，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪An发生(是指A1，A2，A3，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝_____________.
例1 (链接教材P221例3(1))黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤为：
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
训练1 在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
年最高水位 (单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位(单位：m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18].
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
二、对立事件的概率公式
探究2 抛掷一枚质地均匀的骰子，若A＝{向上的点数为1}，D＝{向上的点数不小于2}，则事件A与事件D什么关系，P(A)与P(D)存在怎样的关系？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
对立事件的概率公式
对于对立事件A与，从集合的角度看，由事件所含的样本点组成的集合是全集Ω中的事件A所含样本点组成集合的________.因此，对于对立事件，其概率之间有如下关系：如果A是样本空间Ω的事件，则P()＝________.
例2 (链接教材P221例3(2))甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：
(1)甲获胜的概率；
(2)甲不输的概率.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
训练2 某运动员射击一次，若事件A(中靶)的概率为0.95，则的概率＝________；若事件B(中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C(中靶环数小于6)的概率＝________；事件D(中靶环数大于0且小于6)的概率＝________.
三、一般概率加法公式
探究3 对于任意的事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【知识梳理】
一般概率加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
例3 (链接教材P224例5)甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，他们跑每一棒的概率均为.求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　1.对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B，A，B，A∩B的含义进行求解.
2.若该模型不是古典概型，则需要套用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，特别要注意P(A∩B)的数值.
训练3 在所有的两位数(10～99)中，任取一个数恰好能被2或3整除的概率是(　　)
A. B.
C. D.
四、概率性质的综合应用
例4 已知袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个.从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.
(1)试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少；
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
思维升华　求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，即将事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和；二是间接法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率，这两种方法都可使复杂事件概率的计算得到简化.
训练4 某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
【课堂达标】
1.在一个试验中，若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是(　　)
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.以上答案都不对
2.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝(　　)
A.0.3 B.0.6
C.0.7 D.0.8
3.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
4.甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________.
5.2.2　概率的运算
探究1　提示　(1)互斥.
(2)由于样本空间Ω有6个样本点，A，B，C分别有1个样本点、1个样本点和2个样本点，且事件C＝A∪B，因此P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝＝，所以P(C)＝P(A)＋P(B).
知识梳理
(1)P(A)＋P(B)
(2)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
例1　解　对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
训练1　解　记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.
(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18]的概率分别为0.82，0.38，0.24.
探究2　提示　事件A与D互斥且对立，D有5个样本点，则P(D)＝，又P(A)＝，所以P(A)＝1－P(D)(或P(A)＋P(D)＝1).
知识梳理
补集　1－P(A)
例2　解　(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率p＝1－－＝.
即甲获胜的概率是.
(2)法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
所以P(A)＝＋＝.
法二　设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝.
即甲不输的概率是.
训练2　0.05　0.3　0.25　[P()＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
依据题意，事件C与事件B是对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.7＝0.3.
依据题意，事件C是事件D与事件的和事件，且事件D与事件互斥，故P(C)＝P(D)＋P()，
故P(D)＝P(C)－P()＝0.3－0.05＝0.25.]
探究3　提示　不一定.
例3　解　设事件A＝“甲跑第一棒”，事件B＝“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.
记甲跑第x棒，乙跑第y棒为(x，y)，
则共有12个样本点，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}.
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，
故P(A∩B)＝.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)
＝＋－＝.
训练3　C　[在所有的两位数中，能被2整除的共计45个，被3整除的共计30个，能被6整除的共计15个，
因此所求概率为P＝＋－＝＝.]
例4　解　(1)从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的.
由题意得
则
解得
故取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是.
(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝＋＝，故得到的不是红球也不是绿球的概率为P＝1－P(A∪D)＝1－＝.
训练4　解　(1)记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.
这四个事件两两不可能同时发生，
故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)设他不乘轮船去的概率为p，
则p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
课堂达标
1.C
2.C　[因为A与B互斥，B与C对立，
所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.]
3.D　[记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的样本点有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，
则其对立事件表示“所取的3个球中没有白球”，
则事件包含的样本点有1个：(a1，a2，a3)，
所以P()＝.
故P(A)＝1－P()＝1－＝.]
4.0.9　[设事件A＝“甲命中”，B＝“乙命中”，则甲、乙两人至少有一人命中为事件A∪B.
易知P(A)＝0.8，P(B)＝0.6，P(AB)＝0.5，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.8＋0.6－0.5＝0.9.](共62张PPT)
第5章 5.2　概率及运算
5.2.2　概率的运算
课标要求
通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算公式.
引入
我们知道事件的交、并、补的运算还是事件，而随机事件的概率是可求的，故概率是可以运算的，让我们先来学习两个互斥事件的概率运算吧.
课时精练
一、两个互斥事件的概率加法公式
二、对立事件的概率公式
三、一般概率加法公式
课堂达标
内容索引
四、概率性质的综合应用
两个互斥事件的概率加法公式
一
探究1 抛掷一枚质地均匀的骰子，A＝{向上的点数是1}，B＝{向上的点数是2}，C＝{向上的点数是1或2}.
(1)事件A与事件B什么关系？
(2)P(A)，P(B)，P(C)三者之间存在怎样的关系？
提示　(1)互斥.
两个互斥事件的概率加法公式
(1)如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)＝____________.
(2)两个互斥事件的概率加法公式的推广：如果事件A1，A2，A3，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪An发生(是指A1，A2，A3，…，An中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝________________________.
知识梳理
P(A)＋P(B)
P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)
例1
(链接教材P221例3(1))黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件之间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤为：
(1)确定各事件彼此互斥；
(2)求各事件分别发生的概率，再求其和.
思维升华
在某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表：
训练1
记该河流这一处的年最高水位(单位：m)在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]分别为事件A，B，C，D，E，且彼此互斥.
年最高水位(单位：m) [8，10) [10，12) [12，14) [14，16) [16，18]
概率 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08
计算在同一时期内,这条河流这一处的年最高水位(单位:m)在下列范围内的概率：
(1)[10，16)；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.
(2)[8，12)；(3)[14，18].
(2)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.28＝0.38.
(3)P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.08＝0.24.
所以年最高水位(单位：m)在[10，16)，[8，12)，[14，18]的概率分别为0.82，0.38，0.24.
对立事件的概率公式
二
探究2 抛掷一枚质地均匀的骰子，若A＝{向上的点数为1}，D＝{向上的点数不小于2}，则事件A与事件D什么关系，P(A)与P(D)存在怎样的关系？
知识梳理
1－P(A)
补集
例2
“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率
(2)甲不输的概率.
法一　设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，
思维升华
利用对立事件的概率公式解题的思路
(1)当对立事件A，B中一个事件的概率易求，另一个事件的概率不易求时，直接计算符合条件的概率较烦琐，可先间接地计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事件的概率.
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件到底是什么.该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解.
训练2
0.05
0.3
0.25
一般概率加法公式
三
探究3 对于任意的事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？
提示　不一定.
知识梳理
一般概率加法公式
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
例3
则共有12个样本点，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}.
甲跑第一棒，乙跑第四棒只有一种结果，即(1，4)，
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率
思维升华
1.对于与古典概型有关的问题可直接结合A∪B，A，B，A∩B的含义进行求解.
2.若该模型不是古典概型，则需要套用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，特别要注意P(A∩B)的数值.
训练3
在所有的两位数中，能被2整除的共计45个，被3整除的共计30个，能被6整除的共计15个，
√
概率性质的综合应用
四
例4
从袋中任取一球，记事件“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”和“取到绿球”分别为A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的.
(2)从中任取一球，求得到的不是红球也不是绿球的概率.
思维升华
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接法，即将事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和；二是间接法，先求出此事件的对立事件的概率，再用公式求此事件的概率，这两种方法都可使复杂事件概率的计算得到简化.
某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
训练4
记“他乘火车”为事件A，“他乘轮船”为事件B，“他乘汽车”为事件C，“他乘飞机”为事件D.
这四个事件两两不可能同时发生，
故它们彼此互斥，
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具？
(2)设他不乘轮船去的概率为p，
则p＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以他不乘轮船去的概率为0.8.
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，
故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
【课堂达标】
1.在一个试验中，若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，事件A与事件B的关系是
A.互斥不对立 B.对立不互斥
C.互斥且对立 D.以上答案都不对
√
√
2.已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，则P(A＋B)＝
A.0.3 B.0.6 C.0.7 D.0.8
因为A与B互斥，B与C对立，
所以P(B)＝1－P(C)＝0.4，
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.
√
记3个红球分别为a1，a2，a3，2个白球分别为b1，b2.从3个红球、2个白球中任取3个，则所包含的样本点有(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10个.
用A表示“所取的3个球中至少有1个白球”，
4.甲、乙两人各射击一次，命中的概率分别为0.8和0.6，两人同时命中的概率为0.5，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为________.
设事件A＝“甲命中”，B＝“乙命中”，则甲、乙两人至少有一人命中为事件A∪B.
0.9
易知P(A)＝0.8，P(B)＝0.6，P(AB)＝0.5，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.8＋0.6－0.5＝0.9.
【课时精练】
√
1.若A，B是互斥事件，则
A.P(A∪B)<1 B.P(A∪B)＝1
C.P(A∪B)>1 D.P(A∪B)≤1
∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).
√
√
3.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率，得至少有两人排队的概率P＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.16＝0.74.
排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为
A.0.16 B.0.26 C.0.56 D.0.74
√
4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.95
根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红球或白球是对立事件，
故其概率是1－(0.3＋0.2)＝0.5.
√
5.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是
A.A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.
7.从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1，0)的概率是________.
设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1，0)”为事件C，
0.2
由题意知A，C为互斥事件，B＝A∪C，
∴P(B)＝P(A)＋P(C)，
∴P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.
0.225
8.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________.
设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，D表示三个军火库都爆炸，
则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，
其中A，B，C互斥，
故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.
9.某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
设派出2人及以下为事件A，3人为事件B，4人为事件C，5人为事件D，6人及以上为事件E.
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)求至少有3人外出家访的概率.
至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，
p＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
10.一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
记事件A1＝“任取1球为红球”；A2＝“任取1球为黑球”；A3＝“任取1球为白球”；A4＝“任取1球为绿球”，则
根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
法一　由互斥事件的概率公式，得
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
√
√
√
P(A∩B)＝0.
故A，B，C均正确，D错误.
13.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“取出的两球都是白球”；
设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球，对应的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点.
(2)B＝“取出的两球1个白球，1个红球”；
B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共有8个样本点.
(3)C＝“取出的两球中至少有一个白球”.
法一　∵C＝A∪B，且A，B为互斥事件，
√
设大灯下缀2个小灯的灯球有x个，
大灯下缀4个小灯的灯球有y个，第5章　课时精练47　概率的运算
(分值：100分)
单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共6分.
一、基础巩固
1.若A，B是互斥事件，则(　　)
P(A∪B)<1 P(A∪B)＝1
P(A∪B)>1 P(A∪B)≤1
2.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)
3.某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率如下：
排队人数X 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
则至少有两人排队的概率为(　　)
0.16 0.26
0.56 0.74
4.一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.2，那么摸出黑球的概率是(　　)
0.4 0.5
0.6 0.95
5.在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2，0.2，0.3，0.3，则下列说法正确的是(　　)
A∪B与C是互斥事件，也是对立事件
B∪C与D是互斥事件，也是对立事件
A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件
A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件
6.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________.
7.从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1，0)的概率是________.
8.向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.025，炸中第二、三个军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，三个军火库都爆炸的概率为________
9.(13分)某学校在教师外出家访了解学生家长对孩子的学习关心情况活动中，一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示：
派出人数 ≤2 3 4 5 ≥6
概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04
(1)求有4人或5人外出家访的概率；
(2)求至少有3人外出家访的概率.
10.(15分)一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
二、综合运用
11.(多选)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现从这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是(　　)
P(B)＝ P(A∪B)＝
P(A∩B)＝0 P(A∪B)＝P(C)
12.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件的概率为P()＝________，事件A＋ (表示事件B的对立事件)发生的概率为P(A＋)＝________
13.(16分)袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：
(1)A＝“取出的两球都是白球”；
(2)B＝“取出的两球1个白球，1个红球”；
(3)C＝“取出的两球中至少有一个白球”.
三、创新拓展
14.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1 200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为(　　)
课时精练47　概率的运算
1.D　[∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1).]
2.A　[“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.]
3.D　[由某超市收银台排队等候付款的人数及其相应概率，得至少有两人排队的概率P＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－0.1－0.16＝0.74.]
4.B　[根据题意可知，从中摸出1个球，摸出黑球与摸出红球或白球是对立事件，
故其概率是1－(0.3＋0.2)＝0.5.]
5.D　[由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示.由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确.]
6.　[由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为＋＝.]
7.0.2　[设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1，0)”为事件C，
由题意知A，C为互斥事件，B＝A∪C，
∴P(B)＝P(A)＋P(C)，
∴P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.]
8.0.225　[设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，D表示三个军火库都爆炸，
则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，
其中A，B，C互斥，
故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.]
9.解　设派出2人及以下为事件A，3人为事件B，4人为事件C，5人为事件D，6人及以上为事件E.
(1)则有4人或5人外出家访的事件为事件C或事件D，根据互斥事件概率的加法公式可知，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.3＋0.1＝0.4.
(2)至少有3人外出家访的对立事件为2人及以下，所以由对立事件的概率可知，
p＝1－P(A)＝1－0.1＝0.9.
10.解　记事件A1＝“任取1球为红球”；A2＝“任取1球为黑球”；A3＝“任取1球为白球”；A4＝“任取1球为绿球”，则
P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，
P(A4)＝.
根据题意，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥.
法一　由互斥事件的概率公式，得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.
法二　(1)取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1＋A2的对立事件为A3＋A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)
＝1－－＝＝.
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)
＝1－＝.
11.ABC　[由题意得P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C)＝＝，
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
＝＋＝≠P(C)，
P(A∩B)＝0.
故A，B，C均正确，D错误.]
12.　　[由题意知表示“大于或等于5的点数出现”，
则P()＝＝，事件A与事件互斥，
由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.]
13.解　设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球，对应的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点.
(1)A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共有6个样本点.
故取出的两个球全是白球的概率为
P(A)＝＝.
(2)B＝{(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)}，共有8个样本点.
取出的两个球一个是白球，一个是红球的概率为P(B)＝.
(3)法一　∵C＝A∪B，且A，B为互斥事件，
∴P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
法二　设C的对立事件为，则＝“取出的两球中没有白球(全为红球)”，且＝{(5，6)}.
∴P(C)＝1－P()＝1－＝.
14.B　[设大灯下缀2个小灯的灯球有x个，
大灯下缀4个小灯的灯球有y个，
根据题意可得
解得
故随机选取一个灯球，这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为＝.]

展开更多......

收起↑