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2024-2025学年八年级数学下册（人教版）
期中真题专项复习04证明题
一、证明题
1．（2024八下·江门期中）如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，过点画直线分别交于点．求证：．
2．（2024八下·开远期中）如图，四边形是平行四边形，点E是边延长线上一点，，连接．求证：．
3．（2024八下·江阴期中）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接与交于点，过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
4．（2024八下·云梦期中）如图，点在平行四边形的对角线上，连接，过点作，交对角线于，求证：．
5．（2024八下·乳源期中）如图所示，在矩形中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）当与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．
6．（2024八下·伊犁哈萨克期中）如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，.求证：四边形是平行四边形.
7．（2024八下·重庆市期中）如图，在四边形中，，，，将，分别平移到和的位置．
（1）求证：为直角三角形．
（2）若，，，求的长．
8．（2024八下·克孜勒苏柯尔克孜月考）已知：如图，□ABCD中，E，F是AB，CD上两点，且AE=CF．求证：DE=BF．
9．（2024八下·罗定期中）如图，菱形的对角线，相交于点，，，是的中点，点，在上，，．
（1）求菱形的面积；
（2）求证：四边形是矩形．
10．（2024八下·台州期中）在矩形中，将点A翻折到对角线上的点M处，折痕交于点E．将点C翻折到对角线上的点N处，折痕交于点F．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）连接，若，且，求的长．
11．（2024八下·东莞期中）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
12．（2024八下·义乌期中）已知：如图，E，F分别是 ABCD的边AD，BC的中点，连结EF和BD，求证：EF和BD互相平分.
13．（2024八下·乌鲁木齐期中）如图，在ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，连结BE，DF．
求证：BE=DF．
14．（2024八下·东莞期中）如图，在中，，求证：四边形是平行四边形．
15．（2024八下·玉州期中） 如图，点、、、在一条直线上，，，．连接、，求证：．
16．（2024八下·会昌期中） 有一个平行四边形，延长的边到点F，使得，连接，．若，求证：四边形是矩形．
17．（2024八下·会昌期中） 如图，四边形中，，与相交于点O，，求证：四边形是平行四边形．
18．（2024八下·江门期中）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．
19．（2024八下·江门期中）如图，平行四边形中，过的中点，与边、分别相交于点、．试说明四边形是平行四边形．
20．（2024八下·南昌期中）如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．
21．（2024八下·湖北期中）如图，已知在中，点、分别是边、的中点，过点、的直线交、的延长线于点、，连接.求证：四边形是平行四边形.
22．（2024八下·南昌期中）如图，点E是正方形对角线上一点，过点E分别作、，垂足分别为F、G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若正方形的周长是40，当时，求证：四边形是正方形．
23．（2024八下·惠阳期中）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE＝CF．求证：BE＝DF．
24．（2024八下·崇义期中） 已知，如图，E、F是平行四边形的对角线上的两点，．求证：；
25．（2024八下·中山期中）如图，四边形ABCD中，，对角线AC、BD交于点O，且．求证：四边形ABCD是平行四边形．
26．（2024八下·潮州期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是OB、OD的中点，求证：．
27．（2024八下·衢州期中）如图，在中，于点，于点，连结，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
28．（2024八下·杭州期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E，
（1）求证：BE=CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．
29．（2024八下·德庆期中）如图，已知E、F别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的两点，且∠CBF＝∠ADE，求证：△ADE≌△CBF．
30．（2024八下·丛台期中）已知中，．
（1）如图1，求证：四边形为矩形；
（2）如图2，连接交于点，，，求证：四边形为菱形．
31．（2024八下·志丹期中）如图，在四边形中，，是的中点.求证：四边形为平行四边形.
32．（2024八下·上城期中） 如图，在菱形中，，点E在边上（不与点B，点C重合），线段的中垂线交对角线于点F，连接．
（1）求证：．
（2）若，，，求证：．
33．（2024八下·乳源期中）如图，在 ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AF，CE分别与对角线BD交于点F，E．
求证：四边形AFCE是平行四边形．
34．（2024八下·潮南期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长．
35．（2024八下·吐鲁番期中）如图，对角线，相交于O，E，F是上两点，并且，求证：四边形是平行四边形
36．（2024八下·桂林期中）如图，是等边三角形，，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是菱形．
37．（2024八下·番禺期中）如图所示，和都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：
（1）．
（2）．
38．（2024八下·广州期中）如图，在平行四边形中，E，F分别在上，，交于点O．求证：．
39．（2024八下·广州期中）四边形中，，，，．求证：
40．（2024八下·惠城期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F．求证：AE＝CF．
41．（2024八下·龙门期中）如图，在平行四边形中，，是对角线上的两点，且，求证：．
42．（2024八下·吉安期中）如图，在四边形ABCD中，，点在BA的延长线上，连接CE.
（1）试说明：∠E=∠ECD；
（2）若，CE平分，求证：为等边三角形.
43．（2024八下·阆中期中） 如图，四边形是平行四边形，是对角线上的两点，且．
求证：四边形是平行四边形．
44．（2024八下·楚雄期中）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．
求证：四边形BECD是矩形．
45．（2024八下·麒麟期中） 已知：如图，在中，，过点D作交的延长线于点E．求证：四边形是矩形；
答案解析部分
1．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
先利用平行线的性质可得，再利用“ASA”证出，最后利用全等三角形的性质可得．
2．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD∥CE，
∵CE=BC，
∴AD=CE，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC．
根据平行四边形的性质得出，，从而有AD∥CE，进而由题目条件求出，即可得证四边形ADEC是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得证结论.
3．（1）证明：∵BD平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，CD=BC，
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∵，
∴，
∵DE=4，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴CE的长为3．
（1）根据角平分线的定义、平行线的性质得∠ABD=∠DBC=∠ADB，从而由“等角对等边”得AB=AD=BC，进而证出四边形ABCD是平行四边形，最后根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形得证结论；
（2）根据菱形的性质得BO=DO，CD=BC，然后利用直角三角形斜边上的中线性质得BD=2EO的值，从而由勾股定理求得，设，则，在中，由勾股定理得，即，解方程求出x的值即可求解.
4．证明：，，
，
，
在平行四边形中，，
，
在和中，，
，．
找出一组与目标AE和CF有关的两组视觉上全等的三角形，结合平行四边形的性质得出全等的两组条件，进而利用题干的一组平行易证出全等，从而得出全等对应边AE和CF相等.
5．（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，，
在与中，
∴.
（2）证明：当时，四边形是菱形，
理由如下：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（1）利用平行线的性质可得，，再利用“AAS”证出即可；
（2）连接，先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形．
6．证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
连接，交于点，根据平行四边形性质可得，，由可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
7．（1）证明：由平移，得AB∥EF，CD∥PE，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由平移得：，，，
∴，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴．
（1）利用平移的性质，结合三角形内角和定理，在中求得∠PEF=90°即可得证；
（2）在四边形ABCD中，AB、CD分别平移EF和EP的位置，利用平移的性质，根据勾股定理可得AB的值．
8．证明：在平行四边形ABCD中，
AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴BE=DF，BE∥DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE=BF．
要证DE=BF，只需证四边形DEBF是平行四边形，而很快证出BE=DF，BE∥DF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出．
9．（1）解：∵四边形是菱形，∴，
∴，
，
（2）解：∵菱形的对角线，相交于点，∴，
∵是的中点，
∴，
∴为的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴是矩形．
（）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解；
（）根据菱形的性质可得，结合是的中点 ，可得为的中位线，进而可得，结合 ，可证明四边形是平行四边形，由，得即可得出结论；
10．（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
∵由折叠：，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形
（2）解：∵是平行四边形，，∴四边形为菱形，
∴，
又∵由折叠：，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴
11．证明：（1），
，
在和中，
，
≌；
（2）解：如图所示：
由（1）知≌，
，
，
，
四边形ABDF是平行四边形．
（1）在△ABC和△DFE中，题目已给两条对应边相等，结合图形易证BC=EF，进而由SSS证明△ABC≌△DFE即可；
（2）由（1）的结论根据全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE，进而得到AB∥DF，结合题目所给条件： AB=DF ，即可得出结论．
12．证明：∵ ABCD ∴ AD∥BC AD=BC
∵E，F是AD、BC的中点
∴∴DE=BF
∴四边形EBFD是平行四边形
∴EF和BD互相平分
利用平行四边形的性质得AD∥BC AD=BC，然后根据平行四边形的判定定理即可证明．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，
又∵DE= BF，
∴AE=CF
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF.
由平行四边形的对边相等，对角相等得AB=CD，∠A=∠C，AD=BC，结合已知推出AE=CF，从而用SAS判断△ABE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得BE=DF.
14．证明：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
，
，
∴，
四边形为平行四边形．
先利用平行四边形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得，从而可证出四边形为平行四边形．
15．证明：，
，
，
在和中，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
．
根据已知条件BE=CF可得，用“SSS”证，得到，由内错角相等，两直线平行，得AB∥DF，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等得.
16．证明：∵四边形是平行四边形
∴．
∵，
∴，
又∵，即
∴四边形是平行四边形
∵，
∴，
∴四边形的矩形．
由CF||AB且AB=CF可得ABFC为平行四边形，再结合等腰三角形三线合一可得∠ACF=90°，即可证得矩形.
17．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
由平行可知， 结合AO=CO和∠DOC=∠BOA，可得，即可证明ABCD是平行四边形.
18．解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
连接BC，设对角线交于点O，根据平行四边形性质可得OA=OD，OB=OC，再根据边之间的关系可得OE=OF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
19．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵点O为中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
先利用线段中点的性质可得OA=OC，再利用“AAS”证出，可得OE=OF，再结合OA=OC，即可证出四边形是平行四边形．
20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，．
点，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
根据平行四边形的对边平行且相等可得，，根据中点的定义得出，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证四边形是平行四边形．
21．证明：四边形是平行四边形，
，即.
点、分别是边、的中点，
，即，
四边形是平行四边形.
由平行线的性质知AE||CH，结合中位线定理得EH||AC即可得ACHE为平行四边形.
22．（1）证明：∵四边形为正方形，
∴．
∵，
∴．
又∵∠B=90°，
∴四边形是矩形；
（2）证明：∵正方形的周长是，
∴．
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又∵四边形是矩形 ，
∴四边形是正方形．
（1）先根据正方形的性质得到，进而根据垂直得到，从而结合题意根据矩形的判定即可求解；
（2）先根据正方形的周长即可求出AB，进而即可得到BF，再根据正方形的性质得到，从而结合等腰直角三角形的判定与性质即可得到，再根据正方形的判定结合题意即可求解。
23．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AO＝CO，
∵AE＝CF，
∴AO﹣AE＝CO﹣FO，
∴EO＝FO，
在△BOE和△DOF中，
∵，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴BE＝DF
根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再根据线段的和差可得EO=FO，最后根据SAS定理证明△BOE≌△DOF即可得出结论．
24．证明：∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
由平行四边形的性质可推出AD=CB，，由已知可推出AF=CE，可证，可得．
25．证明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形．
根据平行线的性质得到：，然后利用"AAS"证明，则，进而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证.
26．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
，．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
，，
，
又
∵四边形AFCE是平行四边形．
．
根据平行四边形的性质求出，OE=OF，证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质可得结论．
27．（1）解：证明：四边形是平行四边形，∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13
（1）根据平行四边形的性质可以得到，然后根据垂直可得，，然后利用得到，即可得到，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AE、AD长解题即可．
（1）（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，，
，
于点，于点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的长为13．
28．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴BE=CD；
（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=4，
∵BF⊥AE，
∴AF=EF=2，
∴BF=，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积=△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF=×4×2=4．
（1）由平行四边形的性质可以得到∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，然后利用角平分线的定义得到∠BAE=∠AEB，即可得到AB=BE证明结论；
（2）先得到△ABE是等边三角形，即可得哦大AE=AB=4，AF=EF=2，然后根据勾股定理求出BF长，根据AAS得到△ADF≌△ECF，即可得到ABCD的面积=△ABE的面积=AE BF解题即可．
29．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AD=BC．
又∵∠CBF=∠ADE，∴△ADE≌△CBF（ASA）．
利用“ASA”证明△ADE≌△CBF即可。
30．（1）证明：∵四边形的平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：∵，，即，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴平行四边形是菱形．
(1)、 根据四边形的平行四边形，得出，结合已知条件，即可得出，进而平行四边形是矩形.
(2)、 首先根据，， 得出四边形是平行四边形， 结合四边形为矩形 ，
得出，，平行四边形是菱形．
31．证明：∵，∴.
∵是的中点，∴.
在和中，
∴（AAS），
∴.
∵，
∴四边形为平行四边形.
根据平行线的性质得到∠OCD=∠OAB，利用"AAS"证明△AOB≌△COD，由全等三角形的对应边相等得AO=CO，最后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证.
32．（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
线段的中垂线交对角线于点F，
，
．
（2）证明：四边形是菱形，且为对角线，
，
，
，
，，
，
，
，
即：，
，
，
线段的中垂线交对角线于点F，
，
，，，
，，
，，
，
．
（1）利用菱形的性质可证得∠ABD=∠CBD，AB=CB，利用SAS可证得△ABF≌△CBF，利用全等三角形的性质可推出AF=CF，利用垂直平分线的性质可得到EF=CF，据此可证得结论.
（2）利用菱形的性质可证得，利用等腰三角形的性质可推出∠ABE=∠AEB，利用平行线的性质可证得∠FEC=2∠AEF，利用平角的定义可求出∠AEF=∠FBC=36°；再利用垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可证得∠FCE=∠FEC=72°，从而可证得∠BFC=∠FCB，∠BFE=∠FBC，利用等角对等边，可证得BF=CB，BE=EF，根据BE=EF+EC，可证得结论.
33．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，
∴∠BAE=，∠DCF=，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
先利用角平分线的定义及等量代换可得∠BAE=∠DCF，再利用“ASA”证出△ABE≌△CDF，可得AE=CF，∠AEB=∠CFD，再证出AE∥CF，从而可证出四边形AECF是平行四边形．
34．证明：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵OA=OB
∴OA=OB=OC=OD
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.
（2）∵OA=OB，∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=2
∴AC=2OA=4
∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2
∴BC2=AC2-AB2=42-22=16-4=12
∴BC=.

（1）利用平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，再利用等量代换可得OA=OB=OC=OD，从而可证出四边形ABCD是矩形；
（2）利用等边三角形的性质可得OA=OB=AB=2，再利用勾股定理可得AB2+BC2=AC2，将数据代入求出BC的长即可.
35．解：的对角线、相交于点O，E、F是上的两点，
，，
又，
，则，
四边形是平行四边形
根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可判定四边形BFDE为平行四边形.
36．（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
即，
在和中，
，
∴.
（2）证明：∵，是等边三角形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）先证出是等边三角形，可得，再证出，即可得到四边形是菱形．
（1）证明：∵是等边三角形，，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，是等边三角形，，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
37．（1）证明：∵，
∴，即．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
（1）先证和都是等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质得出，，即可证；
（2）由全等三角形的性质可得，，从而可证，进而由勾股定理即可得证．
（1）证明：∵，
∴，即．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，即，
∴，
∴．
38．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
要证明EO=FO，可以尝试证明三角形△AEO和△CFO全等，然后根据全等三角形的性质，其对应边EO和FO必然相等即可得出结论。要证明三角形全等，可以利用角度和边长的关系，尤其是考虑到平行四边形的性质和已知的线段相等条件。
39．证明：，，，
，
又，，
，
即，
故是直角三角形，
．
根据题目已知条件利用勾股定理求得，由于，，进而由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即可求解．
40．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE//CF，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴∠AED＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF．
1、熟记平行四边形的定义：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2、平行线的性质：两直线平行，内错角相等
3、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS)
4、全等三角形的对应边相等
41．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴．
利用平行四边形的对边平行且相等得出，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得，再结合条件，则可利用SAS证明△DAE≌△BCF，由全等三角形的对应边相等得DE=BF.
42．（1）解：∵AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
∵∠B＝∠D，
∴∠D＝∠EAD，
∴BE∥CD，
∴∠E＝∠ECD；
（2）解：由（1）知∠E＝∠ECD，
∵∠E＝60°，
∴∠ECD＝60°，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠ECD＝60°，
∴∠EBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠E＝∠B＝∠BCE，
∴△ECB为等边三角形．
(1)由AD||BC可得∠EAD=∠B，再结合条件∠B=∠D可得BE||CD可得结论；
(2)、 由（1）知∠E＝∠ECD， 证明 ∠E＝∠B＝∠BCE都等于60°即可证明.
43．证明： 四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，且，
四边形是平行四边形．
根据平行四边形的性质得到，， 结合 ， 得到， 从而证明， 根据三角形全等的性质得到，， 进而得到， 结合题意利用平行四边形的判定定理即可求解.
44．证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD=CD．
∵四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AD，BE=AD，
∴BE=CD，
∴四边形BECD是平行四边形．
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴ BECD是矩形
根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到 BECD是矩形．
45．证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
本题考查平行四边形的性质与判定和矩形的判定，熟知平行四边形的性质与判定和矩形的判定方法是解题关键.
由四边形ABCD是平行四边形可知：AD∥BC，由DE⊥BC和垂直的定义可知：∠DEC=90°，由∠ACB=90°和平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行可知：DE∥AC，由平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：四边形ACED是平行四边形，由矩形的判定方法：有一个直角的平行四边形是矩形，由∠DEC=90°可知四边形ACED是矩形，即可证得结论.

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