资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年山东省济南市学业水平考试数学模考练习试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 太原 济南 郑州
A．北京 B．太原 C．济南 D．郑州
大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，
关于它的三视图，说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．
其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，
也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，△ABC ≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
5．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
6． 如图，点，，，都在的圆周上，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．已知关于x的方程有实数根，则系数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
8 . 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，
则两人恰好选中同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，，的平分线交于点D，．
以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点B，M，分别以点B，M为圆心，
大于的长为半径作弧，两弧相交于点N，作直线交于点E，保留作图痕迹，
则的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，
记函数的图象在轴上方的部分与轴围成的区域（不含边界）为．
例如当时，区域内的整点个数为1，若区域内恰有7个整点，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11 . 方程的解为 ．
一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
13 . 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，
我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，
并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，
那么此时面板与水平方向夹角的度数为_____ _
14 . A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，
乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，
则出发 h后，两人相遇．
15．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：
①AQ⊥DP ②OA2=OE OP ③S△AOD=S四边形OECF ④当BP=1时，tan∠OAE=
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．计算：．
17 .解不等式组并写出它的整数解．
如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．
求证：．
为积极响应绿色出行的环保号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．
如图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，
车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离BE为．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据体验综合分析，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．
小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（参考数据：，，
20．如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，
分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），
为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
调查问题在下列课科技项目中，你最喜欢的是（ ）（单选）A．无人机 B．人工智能 C．动漫 D．编程
并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：
(1)请补全条形统计图．
(2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度．
(3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？
(4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？
22．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，
读数器可以显示人的质量（单位：）． 图②是该秤的电路图，
已知串联电路中，电流（单位：A）与定值电阻，
可变电阻（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据与之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 6 …
4 2.4 2 1.5
(1)填空： ， ；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，
画出函数的图象，观察图像可以发现，电流随可变电阻的增大而 ．
(3)若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，
为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
24.如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），
经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
求该抛物线的解析式与点P的坐标；
(2) 当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
(3) 连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，
① 是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；
② 是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（图（2）、图（3）供画图探究）
25．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，
求正方形的边长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2025年山东省济南市学业水平考试数学模考练习试卷解答
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）
1．以下四个城市中某天中午12时气温最低的城市是（ ）
北京 太原 济南 郑州
A．北京 B．太原 C．济南 D．郑州
【答案】A
【分析】本题考查了有理数大小比较的应用，掌握有理数大小比较法则是解题关键．根据有理数比较大小时，正数大于0，0大于负数；两个负数时，绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：，
四个城市中某天中午12时气温最低的城市是北京，
故选：A．
大汶口文化以一群特点鲜明的陶器为主要特征．如图是山东博物馆收藏的涡纹彩陶壶，
关于它的三视图，说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【分析】本题考查三视图．根据几何图形确定三视图，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，这个图的左视图和主视图相同，均为涡纹彩陶壶的纵向剖面图，俯视图为同心圆，与左视图和主视图不相同；
故选：A．
港珠澳大桥是世界上总体跨度最长的跨海大桥，全长55000米．
其中海底隧道部分全长6700米，是世界最长的公路沉管隧道和唯一的深埋沉管隧道，
也是我国第一条外海沉管隧道．将数字55000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：数字55000用科学记数法表示为5.5×104．
故选：A．
4.如图，△ABC ≌△ADE，点 D 落在 BC 上，且∠EDC=70°，则∠BAD的度数等于（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【答案】D
【分析】由全等的性质可得，根据三角形内角和定理可得，，等量代换可得答案.
【详解】解：
在中，
在中，
故选：D
5．下列运算正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同底数幂的乘除法，幂的乘方，整式的加法的运算法则即可求解．
【详解】A： ，不符合题意
B： ，符合题意
C： ，不符合题意
D： ，不符合题意
故选B．
6． 如图，点，，，都在的圆周上，，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
连接，根据题意求出四边形是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出，则是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，再根据圆周角定理即可得解．
【详解】解：如图，连接，

，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
故选：C．
7．已知关于x的方程有实数根，则系数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得．由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式且二次项系数，继而可求得的范围．
【详解】解：方程有实数根，
当时，
且
解得∶且，
当时，，解得：，
综上：系数a的取值范围是
故选∶D．
8 . 小芳和小颖分别从“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三处景点中随机选择一处游玩，
则两人恰好选中同一景点的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选中同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：将“趵突泉”、“大明湖”、“千佛山”三看着A，B，C；画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3，
∴两人恰好选中同一景点的概率，
故选：B．
如图，在中，，，的平分线交于点D，．
以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点B，M，分别以点B，M为圆心，
大于的长为半径作弧，两弧相交于点N，作直线交于点E，保留作图痕迹，
则的长为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】A
【分析】先根据作图知垂直平分，再根据角平分线的性质得，再在等腰中，根据勾股定理即可得出结果．
【详解】解：在中，，，
是等腰直角三角形，
，
由作图可知，垂直平分，
，
的平分线交于点D，
，
在等腰中，．
故选：A．
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，
记函数的图象在轴上方的部分与轴围成的区域（不含边界）为．
例如当时，区域内的整点个数为1，若区域内恰有7个整点，
则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意对时的二次函数图象进行分析，发现每次向上平移1即将上一次的边界整点包括在内，找到规律即可求得的取值范围
【详解】当时，区域内的整点个数为1，
此时
令，解得，令，解得
故函数的图像在轴上方的部分与轴围成的区域中，整数点有
有三个整数点在边界上
如图，当时，此时顶点为，在区域内有点四个整数点，边界上有三个整数点，
当时，将时，在边界上是的整数点包括进来，即此时恰好有7个点，
所以
故选C
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．）
11 . 方程的解为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解分式方程，现将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程即可．
【详解】方程两边同乘，得，
解得，
故答案为：．
一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，
摸到白球的概率为，则白球的个数为 ．
【答案】6
【分析】本题考查利用概率求个数，根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答，熟练掌握简单概率公式是解决问题的关键．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，
∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和个白球，
∴由简单概率公式可得，解得，
∴白球有6个，
故答案为：6．
13 . 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，
我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，
并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，
那么此时面板与水平方向夹角的度数为_____ _
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．
由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意可得：
，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
14 . A，B两地相距，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速行驶，
乙在途中休息了后按原速度继续前进．两人到A地的距离和时间的关系如图所示，
则出发 h后，两人相遇．
【答案】2.1
【分析】本题考查了一次函数图象的性质以及求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出乙的速度，得出时，乙的函数解析式，再求出甲的函数解析式，列式作答，即可作答．
【详解】解：乙的速度：
∵乙在途中休息了后按原速度继续前进
∴设时，乙的函数解析式为
把代入
得
∴
∴时，乙的函数解析式为
依题意，设甲的函数解析式
把代入
得
∴
∴甲的函数解析式
∵两人相遇
∴
∴
解得
则出发后，两人相遇
故答案为：
15．如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论：
①AQ⊥DP ②OA2=OE OP ③S△AOD=S四边形OECF ④当BP=1时，tan∠OAE=
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④．
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵BP＝CQ，
∴AP＝BQ，
在△DAP与△ABQ中，
，
∴△DAP≌△ABQ（SAS），
∴∠P＝∠Q，
∵∠Q＋∠QAB＝90°，
∴∠P＋∠QAB＝90°，
∴∠AOP＝90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°，
∴∠DAO＝∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2＝OD OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中
，
∴△CQF≌△BPE（AAS），
∴CF＝BE，
∴DF＝CE，
在△ADF与△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，
即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；
∵BP＝1，AB＝3，
∴AP＝4，
∵△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE＝，
∴QE＝，
∵△QOE∽△PAD，
∴，
∴QO＝，OE＝，
∴AO＝5－QO＝，
∴tan∠OAE＝，故④正确，
故答案为：①③④．
三、解答题：（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，负指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质，进行计算即可求解．
【详解】解：
17 .解不等式组并写出它的整数解．
【答案】，其整数解为：0，1，2
【分析】先分别解不等式，再写出解集，根据解集写出它的整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，其整数解为：0，1，2．
如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．
求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
为积极响应绿色出行的环保号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．
如图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，
车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离BE为．
(1)求坐垫E到地面的距离；
(2)根据体验综合分析，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的0.8倍时，坐骑比较舒适．
小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（参考数据：，，
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所给线段及角整理到直角三角形中是解决本题的关键．用到的知识点为：．
（1）过点作于点，根据的正弦值可得的长，加上半径的长即为坐垫到地面的距离；
（2）算出坐垫到的舒适距离，根据的正弦值可得长度，减去长即为的长度．
【详解】（1）解：过点作于点，
．
，坐垫与点的距离为，
．
，，
．
．
，，与相切，车轮半径为，
．
坐垫到地面的距离为：．
答：坐垫到地面的距离为；
（2）解：过点作于点，
．
小明的腿长约为，
．
，
．
．
答：长．
20．如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】（1）证明，即可证明是的切线；
（2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可．
本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：所对的弧是同弧
，
，
，
即，
为直径，
，
，
，
，
，
与相切．
（2）解： 连接
所对的弧是同弧，
，
为直径，
，
在中，，
，
，
．
为进一步落实双减工作，丰富学生课后服务内容，某学校增设了科技项目课程，
分别是：“无人机、人工智能、动漫，编程”四种课程（依次用A，B，C，D表示），
为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
调查问题在下列课科技项目中，你最喜欢的是（ ）（单选）A．无人机 B．人工智能 C．动漫 D．编程
并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图：
(1)请补全条形统计图．
(2)扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角为______度．
(3)估计全体1000名学生中最喜欢C活动的人数约为多少人？
(4)学校现从喜好“编程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加青少年科技创新比赛，请用树状图或列表法求恰好甲和丁同学被选到的概率是多少？
【答案】(1)见解析
(2)36
(3)约为300人
(4)
【分析】（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比求出调查的学生总人数，再求出选择课程和课程的人数，补全条形统计图即可．
（2）用乘以本次调查中选择的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用1000乘以样本中选择课程的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好甲和丁同学被选到的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：调查的学生人数为（人），
选择课程的人数为（人），
选择课程的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：扇形统计图中“”对应扇形的圆心角为，
故答案为：．
（3）解：（人．
估计全体1000名学生中最喜欢活动的人数约为300人．
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好甲和丁同学被选到的结果有：甲丁，丁甲，共2种，
恰好甲和丁同学被选到的概率为．
22．某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
某数学活动小组研究一款如图①简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，
读数器可以显示人的质量（单位：）． 图②是该秤的电路图，
已知串联电路中，电流（单位：A）与定值电阻，
可变电阻（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据与之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 6 …
4 2.4 2 1.5
(1)填空： ， ；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图③中描出实数对的对应点，
画出函数的图象，观察图像可以发现，电流随可变电阻的增大而 ．
(3)若电流表量程是，可变电阻与踏板上人的质量之间函数关系如图④所示，
为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
【答案】(1)3；4
(2)见解析，减小
(3)电子体重秤可称的最大质量为101千克
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数关系式及其应用：
（1）选用相应的已知值代入函数解析式求解即可；
（2）描点，连线得出函数图象，观察函数图象解答即可；
（3）先求出电子称通过最大电流时的电阻，再求出质量与电阻之间的函数关系式，
代入最大电阻即可得出电子体重秤可称的最大质量
【详解】（1）解：∵，
当时，；
当时，，
解得，
故答案为：3；4；
（2）描点，连线，如图：
观察图象可知，电流随可变电阻的增大而减小，
故答案为：减小；
（3）解：当电流取最大时，电子秤所称重的质量最大，此时接入阴值最小，
即，，
∴，
设，
当时，，代入得：；
当，代入得，，
解得，；
∴与的关系式为；
当时，，
解得，
即电子体重秤可称的最大质量为101千克
24.如图（1），直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点B（3，0）、点C（0，3），
经过B、C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
求该抛物线的解析式与点P的坐标；
(2) 当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值；
(3) 连接AC，点N在x轴上，点M在对称轴上，
① 是否存在使以B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似？
若存在，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由；
② 是否存在点M，N，使以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（图（2）、图（3）供画图探究）
解：（1）由已知，得B（3，0），C（0，3），
∴，解得，∴抛物线解析式为
，顶点坐标为P（2，－1）
当0＜x＜3时，如图（1），在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，
经过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，
设点，点，
∴·
∴，
，
∵，
∴当时，有最大值
∴，
∴
（3）①由（1）得A（1，0），如图（2），连接BP，
∵∠CBA＝∠ABP＝45°
∴当时，△ABC∽△PBN，
，
∴BN＝3，
∴·
∴当时，△ABC∽△NBP，
∴．
∴
综上所述，当点N的坐标为（0，0）或（，0）时，
以点B、P、N为顶点的三角形与△ABC相似．
②如图（3），
C（0，3），P（2，-1），
设M（2，y），N（x，0），
（i）以CN为对角线时，
，解得：，
∴M1（2，4），N1（4，0）；
（ii）以CP为对角线时，
，解得：，
∴M2（2，2），N2（0，0）；
（iii）以CM为对角线时，
，解得：，
∴M3（2，-4），N3（0，0）；
综上所述，存在点M的坐标为（2，4）或（2，2）或（2，-4）时，
以C、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形．
25．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题发现：
如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接AP，以为边作等边，
连接，与的数量关系是 ；
变式探究：
如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，
使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：
如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，
Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，
求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)4
【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质、勾股定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质解答；
（2）先证明，得到，再证明，根据相似三角形的性质解答即可；
（3）连接、，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】（1）问题发现：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解决问题：如图3，连接、，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵Q是正方形的中心，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则 ，
在中，，即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑