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人教版五年级数学下册知识点
第一单元：观察物体
1、在长方体、正方体中，站在任意的位置，最多只能看到3个面。
2、从不同的位置观察物体，看到的图形可能是相同的，也可能是不
同的。
3、从一个或者两个方向观察的图形无法确定立体图形的形状，但是
可以判断组成立体图形小正方体的个数的范围(即最多最少的情况),
根据三个方向观察到的形状摆小正方体的结果(个数)只有一种。
4、从三个方向观察物体(如右图):
①从正面看，确定小正方体的列数(3列)
②从左面看，确定行数(2行)
③从上面看，确定整体的布局
5、添加小正方体
①从前面或者后面增加一个小正方体，主视图不变。
②从左面或者右面增加一个小正方体，左视图不变。
③从上面增加一个小正方体，俯视图不变。
6、俯视图标数法判断最多最少的问题。
一个几何体，从上面看到的图形是一 ,从 前面看到的图形是一 搭这样的几何体， 最少需要几个小正方体 最多呢
(
1
)
第二单元：因数与倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除
数的倍数，除数是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单
独存在。(8是4的倍数，4是8的因数，不能说8是倍数)
2、找因数的方法：①乘法
IX/8=18,2×9=18,3X6=18 所以18的因数有： I,18,2, 9 , 3 和 6 。
3、找倍数的方法：逐次乘自然数。
4、因数与倍数小知识点
②除法；
18÷/=18,18÷2=9,18÷3=6 所以18的因数有： I,18,2, 9 , 3 和 6 。
①一个数的最小因数是1,最大因数是它本身。 一个数的最小倍数是 它本身，没有最大的倍数。
②一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。一
个数的最大因数和最小倍数是相等的都是它本身。
③1是所有非0自然数的因数。也是任一自然数(0除外)的最小因 数。
④一个数的因数至少有1 个，这个数是1。
⑤一个数的因数都小于等于他本身，一个数的倍数都大于等于他本身。
⑥一个数的倍数一定比它的因数大(×);一个数越大它的因数个数 就越多，一个数越小它的因数个数就越少。(×)
5、2、3、5倍数的特征及拓展
①2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数。
(
2
)
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数 (0也是偶数),不 是 2 的 倍 数的数叫奇数。
②5的倍数特征：个位上是0或5的数，都是5的倍数。
③3的倍数的特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是 3的倍数。个位上是3、6、9点数都是3的倍数是错误的说法。
④2和5的倍数特征：个位上是0的数，既是2的倍数，也是5的 倍数。(就是10的倍数) 。
⑤2和3的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8, 而 且各个数位上的 数字的和是3的倍数，这个数既是2的倍数，也是3的倍数。(就 是6的倍数)。
⑥3和5的倍数特征：个位上是0或者5, 而且各个数位上的数字 的和是3的倍数，这个数既是5的倍数，也是3的倍数。(就是15
的倍数)。
⑦2、3、5的倍数特征：个位上是0,而且各个数位上的数字的和是 3的倍数，这个数同时是2、3、5的倍数。(就是30的倍数)
(能同时被2、3、5整除的最小两位数是30,最大两位数是90, 最小三位数是120)
⑧4的倍数特征：一个数末尾两位数是4的倍数，这个数就是4的 倍 数 。
⑨一个数各位数上的和能被9整除，这个数就是9的倍数。能被3 整除的数不一定能被9整除；能被9整除的数一定能被3整除。
⑩如果两个数都是同一个数的倍数，那么这两个数的和或差也是这个 数的倍数。
6、自然数按能否被2整除分成奇数和偶数。所以我们说自然数不是 奇数就是偶数。
①最小的偶数是0,最小的奇数是1,没有最大的奇数和偶数，最小
的自然数是0。
②如果用 n 表示自然数，那么 2n 表示偶数，2n+1 表示奇数。相
邻的两个自然数相差1;相邻两个奇数相差2;相邻两个偶数相差2。
7、奇数、偶数的和、差、积
奇数+偶数=奇数 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数
奇数一偶数=奇数 奇数一奇数=偶数 偶数一偶数=偶数 奇数×奇数=奇数 偶数×偶数=偶数 偶数×奇数=偶数
8、质数与合数
①一个数，如果只有1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数 ( 或 素 数 ) ; 一个数，如果除了1 和它本身还有别的因数，这样的数叫 做合数。
注：1既不是质数，也不是合数。两个质数相乘的积一定是合数。质 数×质数=合数
9、最大最小问题
①最小的质数是：2
②最小的合数是：4
③2是偶数中唯一的质数称为偶质数；也是质数中唯一的偶数。
④最小的自然数是：0
⑤最小的偶数是：0
⑥最小的奇数是：1
⑦m的最小因数是：1 ⑧m的最大因数是：m ⑨m的最小倍数是：m
10、100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、 37 、41 、43 、47 、53 、59 、61 、67 、71 、73 、79 、83 、89 、97。
11、自然数的划分
①按是否是2的倍数来分：分为奇数和偶数两类。
②按因数的个数来分：分为质数、合数 、1、0四类。
12、分解质因数(短除法): 把一个合数分解成几个质数相乘的形式。
30=2×3×5 24=2×2×2×3
13、公因数、最大公因数、公倍数、最大公倍数
公因数：几个数公有的因数叫做这些数的公因数，其中最大的那个就 叫做它们的最大公因数。
公倍数：几个数公有的倍数叫做这些数的公倍数，其中最小的倍数就 叫做它们的最小公倍数。
(互质数：公因数只有1的数，叫做互质数)
14、求两个数最大公因数、最小公倍数方法： (30和24)
①分解质因数法：
30=2×3×5 24=2×2×2×3
30和24最大公因数： (30,24)=2×3=6
30和24最小公倍数：[30,24]=2×3×5×2×2=120
(
5
)
②短除法：
30和24最大公因数：(30,24)=2×3=6
30和24最小公倍数：[30,24]=2×3×4×5=120
③列举法：
30的因数有：1,2,3,5,6,10,15,30
24的因数有：1,2,3,4,6,8,12,24
(30,24)=6
30的倍数有：30,60,90,120,150
24的倍数有：24,48,72,96,120,144
[30,24]=120
15、求三个数的最大公因数和最小公倍数
①求三个数的最大公因数要除到三个数互质
(12,18,40)=2
②求三个数的最小公倍数要除到任意两数互质
(
2|
12
3[
6
2[
2
40
20
20
10
18
9
3
3
)
[12,18,40]=2×3×2×1×3×10=360
第三单元：长方体与正方体
1、小单位
大单位
①长度单位：千米(km), 米(m), 分米(dm), 厘米(cm), 毫米(mm)
1km=1000m 1m=10dm 1dm=10cm 1cm=10mm 1m=100cm
② 面积单位：平方千米(km ), 公顷，平方米(m ), 平 方 分 米(dm ), 平方厘米(cm )
1km =100 公顷=1000000m 1 公顷=10000 m 1m =100dm
1dm =100cm 1m =10000cm
③ 体积单位：立方米(m ), 立 方 分 米(dm ), 立方厘米(cm )
1m =1000dm 1dm =1000cm 1m =1000000 cm
④容积单位：升 (L), 毫升 (ml)
1L=1000ml 1L=1 dm 1mL=1cm
⑥质量单位：吨 (t), 千克 (kg), 克 (g)
1t=1000kg 1kg=1000g
2、长方体与正方体的认识
①长方体是由6个长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形) 围 成的立体图形。 在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长 度相等；长方体有6个面，有12条棱，相对(也可以说是平行) 的4条棱的长度相等。 长方体有8个顶点。长方体最多有8条棱 的长度相等，最多有4个面完全相同。
上、下面每个面的面积=长×宽；
前、后面每个面的面积=长×高；
左、右面每个面的面积=宽×高；
②长方体的表面积=(长×宽+ 长 ×高+ 宽×高)×2
=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
用字母表示：S=2(ab+ah+bh)=2ab+2ah+2bh
③无底(或无盖)长方体表面积=长×宽+ ( 长 ×高+ 宽×高)×2
S=2(ah+bh)+ab 或 S=2(ab+ah+bh)-ab
无底又无盖长方体表面积=(长×高+ 宽×高)×2 S=2(ah+bh)
④正方体的表面积=棱长×棱长×6 用字母表示：S=6a
⑤生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、 烟囱等都只 有 4 个面。粉刷教室只 有 5 个面。
注意1:用刀分开物体时，每分一次增加两个面。(表面积相应增加) 两物体拼成一个物体时，减少两个面。(表面积相应减少)
注意2:长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大 倍数的平方倍。(如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原 来 的 4 倍 ) 。
4、长方体和正方体的体积
①体积 ：物体所占空间的大小叫做物体的体积。(就是看物体含有多 少个体积单位)
②一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最 多有2个面是正方形。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长 方体的长、宽、高。 ( 长、宽、高都各有4条，分别平行并且相等)
③正方体的 6个面是完全相同的正方形。正方体的 12条棱长度都 相等。 有 8 个 顶 点。正方体是由6个完全相同的正方形围成的立 体图形，所有的棱长度相等。 正方体可以看成是长、宽、高都相等 的长方体，所以正方体是特殊的长方体。
相同点 不同点
面 棱
长方体 有6个面， 12条棱， 6个面都是长方形。(有可能有两个相对 的面是正方形)。相对的面完全相同。 相对的棱平行且 长度都相等
正方体 8个顶点。 6个面都是正方形。面积都相等。 12条棱都相等。
④棱长相关公式
长方体的棱长总和 = 长×4+宽×4+高×4=(长+宽+高)×4 长方体的长=棱长总和÷4- 宽 一 高；
长方体的宽= 棱长总和÷4- 长 一 高；
长方体的高=棱长总和÷4 - 长 一 宽
正方体的棱长总和= 棱长×12 正方体的棱长=棱长总和÷12
3、长方体与正方体的表面积
①长 方 体 有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个 面。 长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积 。
常用体积单位：立方米 (m ) 、 立方分米 (dm ) 、 立方厘米 (cm )
1m =1000dm 1dm =1000cm
②长方体正方体体积的公式
(1) 长方体的体积= 长×宽×高 用字母表示：V=abh
(2) 正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V=a (a ·a ·a)
(3) 底面积：长方体或正方体底面的面积叫做底面积。( 也叫占地 面 积 ) 。
(4)长方体或正方体的体积 = 底面积×高 ；用字母表示 V=S 底 h (横截面积相当于底面积，长相当于高)。
5、倍数关系
①一个长方体的长、宽、高(或正方体的棱长)分别扩大 a 倍，它 的表面积就扩大a 倍。
②长方体或正方体的长、宽、高同时扩大a 倍，体积就会扩大倍数的 立方倍就是扩大 a 倍。
6、容积问题
①箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 (固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积
单位升和毫升，也可以写成 L 和 ml)
②长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但 要从里面量长、宽、高。( 所以对于同一个物体体积大于它的容积)。
7、水中浸物： (计算不规则物体的体积)形状不规则的物体可以用 排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
被浸没物体的体积等于 上升那部分水的体积
〔① 计算方法
L②
容器的底面积×上升那部分水的高度。 放入物体后的体积一原来水的体积
①装满水：排出水的体积=不规则物体的体积。
②放入物体后的总体积一放入物体前水的体积=不规则物体的体积。
V 物 体 =V 现 在 -V 原来
③放入物体后的体积一原来水的体积物体的体积。V 物体 =S 底 × (h 现在一 h 原来)
④因为放入物体前后底面积不会变，所以不规则物体的体积=长方体 底面积×水面上升的高度 (V 物 体 = S 底 ×h 升高)
(
“231”型展开图
)8、小正方体的展开图。
“141”型展开图
“222”型展开图
. “33”型展开图
9、涂色问题。
对于一个 n×n×n 的正方体，其涂色情况如下：
①三面都涂色：8 个(位于正方体 8个顶点的地方才三面都涂色)
②两面涂色： ( n-2)×12 个 (两面涂色的位于正方体两个面的交 界处，但又不在顶点处)
③一面涂色： ( n-2)×(n-2)×6 个 (一面涂色的小正方体位于 正方体每个面的中心部位) 各面都没有涂色= 总块数一三面涂色的块 数一两面涂色的块数-一面涂色的块数。
(
11
)
第四单元：分数的意义和性质
1、分数的意义
一个物体、 一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体， 一个 整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”。单位“1”
与自然数1 不同。
①单位“1”的找法： “是”、“占”、“相当于”、“比”字后面
的量， “的”字前面的量。
②把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。
(如： 表示把单位“1”平均分成8份，表示其中7份的数，把
一根8米长的铁丝平均分成5份，每段米，每段占整根铁丝的
③把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位，
一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就 有几个这样的分数单位。
2、分数与除法的关系
分数与除法的关系：(被除数相当于分数的分子；除数相当于分数的 分母；除号相当于分数的分数线)
3、真分数和假分数
①分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1
或等于1。
③由整数(不包括0)和真分数合成的数叫做带分数。带分数大于1。 带分数是一部分假分数(分子不是分母的倍数)的另外一种书写形式，
所以分数只分为真分数和假分数。真分数<1≤假分数。
带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加个“又”字。
④在 中 (a 为 非 0 自 然 数 ) , 当 a<9 时，它是真分数；当 a≥9 时，它是假分数；当 a 是9的倍数时，它能化成整数。
⑤把假分数化成整数或带分数：根据分数与除法的关系，用分子除以 分母。如果能整除时，那么商就是所要化成的整数。如果不能整除， 那么商就是带分数的整数部分，余数就是带分数的分数部分的分子， 分母不变。
⑥带分数化成假分数的方法：用带分数的整数部分乘分母加分子作假 分数的分子，分母不变。
4、分数的基本性质
①分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0 除外),分数的大 小不变。这叫做分数的基本性质。
②利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数； 也可以把一个分数化成指定分母的分数
5、约分、通分
①几个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中最大的公因数，叫做 它们的最大公因数。公因数的个数是有限的。1 是所有非0自然数 的公因数。
②几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的一个公倍数， 叫做它们的最小公倍数。公倍数的个数是无限的。
③分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。 用短除法分解质因数 ( 合数=质数×质数×……×质数)。 比如：30分解质因数是：(30=2×3×5)
互质数：公因数只有1 的两个数，叫做互质数。
④两数互质的特殊情况：
(1)1和任何自然数互质； (2)相邻两个自然数互质；
(3)两个质数一定互质； (4)2和所有奇数互质；
(5)相邻两个奇数互质。
6、分数和小数的互化
①小数化成分数的方法：因为小数表示的是十分之几，百分之几，千 分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分 数。原来是几位小数，就在1后面写几个0作分母， 把原来的小数 去掉小数点作分子，能约分的要约成最简分数。
②分数化成小数的方法：
(1) 当分母是10,10, 1000……的分数化成小数，可以直接去掉分 母，看1后面有几个0,就从分子的右边起向左数出几位，点上小 数点，如果位数不够时，用“0”补足。
(2)分母不是10,100,1000……的分数化成小数，根据分数与除 法的关系，用分子除以分母， 除不尽时，要根据需要按“四舍五入” 法保留几位小数。如果没有特殊要求，一般保留两位小数。
(
1
4
)
③一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，
就能够化成有限小数。如果分母中除了2和5以外，还含其他的质 因数就不能够化成有限小数。
常用分数和小数：
第五单元：图形的运动
描述图形的旋转时，要说清楚“绕哪个点旋转”“向什么方向旋转“旋 转了多少度”也就是要明确旋转中心，旋转角度和旋转方向。
1、旋转的三要素：旋转中心(固定点),旋转角度和旋转方向。旋 转方向分为顺时针旋转和逆时针旋转。
2、图形旋转的特征：旋转中心的位置不变，过旋转中心的所有边旋
转的方向相同，旋转的角度也相同。
3、图形旋转前后，形状和大小都没有发生变化，只改变了物体的位 置。旋转点0点位置不变。钟表上共有12小格，每一格为30°。
4、在方格纸上画简单图形旋转90°的方法：
①找出原图形的关键点即落在格子顶点的点，连接该点与旋转中心，
根据旋转点和旋转方向找出对应的点。
②顺次连接所画出的对应点，就得到了旋转后的图形
第六单元：分数的加减法
1、同分母分数加、减法
① 分数加法的意义与整数加法的意义相同，都是把两个或两个以上的 数合并成一个数的运算。
②同分母分数相加，分母不变，只把分子相加；计算的结果，能约分 的要约成最简分数。
③分数减法的含义与整数减法的含义相同，都是已知两个数的和与其 中的一个加数，求另一个加数的运算。
同分母分数减法的计算方法：分母不变，分子相减。
2、异分母分数加、减法
异分母分数相加、减，先通分，再按照同分母分数加、减法的计算方 法计算。异分母分数不能直接相加减是因为他们的分数单位不同。结 果要约成最简分数。
3、分数加减混合运算
①分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同 。没 有括号的，按照从左到右的顺序依次计算。有括号的先算括号里面 的，再算括号外面的。
②计算没有括号的异分母分数的混合运算，可以分步通分进行计算， 也可以将几个分数一次性通分进行计算。
③整数加法的交换律、结合律和减法的运算性质在分数加、减法中同 样适用。利用运算定律可以使一些分数计算变得简单。
4、运算定律：
①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即 a+b =b+a。
②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；
或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c
=a+(b+c)。
③减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所 有减数的和，差不变，即 a-b-c=a-(b+c)
第七单元：折线统计图
①折线统计图的意义：用一个单位长度表示一定的数量，根据数据的 大小描出各点，然后把各点顺次连接起来，所得的统计图叫做折线 统计图。
②折线统计图的特点：既可以反映数量的多少，又可以反映数量的增 减变化情况。
③折线统计图的制作方法： (1)标出统计图的名称。(2)建立横轴 和纵轴。(3)描点、连线。 (4)标注数据。
④复式折线统计图的意义：在统计过程中存在两组数据，又需要在一 个统计图中表示这两组数据， 并且要用两条不同的折线表示不同数 据的变化情况的统计图，就是复式折线统计图。
⑤复式折线统计图的特点：不但能表示出多组数据的多少，数量的增 减变化情况，而且便于比较两组数据的差异和变化趋势。
⑥复式折线统计图的制作方法：与单式折线统计图的制作方法基本相 同，只是用不同的折线来表示不同的量，并标明图例。
数学广角：找次品
从3个物品中找次品的基本思路：用天平称一次，判断出次品是否 在托盘上。也就是说通过推理，确定次品是这三个中的哪一个。
①找次品的最优策略：一是把待分的物品分成3份；二是要分得尽 量平均。能够平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使最 多的一份与最少的一份只相差1。这样可以保证找出次品称量的次数 最 少 。
②用天平找次品时，所测物品数目与测试的次数。有以下关系：
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要测的次数
2--3(1×3) 1
4--9(3×3) 2
10--27(9×3) 3
28--81(27×3) 4
82--243(81×3) 5
244——729(243×3) 6
…… ……

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