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北师大版2024—2025学年八年级下册数学期中考试模拟试卷A卷
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若a＞b，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣4+a＜﹣4+b B．4a＞4b C．﹣a+1＞﹣b+1 D．ac＞bc
3．在△ABC中，若AC＝b，AB＝c，BC＝a，则下列条件能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝50°，∠C＝45° B．a：b：c＝6：8：10
C．a＝1，，c＝4 D．AB＝1，BC＝2，AC＝3
4．等腰三角形的两边分别为5cm和12cm，则它的周长是（　　）
A．32cm B．22cm或29cm
C．22cm D．29cm
5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝7，AC＝5，BC＝3，则BE的长为（　　）
A．7 B．5
C．4 D．3
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图所示，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P，则不等式kx+b＞ax的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞2 D．x＜2
8．用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于45°
B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45°
D．每一个内角都大于等于45°
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（　　）
A．2 B． C．3 D．
10．关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　）
A．a＝5 B．5≤a＜6 C．5＜a≤6 D．5≤a≤6
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．因式分解：a3﹣9ab2＝　 　 ．
12．如图，已知点A，B的坐标分别为（2，4），（6，0），将△OAB沿x轴向右平移，使点B平移到点E，得到△DCE，若OE＝8，则点C的坐标为 　 　
13．阳春三月，正值放风筝的好时节．某商店以80元的进价购进一款风筝，标价为120元出售，为扩大销量，计划打折出售，但其利润率不能少于20%．请你帮助该商店老板计算，这款风筝最多可以按　 　 折销售．
14．若关于x的不等式（2﹣a）x＜3可化为，则a的取值范围是　 　 ．
15．如图，在△ABC中，分别作AB、AC的垂直平分线，交BC于点D、E，垂足为F、G，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　 　 度．
16．如图，在面积为12的△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为 　 　 ．
第II卷
北师大版2024—2025学年八年级下册数学期中考试模拟试卷A卷
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解不等式（组）．
（1）； （2）．
18．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，腰AB的垂直平分线交底BC于点D，垂足为点E．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若DB＝2cm，求CB的长．
19．因式分解：
（1）﹣x3﹣2x2﹣x； （2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）．
20．已知关于x、y的方程组的解x为负数，y为非正数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围内，当a取何整数时，不等式（2a+1）x＞2a+1的解为x＜1？
21．如图，D是△ABC的外角∠ABE平分线上的一点，DA＝DC．
（1）求证：∠DAB＝∠DCB；
（2）若△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB与CD交于点F，求∠ADC的度数．
22．如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上．
（1）求△ABC的面积．
（2）将△ABC先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请在图1中画出△A1B1C1．
（3）将△ABC绕点D按顺时针方向旋转90°，得到△A2B2C2，请在图2中画出△A2B2C2．
23．某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨．
（1）分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．
（2）根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
24．如图所示，在同一个坐标系中一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C．已知点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（2，0），观察图象并回答下列问题：
（1）关于x的方程k1x+b1＝0的解是 　 　 ；关于x的不等式kx+b＜0的解集是 　 　 ；
（2）直接写出关于x的不等式组解集是 　 　 ；
（3）若点C坐标为（1，3），
①关于x的不等式k1x+b1＞kx+b的解集是 　 　 ；
②△ABC的面积为 　 　 ；
③在y轴上找一点P，使得PB﹣PC的值最大，求P点坐标．
25．如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（4，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）点M是坐标轴上的一个点，若AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标；
（3）如图2，以点A为直角顶点作∠CAD＝90°，射线AC交x轴的负半轴于点C，射线AD交y轴的负半轴于点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC﹣OD的值是否发生变化？若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A B D D B B
1．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2．【解答】解：∵a＞b，
A、﹣4+a＞﹣4+b，原写法错误，不符合题意；
B、4a＞4b，正确，符合题意；
C、﹣a+1＜﹣b+1，原写法错误，不符合题意；
D、c可能大于0，小于0，等于0，那么ac与bc的大小不确定，故不符合题意，
故选：B．
3．【解答】解：A、∠B＝50°，∠C＝45°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠A＝85°，
∴△ABC是锐角三角形，
故A不符合题意；
B、当a：b：c＝6：8：10时，设a＝6x，b＝8x，c＝10x，则a2+b2＝（6x）2+（8x）2＝（10x）2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a＝1，b，c＝4，
∴a+b＝1c＝4，
∴无法组成三角形，
故C不符合题意；
D．∵AB＝1，BC＝2，AC＝3，
∴AB+BC＝AC，
∴AB、BC、AC不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
4．【解答】解：当等腰三角形的腰为5cm时，三边为5cm，5cm，12cm，5+5＝10＜12，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为12cm时，三边为5cm，12cm，12cm，三边关系成立，周长为5+12+12＝29（cm）．
故选：D．
5．【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
由题意可得：AE＝AB＝7，∠BAE＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴BE＝AB＝7，
故选：A．
6．【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
表示在数轴上为：
故选：B．
7．【解答】解：由图象可知：P的坐标是（2，1），
当x＜2时，一次函数y＝kx+b的图象在y＝ax的上方，
即kx+b＞ax，
故选：D．
8．【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，
应先假设这个三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于或等于45°．
故选：D．
9．【解答】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，
理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∴AC BC，
∴，
∴CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴DECM，
即DE的最小值是，
故选：B．
10．【解答】解：由题意可得的解集为2＜x≤a，
∵不等式组恰好有3个整数解，
∴不等式组的3个整数解为3、4、5，
∴5≤a＜6，
故选：B．
二、填空题
11．【解答】解：a3﹣9ab2＝a（a2﹣9b2）＝a（a﹣3b）（a+3b）．
故答案为：a（a﹣3b）（a+3b）．
12．【解答】解：∵B（6，0），
∴OB＝6，
∵OE＝8，
∴BE＝OE﹣OB＝2，
即△OAB沿x轴正方向平移2个单位长度得到△DCE，
∵A（2，4），
∴点C的坐标为（4，4）．
故答案为：（4，4）．
13．【解答】解：设打x折销售，则售价为120×0.1x元，利润为（120×0.1x﹣80）元，
由题意得：120×0.1x﹣80≥80×20%，
解得x≥8，
∴此种商品可以按最多打8折销售，
故答案是：8．
14．【解答】解：∵不等式（2﹣a）x＜3可化为，
∴2﹣a＜0，
解得：a＞2，
故答案为：a＞2．
15．【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠BAD＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠BAD+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝110°﹣70°＝40°，
故选：40．
16．【解答】解：如图，连接PA，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴，
∵△ABC的面积为12，
∴，
∴AD＝4，
∵EF垂直平分AB，
∴PB＝PA，
∵P为直线EF上一动点，
∴PB+PD＝PA+PD≥AD，
∴PA+PD≥4，
∴BD+PB+PD＝BD+PA+PD≥BD+AD＝3+4＝7，
∴△PBD周长的最小值为7．
故答案为：7．
三、参考答案
17．【解答】解：（1），
去分母得：3（x﹣1）﹣2（x+1）≤1，
去括号得：3x﹣3﹣2x﹣2≤1，
移项得：3x﹣2x≤1+2+3，
合并同类项得：x≤6；
（2），
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4≤x＜4．
18．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BAD＝∠B＝30°；
（2）∵∠BAC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠CAD＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝4，
∴BC＝CD+DB＝6cm．
19．【解答】解：（1）﹣x3﹣2x2﹣x
＝﹣x（x2+2x+1）
＝﹣x（x+1）2；
（2）x2（a﹣1）+y2（1﹣a）
＝x2（a﹣1）﹣y2（a﹣1）
＝（a﹣1）（x2﹣y2）
＝（a﹣1）（x+y）（x﹣y）．
20．【解答】解：（1）解方程组得，
由题意知，
解不等式①，得：a＜3，
解不等式②，得：a≥﹣2，
则不等式组的解集为﹣2≤a＜3；
（2）∵不等式（2a+1）x＞2a+1的解为x＜1，
∴2a+1＜0，
解得a＜﹣0.5，
又﹣2≤a＜3且a为整数，
所以a＝﹣2或﹣1．
21．【解答】（1）证明：如下图，过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥BE于点H，
∴∠DGA＝∠DHC＝90°，
∵BD平分∠ABE，DG⊥AB，DH⊥BE，
∴DG＝DH，
在Rt△DGA和Rt△DHC中，
，
∴Rt△DGA≌Rt△DHC（HL），
∴∠DAB＝∠DCB；
（2）证明：∵DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝∠BAC+∠BAD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴，
∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝135°，
又∵BD平分∠ABE，
∴，
∴∠BDG＝∠BDH＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠GDH＝∠BDG+∠BDH＝45°，
由（1）可知，Rt△DGA≌Rt△DHC，
∴∠ADG＝∠CDH，即∠ADF+∠FDG＝∠FDG+∠GDH，
∴∠ADF＝∠GDH＝45°，
∴∠ADF＝∠BAC＝45°．
22．【解答】解：（1）△ABC的面积为6﹣1﹣2＝3．
（2）如图1，△A1B1C1即为所求．
（3）如图2，△A2B2C2即为所求．
23．【解答】解：（1）设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，
根据题意得：，
解得：．
答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨；
（2）设该乡镇需购买m台A型设备，则购买（8﹣m）台B型设备，
根据题意得：，
解得：m≤5，
又∵m为正整数，
∴m可以为4，5，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买4台A型设备，4台B型设备，所需费用为7×4+4×4＝44（万元）；
方案2：购买5台A型设备，3台B型设备，所需费用为7×5+4×3＝47（万元）．
∵44＜47，
∴最省钱的购买方案为：购买4台A型设备，4台B型设备．
24．【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x+b1和y＝kx+b的图象，分别与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），
∴关于x的方程k1x+b1＝0的解是x＝﹣1，关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＞2，
故答案为x＝﹣1，x＞2；
（2）根据图象可以得到关于x的不等式组的解集﹣1＜x＜2；
故答案为：﹣1＜x＜2；
（3）点C（1，3），
①由图象可知，不等式k1x+b1＞kx+b的解集是x＞1；
②∵AB＝3，
∴S△ABCAB yC；
③∵C（1，3），B（2，0），
直线BC与y轴的交点即为P点．
设直线BC为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴直线BC为y＝﹣3x+6，
令x＝0，则y＝6，
∴P（0，6），
故答案为：（1）x＝﹣1，x＞2；（2）﹣1＜x＜2；（3）①x＞1；②；③（0，6）．
25．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b（k≠0）．
∵点A（﹣4，4），点B（4，0）在直线AB上，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为：yx+2；
（2）∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形，
∴有∠BAM＝90°或∠ABM＝90°，
①当∠BAM＝90°时，如图1，
过A作AB的垂线，交x轴于点M1，交y轴于点M2，
则可知△AEM1∽△BEA，
∴，
由（1）可知OE＝OB＝AE＝4，
∴，解得M1E＝2，
∴OM1＝2+4＝6，
∴M1（﹣6，0），
∵AE∥y轴，
∴，即，解得OM2＝12，
∴M2（0，12）；
②当∠ABM＝90°时，如图2，
过B作AB的垂线，交y轴于点M3，
设直线AB交y轴于点E，则由（1）可知E（0，2），
∴OE＝2，OB＝4，
由题意可知△BOE∽△M3OB，
∴，即，解得OM3＝8，
∴M3（0，﹣8），
综上可知点M的坐标为（﹣6，0）或（0，12）或（0，﹣8）；
（3）不变．
理由如下：
过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3．
则∠AGC＝∠AHD＝90°，
又∵∠HOC＝90°，
∴∠GAH＝90°，
∴∠DAG+∠DAH＝90°，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAG+∠CAG＝90°，
∴∠CAG＝∠DAH．
∵A（﹣4，4），
∴OG＝AH＝AG＝OH＝4．
在△AGC和△AHD中
∴△AGC≌△AHD（ASA），
∴GC＝HD．
∴OC﹣OD＝（OG+GC）﹣（HD﹣OH）＝OG+OH＝8．
故OC﹣OD的值不发生变化，值为8．
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