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第 40 讲 圆与勾股定理
典例精练
【例1】 (2024 贵州)如图,AB为半圆O的直径,点 F 在半圆上,点P在AB 的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF 的延长线相交于点D,AC与OF 相交于点E,若DC=DE,OA=2OE,DF=2,则OA的长是
【例2】 (2023武汉)如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若 求⊙O的半径.
针对训练
1.(2023永州)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB 的宽度为 cm.
2.如图, 内接于⊙O， 若 ，则⊙O的半径为 .
3.已知等腰 中， 则 的外接圆半径为 .
4.(2024 河南)如图,⊙O是边长为 的等边三角形ABC 的外接圆，点D 是BC的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为( )
B.4π D.16π
5.(2023荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 点O是这段弧所在圆的圆心，B为 上一点， 于D.若 则 的长为 .
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点A，F在半圆O上，点B，C，E在半圆O的直径上.若 则
7.如图,已知直线l与⊙O相离. OA⊥l于点A,交⊙O于点 P,( ,AB与⊙O相切于点B,BP 的延长线交直线 l 于点C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若 求⊙O的半径.
8.(2024深圳)如图,在 中， ⊙O为 的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE 于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若 求⊙O的半径.
第40 讲 圆与勾股定理
典柳精练
【例1】 (2024 贵州)如图,AB为半圆O的直径,点 F 在半圆上,点P在AB 的延长线上，PC与半圆相切于点C，与OF 的延长线相交于点D,AC与OF 相交于点E,若DC=DE,OA=2OE,DF=2,则OA的长是 8 .
【例2】 (2023武汉)如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠ACB=2∠BAC.
(1)求证:∠AOB=2∠BOC;
(2)若AB=4,BC= ，求⊙O的半径.
解:(1)证明:∵
∴∠AOB=2∠BOC;
(2)过点O作半径OD⊥AB交AB 于点E,连接BD,∴AE=BE.
∵AB=4,BC= ,∴BE=2,DB=
在 Rt△BDE中,
在 Rt△BOE中,
解得 即⊙O的半径是
针对训练
1.(2023永州)如图，⊙O是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB 的宽度为 16 cm.
2.如图,△ABC内接于⊙O, ,若AD∥BC,AC=5,AB=8,则⊙O的半径为
3.已知等腰△ABC中, ,则△ABC的外接圆半径为 5 .
4.(2024河南)如图,⊙O是边长为4 的等边三角形ABC的外接圆，点D 是BC的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为(C)
A.8π3 B.4π D.16π
5.(2023荆州)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(AC)，点O是这段弧所在圆的圆心，B为AC上一点,OB⊥AC于D.若 则 的长为 200πm .
6.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点A，F在半圆O上，点B，C，E在半圆O的直径上.若AB=5,FE=4,则(
7.如图,已知直线l与⊙O相离. OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B,BP 的延长线交直线l于点C.
(1)求证:AB=AC;
(2)若 求⊙O的半径.
解:(1)证明:连接OB. ∵OA⊥l,AB 与⊙O 相切于点 B,∴∠OBA=∠OAC=90°.∴∠OBP+∠ABC=90°,∠CPA+∠ACP=90°.∵OB=OP,∴∠OBP=∠OPB=∠APC.∴∠ABC=∠ACP.∴AB=AC.
(2)设⊙O的半径为r,则AP=5-r.
∵∠OBA=∠OAC=90°,AB=AC,
即
∴r=3,即⊙O的半径为3.
8.(2024深圳)如图,在△ABD中,AB=BD,⊙O为△ABD的外接圆,BE为⊙O的切线,AC为⊙O的直径，连接DC并延长交BE 于点E.
(1)求证:DE⊥BE;
(2)若. 求⊙O的半径.
解:(1)证明:连接BO并延长,交AD于点H,连接OD,
∵AB=BD,OA=OD, ∴BO垂直平分AD.
∴BH⊥AD,AH=DH.
∵BE为⊙O的切线,∴HB⊥BE.
∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°.∴四边形BHDE为矩形.∴DE⊥BE.
(2)由(1)知四边形 BHDE为矩形,BH⊥AD,AH=DH,
设⊙O的半径为r，则OA=OB=r,OH=BH--OB=5 -r.
在Rt△AOH中，由勾股定理，得 解得 即⊙O的半径为

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