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第二节　第1课时　探究影响向心力大小的因素
(分值：50分)
1题6分，2、3题每题10分，4、5题每题12分，共50分
1.(6分)如图是探究影响向心力大小的因素的实验装置。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的力提供向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺上红白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值。
(1)(3分)该实验应用　　　　　　　　(选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和运动半径r之间的关系。
(2)(3分)探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板C和挡板　　　　　处。(选填“A”或“B”)。
2.(10分)(2023·茂名市高一期中)如图甲，利用向心力演示器探究做圆周运动的小球，当质量、运动半径一定时，所需向心力大小F与角速度ω之间的关系。挡板A到转轴的距离和挡板C到转轴的距离相等。
(1)(3分)如图乙，若传动皮带套在塔轮第二层，左、右塔轮半径R1、R2之比为2∶1，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为　　　　；
(2)(3分)图中标尺上黑白相间的等分格显示如图丙，则A、C两处钢球所受向心力大小之比约为　　　　；
(3)(4分)在这个探究向心力大小与质量、角速度和运动半径之间的关系的实验中，所采用的科学方法与下面哪个实验相同　　　　。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究平抛运动的特点
3.(10分)(2023·广州市高一月考)某种研究做圆周运动的物体的向心力的演示仪如图所示，水平光滑杆固定在竖直转轴上，穿在水平光滑杆上的A、B两球通过细线分别与固定在转轴上的力传感器相连，探究影响物体的向心力大小的因素。
(1)(3分)若线长LA=LB，小球的质量mA=2mB，从静止开始逐渐增大横杆转动的速度，发现与小球A通过细线连接的力传感器的示数总是与小球B通过细线连接的力传感器的示数的2倍。
结论1：在转动半径和角速度相同时，做圆周运动的物体所需的向心力与　　　　成正比。
(2)(3分)若小球的质量mA=mB，线长LA=2LB，从静止开始逐渐增大横杆转动的速度，发现与小球A通过细线连接的力传感器的示数总是与小球B通过细线连接的力传感器的示数的2倍。
结论2：在物体质量和转动角速度相同时，做圆周运动的物体所需的向心力与　　　　成正比。
(3)(4分)继续实验，发现物体做圆周运动时，所需的向心力与物体的质量、转动半径和角速度之间的关系为F=mrω2。对于同一小球，转动半径相同时，若使其转动角速度变为原来的3倍，则其所需的向心力大小变为原来的　　　　倍。
4.(12分)(2023·广州市高一期中)某实验小组用如图甲所示的装置探究向心力大小与周期、运动半径之间的关系，轻绳一端系着小球，另一端固定在竖直杆上的力传感器上，小球套在光滑水平杆上。水平杆在电动机带动下可以在水平面内绕竖直杆匀速转动。已知小球质量为m，小球做圆周运动的半径为r，电子计数器可记录杆做圆周运动的圈数n，用秒表记录小球转动n圈的时间为t。
(1)(8分)若保持小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将　　　　；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将　　　　(以上两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
(2)(4分)该小组同学做实验时，保持小球做圆周运动的半径不变，选用质量为m1的小球甲和质量为m2(m1>m2)的小球乙做了两组实验。两组实验中分别多次改变小球运动的转速，记录实验数据，作出了F与关系图线如图乙所示的①和②两条曲线，图乙中反映小球甲的实验数据是　　　　(选填“①”或“②”)。
5.(12分)(2023·广州市高一期中)某同学利用图甲中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素。
①实验时，圆柱体和另一端的挡光杆随旋臂一起做圆周运动，通过力传感器测得圆柱体受到的向心力F，测出挡光杆经过光电门的挡光时间Δt。
②测得挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，圆柱体做圆周运动的半径为r。
③保持圆柱体的质量和转动半径不变，改变转速重复步骤①，得到多组F、Δt的数据，研究F与v关系。
(1)(3分)圆柱体转动线速度v=　　　　(用所测物理量符号表示)。
(2)(3分)实验中测得的数据如表：
v/(m·s-1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
乙、丙、丁三图是根据上述实验数据作出的F-v、F-v2、F-三个图像，那么研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是　　　　。
(3)(3分)上述图像是保持r=0.2 m时得到的，由图可得圆柱体的质量为　　　　 kg(保留两位有效数字)。
(4)(3分)若研究F与r的关系，实验时应使挡光杆经过光电门时的挡光时间　　　　(选填“变”或“不变”)。
答案精析
1.(1)控制变量法　(2)A
解析　(1)该实验应用控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和运动半径r之间的关系。
(2)探究向心力的大小与角速度的关系时，应控制两小球的质量与两小球做圆周运动的轨道半径相等，即应选择两个质量相同的小球，分别放在挡板A与挡板C处，同时选择半径不同的两个轮盘。
2.(1)1∶2　(2)1∶4　(3)B
解析　(1)左、右塔轮边缘的线速度大小相等，R1、R2之比为2∶1，根据线速度与角速度的关系，有v=ωR，可知左、右塔轮的角速度之比为1∶2，又因为A、C两处分别与左右两轮共轴，所以A、C两处的角速度之比为1∶2；
(2)根据标尺的黑白等分格一个为1个格，一个为4个格，可知A、C两处钢球所受向心力大小之比为1∶4；
(3)因为影响向心力的因素有三个，所以本实验采用了控制变量法；探究两个互成角度的力的合成规律采用的是等效替代法，故A错误；探究加速度与力、质量的关系时，首先需要保持力不变，探究加速度与质量的关系；然后保持质量不变，探究加速度与力的关系，用到的也是控制变量法，故B正确；探究平抛运动的特点时用的是分解法，故C错误。
3.(1)物体的质量　(2) 转动半径　(3)9
解析　(1) 在转动半径和角速度相同时，质量是2倍关系，向心力也是2倍关系，所以做圆周运动的物体在转动半径和角速度相同时，所需的向心力与物体的质量成正比。
(2)在物体质量和转动角速度相同时，旋转半径是2倍关系，向心力也是2倍关系，所以做圆周运动的物体所需的向心力与物体转动的半径成正比。
(3)根据F=mrω2可知，对于同一小球，转动半径相同时，转动角速度变为原来的3倍，则其所需的向心力大小变为原来的9倍。
4.(1)变大　变小　(2)①
解析　(1)小球做圆周运动时有
F=F向=mω2r=mr
所以当小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将变大；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将变小。
(2)根据题意有周期T=
可得F=mr=4π2mr
因为甲球的质量较大，所以可得曲线①为小球甲的实验数据。
5.(1)　(2)丙　(3)0.18　(4)不变
解析　(1)挡光杆转动的线速度v'=
挡光杆与圆柱体转动的角速度相同，则圆柱体的线速度v=
(2)根据F=m
则研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是丙图像；
(3)上述图像是保持r=0.2 m时得到的，
则F=v2，由图可得=
可得圆柱体的质量为m=0.18 kg
(4)若研究F与r的关系，实验时应保持质量和线速度不变，则应使挡光杆经过光电门时的挡光时间不变。第二节　向心力与向心加速度
第1课时　探究影响向心力大小的因素
［学习目标］　1.知道向心力的定义及作用(重点)。2.通过实验体会向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用(重难点)。
一、向心力的理解
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。
(1)小球受哪些力的作用？
(2)这些力的合力如何？合力的方向有何特点？
1.向心力的定义：物体做匀速圆周运动时方向始终指向轨迹　　　　的合外力称为向心力。
2.向心力的特点
(1)方向：始终沿着半径指向　　　　，总是与线速度方向　　　　。
(2)作用：只改变物体线速度的　　　　，不改变线速度的　　　　。
(3)向心力是根据力的　　　　　　　　来命名的，它可以由某一个力提供，也可以由　　　　　　　　　　　　　　　　提供。
(1)物体由于做圆周运动而产生了向心力。(　　)
(2)对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力。(　　)
(3)当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。(　　)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。(　　)
例1　如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是(　　)
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
二、探究影响向心力大小的因素
方案一　定性探究影响向心力大小的因素
如图所示，绳子的一端系一小球，另一端用手固定，让小球在近似光滑的桌面上做匀速圆周运动，此时小球所需的向心力近似等于绳子对小球的拉力，通过牵绳的手感受绳子拉力的变化情况，定性的探究影响向心力大小的因素。
(1)保持绳的长度和小球的质量不变，增大或减小小球旋转的角速度，感受向心力的变化。
(2)保持小球的质量和小球旋转的角速度不变，增大或减小小球旋转的半径(改变绳长)，感受向心力的变化。
(3)保持小球旋转的角速度和绳的长度不变，换一个质量较大的球进行实验，感受向心力的变化。
猜想：向心力大小可能与小球质量、旋转角速度、转动半径有关。
方案二　定量探究影响向心力大小的因素
1.实验器材：向心力演示器(如图甲所示)
2.实验原理
转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球随之做匀速圆周运动，长槽和短槽的挡板为小球的运动提供向心力。小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测力筒下降，露出标尺(如图乙所示)。通过标尺上红白相间等分格的数量，即可求得两个小球所受向心力的大小之比。
可以调整塔轮上的皮带，使其套到半径大小不同的塔轮上，改变长短槽旋转角速度之比。也可以将小球放在长槽不同的卡位上，改变小球做圆周运动的半径。
3.实验步骤
探究1：保持两个小球质量、转动半径r相同，探究两个小球所受向心力F与角速度ω之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 角速度之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
探究2：保持　　　　　　　　　　　　相同，探究　　　　　　　　与质量m之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 质量之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
探究3：保持质量m和角速度ω相同，探究　　　　　　　　与　　　　　　　　之间的关系。
参考探究1、2，采用控制变量法，得出结论。
实验结论：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
例2　如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素。用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使纸杯在水平面内做匀速圆周运动。
(1)下列说法中正确的是　　　　。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使杯在光滑水平桌面(未画出)上每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在光滑水平桌面上每秒运动二周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会向心力的大小。
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：　　　　　　　　相同，向心力的大小与　　　　有关；
②物理学中此种实验方法叫　　　　　法。
③小组总结阶段，手甩动，使杯在光滑水平桌面上做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力，而是背离圆心的力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
例3　(2023·广州市高一期中)用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是　　　　；
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法
(2)图示中若用皮带连接的两个塔轮半径相等，保证两球线速度相同，两球是体积相同的铝球和钢球，则正在探究的是　　　　；
A.向心力的大小与运动半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是 　。
A.在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在运动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与运动半径成反比
例4　(2023·广州市高一期中)用如图甲所示的向心力实验器，定量探究匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度大小、运动半径之间的关系。如图甲，光电门传感器和力传感器固定在向心力实验器上，并与数据采集器连接；旋臂上的砝码通过轻质杆与力传感器相连，以测量砝码所受向心力F的大小；宽为d的挡光杆固定在距旋臂转轴水平距离为L的另一端，挡光杆通过光电门传感器时，计算机可算出旋臂的角速度ω。
(1)挡光杆某次经过光电门的挡光时间为Δt，砝码做圆周运动的角速度大小为　　　(用d、L、Δt表示)。
(2)以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，若图像的斜率为k，则砝码的质量为　　　　(用k、L、d表示)。
答案精析
一、
(1)重力、支持力和绳的拉力。
(2)重力与支持力平衡，小球受到的合力等于绳的拉力。合力的方向始终指向圆心。
梳理总结
1.圆心
2.(1)圆心　垂直　(2)方向　大小　(3)作用效果　某一力的分力或某些力的合力
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
例1　B　[老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，受到重力和空气对它的作用力，二者的合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰另外受到的力，故B正确，A、C、D错误。]
二、
方案二
3.在质量和运动半径一定时，向心力与角速度的平方成正比　运动半径r和角速度ω　向心力F　在运动半径和角速度一定时，向心力与质量成正比　向心力F　运动半径r　在质量和角速度一定时，向心力与运动半径成正比
例2　(1)BD　(2)①角速度、半径　质量
②控制变量
③说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心
例3　(1)A　(2)D　(3)C
解析　(1)本装置的原理是使物体质量、运动半径、角速度等多个物理量中的一个变化，控制其他物理量不变，以研究向心力与各物理量之间的关系，故采用的是控制变量法。故选A。
(2)图示情景中对比铝球和钢球的运动情况，两物体的质量不同，线速度、角速度和运动半径相同，所以研究的是向心力与质量之间的关系。故选D。
(3)由向心力的公式
F=mrω2=m
可知通过本实验可以得到的结论是：在运动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。故选C。
例4　(1)　(2)
解析　(1)根据题意可知，每次经过光电门时的速度为v=
由公式v=ωr可知，砝码做圆周运动的角速度大小为ω==
(2)根据题意，由公式可得
F=mω2r=·
结合图像有k=
解得m=。(共50张PPT)
DIERZHANG
第二章
第1课时　探究影响向心
力大小的因素
1.知道向心力的定义及作用(重点)。
2.通过实验体会向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用(重难点)。
学习目标
一、向心力的理解
二、探究影响向心力大小的因素
课时对点练
内容索引
向心力的理解
一
如图所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动。
(1)小球受哪些力的作用？
答案　重力、支持力和绳的拉力。
(2)这些力的合力如何？合力的方向有何特点？
答案　重力与支持力平衡，小球受到的合力等于绳的拉力。合力的方向始终指向圆心。
1.向心力的定义：物体做匀速圆周运动时方向始终指向轨迹 的合外力称为向心力。
2.向心力的特点
(1)方向：始终沿着半径指向 ，总是与线速度方向 。
(2)作用：只改变物体线速度的 ，不改变线速度的 。
(3)向心力是根据力的 来命名的，它可以由某一个力提供，也可以由 提供。
梳理与总结
圆心
圆心
垂直
方向
大小
作用效果
某一力的分力或某些力的合力
(1)物体由于做圆周运动而产生了向心力。(　　)
(2)对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力。(　　)
(3)当物体受到的合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心时，物体做匀速圆周运动。(　　)
(4)圆周运动中指向圆心的合力等于向心力。(　　)
×
×
√
√
　如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
例1
√
老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，受到重力和空气对它的作用力，二者的合力提供向心力，向心力是效果力，不是老鹰另外受到的力，故B正确，A、C、D错误。
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探究影响向心力大小的因素
二
方案一　定性探究影响向心力大小的因素
如图所示，绳子的一端系一小球，另一端用手固定，让小球在近似光滑的桌面上做匀速圆周运动，此时小球所需的向心力近似等于绳子对小球的拉力，通过牵绳的手感受绳子拉力的变化情况，定性的探究影响向心力大小的因素。
(1)保持绳的长度和小球的质量不变，增大或减小小球旋转的角速度，感受向心力的变化。
(2)保持小球的质量和小球旋转的角速度不变，增大或减小小球旋转的半径(改变绳长)，感受向心力的变化。
(3)保持小球旋转的角速度和绳的长度不变，换一个质量较大的球进行实验，感受向心力的变化。
猜想：向心力大小可能与小球质量、旋转角速度、转动半径有关。
方案二　定量探究影响向心力大小的因素
1.实验器材：向心力演示器(如图甲所示)
2.实验原理
转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球随之做匀速圆周运动，长槽和短槽的挡板为小球的运动提供向心力。小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测力筒下降，露出标尺(如图乙所示)。通过标尺上红白相间等分格的数量，即可求得两个小球所受向心力的大小之比。
可以调整塔轮上的皮带，使其套到半径大小不同的塔轮上，改变长短槽旋转角速度之比。也可以将小球放在长槽不同的卡位上，改变小球做圆周运动的半径。
3.实验步骤
探究1：保持两个小球质量、转动半径r相同，探究两个小球所受向心力F与角速度ω之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 角速度之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论： 。
在质量和运动半径一定时，向心力与角速度的平方成正比
探究2：保持 相同，探究 与质量m之间的
关系。
在表中记录实验数据
实验次数 质量之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论： 。
运动半径r和角速度ω
向心力F
在运动半径和角速度一定时，向心力与质量成正比
探究3：保持质量m和角速度ω相同，探究 与 之间的
关系。
参考探究1、2，采用控制变量法，得出结论。
实验结论： 。
向心力F
运动半径r
在质量和角速度一定时，向心力与运动半径成正比
　如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素。用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使纸杯在水平面内做匀速圆周运动。
(1)下列说法中正确的是　 　。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
例2
BD
(2)如图乙，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使杯在光滑水平桌面(未画出)上每秒
运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在光滑水平桌面上每秒运动二周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在光滑水平桌面上每秒运动一周，体会向心力的大小。
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力
的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：　　　　　　 相同，向心力的大小与　　　有关；
②物理学中此种实验方法叫　　　　 法。
角速度、半径
质量
控制变量
③小组总结阶段，手甩动，使杯在光滑水平桌面上做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力，而是背离圆心的力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 　　　　 　　　　__________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心
　(2023·广州市高一期中)用如图所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关。
(1)本实验采用的科学方法是　　；
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法
例3
A
本装置的原理是使物体质量、运动半径、角速度等多个物理量中的一个变化，控制其他物理量不变，以研究向心力与各物理量之间的关系，故采用的是控制变量法。故选A。
(2)图示中若用皮带连接的两个塔轮半径相等，保证两球线速度相同，两球是体积相同的铝球和钢球，则正在探究的是　 　；
A.向心力的大小与运动半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
D
图示情景中对比铝球和钢球的运动情况，两物体的质量不同，线速度、角速度和运动半径相同，所以研究的是向心力与质量之间的关系。故选D。
(3)通过本实验可以得到的结论是　 　。
A.在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和运动半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在运动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与运动半径成反比
C
由向心力的公式
F=mrω2=m
可知通过本实验可以得到的结论是：在运动半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比。故选C。
　(2023·广州市高一期中)用如图甲所示的向心力实验器，定量探究匀速圆周运动所需向心力的大小与物体的质量、角速度大小、运动半径之间的关系。如图甲，光电门传感器和力传感器固定在向心力实验器上，并与数据采集器连接；旋臂上的砝码通过轻质杆与力传感器相连，以测量砝码所受向心力F的大小；宽为d的挡光杆固定在距旋臂转轴水平距离为L的另一端，挡光杆通过光电门传感器时，计算机可算出旋臂的角速度ω。
例4
(1)挡光杆某次经过光电门的挡光时间为Δt，
砝码做圆周运动的角速度大小为_____　　　　(用d、L、Δt表示)。
根据题意可知，每次经过光电门时的速度为v=
由公式v=ωr可知，砝码做圆周运动的角速度大小为
ω==
(2)以F为纵坐标，以为横坐标，可在坐标纸中描出数据点作一条如图乙所示直线，若图像的斜率为k，则
砝码的质量为　 　(用k、L、d表示)。
根据题意，由公式可得
F=mω2r=·
结合图像有k=
解得m=。
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课时对点练
三
对一对
答案
1
2
3
4
5
题号 1 2
答案 (1)控制变量法　(2)A (1)1∶2　(2)1∶4　(3)B
题号 3 4
答案 (1)物体的质量　(2) 转动半径　(3)9 (1)变大　变小　(2)①
题号 　　　　　　　 5
答案 (1)　(2)丙　(3)0.18　(4)不变
1.如图是探究影响向心力大小的因素的实验装置。长槽上的挡板B到转轴的距离是挡板A到转轴的2倍，长槽上的挡板A和短槽上的挡板C到各自转轴的距离相等。转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对小球的力提供向心力，小球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使
弹簧测力套筒下降，从而露出标尺，标尺
上红白相间的等分格显示出两个小球所受
向心力的比值。
1
2
3
4
5
答案
(1)该实验应用　　　　　 (选填“理想实验法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和运动半径r之间的关系。
1
2
3
4
5
控制变量法
该实验应用控制变量法来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和运动半径r之间的关系。
答案
(2)探究向心力的大小F与角速度ω的关系时，应将传动皮带套在两塔轮半径不同的轮盘上，将质量相同的小球分别放在挡板C和挡板　　处。(选填“A”或“B”)。
1
2
3
4
5
A
探究向心力的大小与角速度的关系时，应控制两小球的质量与两小球做圆周运动的轨道半径相等，即应选择两个质量相同的小球，分别放在挡板A与挡板C处，同时选择半径不同的两个轮盘。
答案
2.(2023·茂名市高一期中)如图甲，利用向心力演示器探究做圆周运动的小球，当质量、运动半径一定时，所需向心力大小F与角速度ω之间的关系。挡板A到转轴的距离和挡板C到转轴的距离相等。
1
2
3
4
5
(1)如图乙，若传动皮带套在塔轮第二层，左、右塔轮半径R1、R2之比为2∶1，则塔轮转动时，A、C两处的角速度之比为　　　；
1∶2
答案
1
2
3
4
5
左、右塔轮边缘的线速度大小相等，R1、R2之比为
2∶1，根据线速度与角速度的关系，有v=ωR，可知
左、右塔轮的角速度之比为1∶2，又因为A、C两处分别与左右两轮共轴，所以A、C两处的角速度之比为1∶2；
答案
(2)图中标尺上黑白相间的等分格显示如图丙，则A、C两处钢球所受向心力大小之比约为　　　　；
1
2
3
4
5
1∶4
根据标尺的黑白等分格一个为1个格，一个为4个格，可知A、C两处钢球所受向心力大小之比为1∶4；
答案
(3)在这个探究向心力大小与质量、角速度和运动半径之间的关系的实验中，所采用的科学方法与下面哪个实验相同　　　。
A.探究两个互成角度的力的合成规律
B.探究加速度与力、质量的关系
C.探究平抛运动的特点
1
2
3
4
5
B
答案
1
2
3
4
5
因为影响向心力的因素有三个，所以本实验采用了控制变量法；探究两个互成角度的力的合成规律采用的是等效替代法，故A错误；
探究加速度与力、质量的关系时，首先需要保持力不变，探究加速度与质量的关系；然后保持质量不变，探究加速度与力的关系，用到的也是控制变量法，故B正确；
探究平抛运动的特点时用的是分解法，故C错误。
答案
3.(2023·广州市高一月考)某种研究做圆周运动的物体的向心力的演示仪如图所示，水平光滑杆固定在竖直转轴上，穿在水平光滑杆上的A、B两球通过细线分别与固定在转轴上的力传感器相连，探究影响物体的向心力大小的因素。
1
2
3
4
5
答案
(1)若线长LA=LB，小球的质量mA=2mB，从静止开始
逐渐增大横杆转动的速度，发现与小球A通过细线
连接的力传感器的示数总是与小球B通过细线连接的
力传感器的示数的2倍。
结论1：在转动半径和角速度相同时，做圆周运动的物体所需的向心力与　　　　 成正比。
1
2
3
4
5
物体的质量
在转动半径和角速度相同时，质量是2倍关系，向心力也是2倍关系，所以做圆周运动的物体在转动半径和角速度相同时，所需的向心力与物体的质量成正比。
答案
(2)若小球的质量mA=mB，线长LA=2LB，从静止开始
逐渐增大横杆转动的速度，发现与小球A通过细线
连接的力传感器的示数总是与小球B通过细线连接
的力传感器的示数的2倍。
结论2：在物体质量和转动角速度相同时，做圆周运动的物体所需的向心力与　　　 　成正比。
1
2
3
4
5
转动半径
在物体质量和转动角速度相同时，旋转半径是2倍关系，向心力也是2倍关系，所以做圆周运动的物体所需的向心力与物体转动的半径成正比。
答案
(3)继续实验，发现物体做圆周运动时，所需的向心力与物体的质量、转动半径和角速度之间的关系为F=mrω2。对于同一小球，转动半径相同时，若使其转动角速度变为原来的3倍，则其所需的向心力大小变为原来的　　倍。
1
2
3
4
5
9
根据F=mrω2可知，对于同一小球，转动半径相同时，转动角速度变为原来的3倍，则其所需的向心力大小变为原来的9倍。
答案
4.(2023·广州市高一期中)某实验小组用如图甲所示的
装置探究向心力大小与周期、运动半径之间的关系，
轻绳一端系着小球，另一端固定在竖直杆上的力传感
器上，小球套在光滑水平杆上。水平杆在电动机带动
下可以在水平面内绕竖直杆匀速转动。已知小球质量
为m，小球做圆周运动的半径为r，电子计数器可记录杆做圆周运动的圈数n，用秒表记录小球转动n圈的时间为t。
1
2
3
4
5
答案
(1)若保持小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将　　　；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将______
(以上两空均选填“变大”“变小”或“不变”)。
1
2
3
4
5
变大
变小
小球做圆周运动时有F=F向=mω2r=mr
所以当小球运动半径不变，仅减小运动周期，小球受到的拉力将变大；若保持小球运动的周期不变，仅减小运动半径，小球受到的拉力将变小。
答案
(2)该小组同学做实验时，保持小球做圆周运动的半径不变，选用质量为m1的小球甲和质量为m2(m1>m2)的小球乙做了两组实验。两组实验中分别多次改变小球运动的转速，记录实验数据，作出了F与关系图线如图乙所示的①和②两条曲线，图乙中反映小球甲的实验数据是　　(选填“①”或“②”)。
1
2
3
4
5
①
答案
1
2
3
4
5
根据题意有周期T=
可得F=mr=4π2mr
因为甲球的质量较大，所以可得曲线①为小球甲的实验数据。
答案
5.(2023·广州市高一期中)某同学利用图甲中所示的DIS
向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素。
①实验时，圆柱体和另一端的挡光杆随旋臂一起做圆
周运动，通过力传感器测得圆柱体受到的向心力F，
测出挡光杆经过光电门的挡光时间Δt。
②测得挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，圆柱体做圆周运动的半径为r。
③保持圆柱体的质量和转动半径不变，改变转速重复步骤①，得到多组F、Δt的数据，研究F与v关系。
1
2
3
4
5
答案
(1)圆柱体转动线速度v=　　　(用所测物理量符号表示)。
1
2
3
4
5
挡光杆转动的线速度v'=
挡光杆与圆柱体转动的角速度相同，则圆柱体的线速度v=
答案
(2)实验中测得的数据如表：
1
2
3
4
5
乙、丙、丁三图是根据上述实验数据作出的F-v、F-v2、F-三个图像，那么研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是　 　。
v/(m·s-1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
丙
答案
1
2
3
4
5
根据F=m
则研究向心力与线速度的关系时，保持圆柱体质量和运动半径一定，为方便研究，应使用的图像是丙图像；
答案
(3)上述图像是保持r=0.2 m时得到的，由图可得圆柱体的质量为　 　 kg
(保留两位有效数字)。
1
2
3
4
5
0.18
上述图像是保持r=0.2 m时得到的，
则F=v2，由图可得=
可得圆柱体的质量为m=0.18 kg
答案
(4)若研究F与r的关系，实验时应使挡光杆经过光电门时的挡光时间____
(选填“变”或“不变”)。
1
2
3
4
5
不变
若研究F与r的关系，实验时应保持质量和线速度不变，则应使挡光杆经过光电门时的挡光时间不变。
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答案第二节　第2课时　向心力与向心加速度
(分值：100分)
1~8题每题7分，共56分
考点一　向心力的来源分析与计算
1.(2023·江门市期中)关于向心力的说法正确的是(　　)
A.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
B.做变速圆周运动的物体其合力总是指向圆心
C.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
D.向心力只改变物体运动的方向
2.(2023·广州市高一期中)在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的选项是(　　)
3.(2023·广雅中学期末)如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
4.(2023·湛江市高一期中)如图，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、漏斗壁的支持力和向心力
B.小球受到的重力小于漏斗壁的支持力
C.漏斗壁对小球的支持力方向指向其圆周运动的圆心
D.小球的运动状态保持不变
5.(2023·深圳市高一月考)甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们的质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为(　　)
A.1∶4 B.4∶9 C.2∶3 D.9∶16
考点二　向心加速度的理解与计算
6.(2023·东莞市高级中学月考)如图所示为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图像，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可知(　　)
A.甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度的大小保持不变
B.甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度的大小保持不变
C.甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度的大小保持不变
D.甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度的大小保持不变
7.(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动，图中三轮半径分别为r1=3r，r2=2r，r3=4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是(　　)
A.= B.=
C.=2 D.=
8.(2023·梅州市高一期中)在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一同学先用刻度尺测量手臂长(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
B.手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C.自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D.由a=可知手掌比手肘的向心加速度小
9~10题每题9分，11题15分，共33分
9.(2023·广州市高一期中)如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O'处钉了一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时(　　)
A.小球的线速度v突然变大
B.小球的向心加速度a突然变小
C.小球的角速度ω突然变小
D.悬线的张力突然变大
10.(2023·东莞市高一月考)如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
11.(15分)(2023·汕尾市高一期中)如图所示，一圆盘绕垂直于盘面的竖直轴转动，在距转轴r=0.2 m处的圆盘上放一质量为2 kg木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，当木块A的线速度达到0.6 m/s时，未与圆盘发生相对滑动，求：
(1)(5分)圆盘运动的角速度；
(2)(5分)木块A转动的向心加速度大小；
(3)(5分)木块A受到的摩擦力大小。
(11分)
12.(2023·湛江市高一期中)如图甲所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为图中乙的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物体相对木板始终静止，下列说法正确的是(　　)
A.在最低点时，物体所受支持力等于物块的重力
B.物体所受合外力不变
C.除c、d两点外，物体都要受摩擦力
D.c、d两点，物体所受支持力相同
答案精析
1.D　[做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻改变，是变力，故A错误；做变速圆周运动的物体有可能在某个位置时，其合力指向圆心，但不可能总是指向圆心，只有做匀速圆周运动的物体其合力才总是指向圆心，故B错误；物体做圆周运动就需要有向心力，但这个向心力是由外界提供的，不是物体由于做圆周运动而产生的，故C错误；由于向心力的方向始终与速度方向垂直，所以向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小，故D正确。]
2.C　[狗拉着雪橇做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力，滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，故沿切线向后，拉力与摩擦力的合力指向圆心，故拉力指向斜上方，故A、B、D错误，C正确。]
3.A　[根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有T=F向=mω2r，可得保持绳长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。]
4.B　[小球受到重力、漏斗壁的支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，且合力的方向沿水平方向，指向其圆周运动的圆心，如图所示，显然支持力大于重力，故A、C错误，B正确；小球做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向随时在变化，故D错误。]
5.B　[由题意可知，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，由角速度的定义式ω=可得ω甲∶ω乙=4∶3，已知m甲∶m乙=1∶2，r甲∶r乙=1∶2，甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们所受外力的合力提供向心力，由向心力公式F向=mω2r可得它们所受外力的合力之比为F甲∶F乙=m甲r甲∶m乙r乙=4∶9，故选B。]
6.A　[根据a=可知，甲球线速度的大小保持不变；根据a=ω2r可知，乙球角速度的大小保持不变，故选A。]
7.BD　[由于皮带不打滑，故v1=v2，由a=可得==，A错误，B正确；由于右边两轮同轴转动，故ω2=ω3，由a=rω2可得==，C错误，D正确。]
8.A　[由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，根据公式a=
可得手臂摆到竖直位置时手的线速度大小为
v== m/s≈2 m/s，故A正确；
手臂摆到竖直位置时，手机的加速度方向向上，处于超重状态，故B错误；
自然下摆过程中，手机做变速圆周运动，所受合力不是始终沿手臂方向，故C错误；
由公式a=ω2r可知手掌比手肘的向心加速度大，故D错误。]
9.D　[当悬线碰到钉子时，线速度v大小不变，故A错误；当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，半径变小，根据a=可知，向心加速度a变大，故B错误；线速度大小不变，半径变小，根据ω=可知，角速度ω变大，故C错误；根据牛顿第二定律得F-mg=ma，向心加速度变大，则悬线的张力变大，故D正确。]
10.D　[容器绕其竖直轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做匀速圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f=F向=mω2r=4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故选D。]
11.(1)3 rad/s　(2)1.8 m/s2　(3)3.6 N
解析　(1)圆盘运动的角速度为ω===3 rad/s
(2)木块A转动的向心加速度大小为
a===1.8 m/s2
(3)木块A受到的摩擦力提供了向心力，所以f=F向=m=3.6 N
12.C　[物体做匀速圆周运动，向心力大小始终不变，根据牛顿第二定律，在c点有mg-FNc=F向，解得FNc=mg-F向≠mg，在d点有FNd-mg=F向，解得FNd=F向+mg≠FNc，故A、D错误；物体所受合外力提供向心力，大小不变，但方向始终变化，故B错误；物体所受重力和支持力始终在竖直方向，而向心力方向始终指向圆心，只有在c、d两点，仅靠重力和支持力的合力就可以提供向心力，而除c、d两点外，物体都要受摩擦力，才能使合外力指向圆心，故C正确。]第2课时　向心力与向心加速度
［学习目标］　1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算(重点)。2.理解向心加速度，知道向心加速度与线速度、角速度的关系式。3.能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。
一、向心力的来源分析与计算
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
例1　(多选)(2023·揭阳市高一月考)如图所示，用轻质细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，线长为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法中正确的是(　　)
A.小球受重力、拉力、向心力
B.小球受重力、拉力
C.小球的向心力大小为mgtan θ
D.小球的向心力大小为
例2　(2023·广州市高一期中)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)
A.物体所受弹力增大，摩擦力不变
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
D.物体所受弹力和摩擦力都减小了
二、向心加速度的理解与计算
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
1.向心加速度的理解
(1)定义：物体做匀速圆周运动的加速度一定指向　　　　，称为向心加速度。
(2)方向：始终指向　　　　，方向时刻改变。
(3)作用：向心加速度只改变速度的　　　，不改变速度的　　　　。
(4)性质：由于匀速圆周运动的加速度　　　　时刻改变，所以匀速圆周运动是　　　　曲线运动。
注意：变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一个是向心加速度，另一个是切向加速度。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
2.向心加速度公式
a=　　　　=　　　　=r=4π2n2r=4π2f2r=ωv。
3.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向　　　　。
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。(　　)
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
从公式a=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？
例3　(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
例4　(多选)(2023·佛山市高一月考)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是(　　)
A.v1∶v2=1∶1
B.v1∶v2=∶1
C.a1∶a2=2∶1
D.a1∶a2=∶1
答案精析
一、
(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当物体转动的角速度变大后，由F=mω2r可知物体所需向心力变大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也变大。
例1　BC　[对小球进行受力分析可知，小球受重力和拉力的作用，二者的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，故A错误，B正确；合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则有tan θ=，因此向心力大小为F=F合=mgtan θ，故C正确，D错误。]
例2　A　[物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析如图所示，可知物体的重力与摩擦力平衡，即f=G，根据支持力提供向心力有FN=mω2r，可知当圆筒的角速度增大以后，物体所受弹力增大，摩擦力不变。故选A。]
二、
(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，加速度的方向指向圆心。
(2)由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
梳理总结
1.(1)圆心　(2)圆心　(3)方向　大小　(4)方向　变加速
2.　ω2r
3.圆心
讨论与交流
不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
易错辨析
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
例3　C　[根据匀速圆周运动的规律，此时ω=2πn=100π rad/s，向心加速度a=ω2r≈1 000 m/s2，故选C。]
例4　BD　[甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，轨道半径关系为==
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==
故A错误，B正确；由向心加速度a=ω2R知
==
故C错误，D正确。](共45张PPT)
DIERZHANG
第二章
第2课时　向心力与向心加速度
1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算(重点)。
2.理解向心加速度，知道向心加速度与线速度、角速度的关系式。
3.能够运用向心加速度公式求解有关问题(重点)。
学习目标
一、向心力的来源分析与计算
二、向心加速度的理解与计算
课时对点练
内容索引
向心力的来源分析与计算
一
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。
(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？
答案　物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力。
(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受到的摩擦力大小怎样变化？
答案　当物体转动的角速度变大后，由F=mω2r可知物体所需向心力变大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也变大。
　(多选)(2023·揭阳市高一月考)如图所示，用轻质细线悬吊着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向夹角为θ，线长为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，下列说法中正确的是
A.小球受重力、拉力、向心力
B.小球受重力、拉力
C.小球的向心力大小为mgtan θ
D.小球的向心力大小为
例1
√
√
对小球进行受力分析可知，小球受重力和拉力的
作用，二者的合力提供小球做匀速圆周运动的向
心力，故A错误，B正确；
合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，则有
tan θ=，因此向心力大小为F=F合=mgtan θ，故C正确，D错误。
　(2023·广州市高一期中)如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是
A.物体所受弹力增大，摩擦力不变
B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
D.物体所受弹力和摩擦力都减小了
例2
√
物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析如图所示，可知物体的重力与摩擦力平衡，即f=G，根据支持力提供向心力有FN=mω2r，可知当圆筒的角速度增大以后，物体所受弹力增大，摩擦力不变。故选A。
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向心加速度的理解与计算
二
如图甲所示，地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙所示，光滑水平桌面上一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
答案　地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，加速度的方向指向圆心。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向；
(2)地球和小球加速度的作用是什么？
答案　由于速度大小没有发生变化，故加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
答案　由于地球和小球的加速度总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1.向心加速度的理解
(1)定义：物体做匀速圆周运动的加速度一定指向 ，称为向心加速度。
(2)方向：始终指向 ，方向时刻改变。
(3)作用：向心加速度只改变速度的 ，不改变速度的 。
(4)性质：由于匀速圆周运动的加速度 时刻改变，所以匀速圆周运动是 曲线运动。
注意：变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一个是向心加速度，另一个是切向加速度。向心加速度改变速度方向，切向加速度改变速度大小。
梳理与总结
圆心
圆心
方向
大小
方向
变加速
2.向心加速度公式
a= = =r=4π2n2r=4π2f 2r=ωv。
3.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向 。
ω2r
圆心
(1)物体做匀速圆周运动时，其向心加速度是恒定的。(　　)
(2)物体做匀速圆周运动时，在相等时间内速度变化量是相同的。
(　　)
(3)圆周运动的加速度一定指向圆心。(　　)
(4)向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
×
×
×
√
从公式a=看，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两种说法是否矛盾？为什么？
讨论与交流
答案　不矛盾，在线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，在角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
　(2021·全国甲卷)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
例3
根据匀速圆周运动的规律，此时ω=2πn=100π rad/s，向心加速度a= ω2r≈1 000 m/s2，故选C。
√
　(多选)(2023·佛山市高一月考)如图所示，甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，甲、乙两物体随地球自转的线速度大小分别为v1和v2，向心加速度大小分别为a1和a2，下列关系式正确的是
A.v1∶v2=1∶1
B.v1∶v2=∶1
C.a1∶a2=2∶1
D.a1∶a2=∶1
例4
√
√
甲、乙两物体分别静置于赤道和纬度为45°的地面上，
轨道半径关系为==
甲、乙两物体随地球一起自转，角速度相同，由线速度与角速度的关系知==
故A错误，B正确；
由向心加速度a=ω2R知
==
故C错误，D正确。
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课时对点练
三
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B B A BD A
题号 9 10 11 　12
答案 D D (1)3 rad/s　(2)1.8 m/s2　(3)3.6 N 　C
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考点一　向心力的来源分析与计算
1.(2023·江门市期中)关于向心力的说法正确的是
A.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
B.做变速圆周运动的物体其合力总是指向圆心
C.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
D.向心力只改变物体运动的方向
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基础对点练
√
答案
做匀速圆周运动的物体其向心力大小不变，方向时刻改变，是变力，故A错误；
做变速圆周运动的物体有可能在某个位置时，其合力指向圆心，但不可能总是指向圆心，只有做匀速圆周运动的物体其合力才总是指向圆心，故B错误；
物体做圆周运动就需要有向心力，但这个向心力是由外界提供的，不是物体由于做圆周运动而产生的，故C错误；
由于向心力的方向始终与速度方向垂直，所以向心力只改变物体速度的方向，不改变物体速度的大小，故D正确。
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答案
2.(2023·广州市高一期中)在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的选项是
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√
狗拉着雪橇做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力，滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，故沿切线向后，拉力与摩擦力的合力指向圆心，故拉力指向斜上方，故A、B、D错误，C正确。
答案
3.(2023·广雅中学期末)如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变大
B.若增大角速度，保持绳长不变，则拉力变小
C.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力不变
D.若增大绳长，保持角速度不变，则拉力变小
√
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答案
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根据分析可得小球做匀速圆周运动时，绳子的拉力提供向心力，所以有T=F向=mω2r，可得保持绳长不变即r不变时，若增大角速度，拉力变大，A正确，B错误；
同理，保持角速度不变，若增大绳长即r变大，拉力变大，C、D错误。
答案
4.(2023·湛江市高一期中)如图，把一个小球放在玻璃漏斗中，晃动漏斗，可以使小球沿光滑的漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.小球受到重力、漏斗壁的支持力和向心力
B.小球受到的重力小于漏斗壁的支持力
C.漏斗壁对小球的支持力方向指向其圆周运动的圆心
D.小球的运动状态保持不变
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√
答案
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小球受到重力、漏斗壁的支持力两个力作用，两个力的合力提供向心力，且合力的方向沿水平方向，指向其圆周运动的圆心，如图所示，显然支持力大于重力，故A、C错误，B正确；
小球做匀速圆周运动，速度大小不变，但方向随时在变化，故D错误。
答案
5.(2023·深圳市高一月考)甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们的质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，则它们所受外力的合力之比为
A.1∶4 B.4∶9 C.2∶3 D.9∶16
√
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答案
由题意可知，在相等时间内甲转过60°，乙转过45°，由角速度的定义式ω=可得ω甲∶ω乙=4∶3，已知m甲∶m乙=1∶2，r甲∶r乙=1∶2，甲、乙两物体都做匀速圆周运动，它们所受外力的合力提供向心力，由向心力公式F向=mω2r可得它们所受外力的合力之比为F甲∶F乙=m甲r甲∶m乙r乙=4∶9，故选B。
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答案
考点二　向心加速度的理解与计算
6.(2023·东莞市高级中学月考)如图所示为甲、乙两球做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的关系图像，甲图线为双曲线的一支，乙图线为直线。由图像可知
A.甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度
的大小保持不变
B.甲球运动时，线速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度
的大小保持不变
C.甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，角速度的大小保持不变
D.甲球运动时，角速度的大小保持不变，乙球运动时，线速度的大小保持不变
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答案
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12
根据a=可知，甲球线速度的大小保持不变；根据a=ω2r可知，乙球角速度的大小保持不变，故选A。
答案
7.(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起同轴转动，图中三轮半径分别为r1=3r，r2=2r，r3=4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，向心加速度大小分别为a1、a2、a3，皮带不打滑，则下列比例关系正确的是
A.= B.=
C.=2 D.=
√
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√
答案
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由于皮带不打滑，故v1=v2，由a===，
A错误，B正确；
由于右边两轮同轴转动，故ω2=ω3，由a=rω2可得==，C错误，D正确。
答案
8.(2023·梅州市高一期中)在做甩手动作的物理原理课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一同学先用刻度尺测量手臂长(刻度尺的零刻度线与肩平齐)，如图所示，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法正确的是
A.可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
B.手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
C.自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
D.由a=可知手掌比手肘的向心加速度小
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答案
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12
由题图可知，手机转动的半径约为0.65 m，根据公式a=
可得手臂摆到竖直位置时手的线速度大小为
v== m/s≈2 m/s，故A正确；
手臂摆到竖直位置时，手机的加速度方向向上，处于
超重状态，故B错误；
自然下摆过程中，手机做变速圆周运动，所受合力不是始终沿手臂方向，故C错误；
由公式a=ω2r可知手掌比手肘的向心加速度大，故D错误。
答案
9.(2023·广州市高一期中)如图所示，质量为m的小球用长为L的悬线固定于O点，在O点正下方O'处钉了一个钉子，把悬线拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子时
A.小球的线速度v突然变大
B.小球的向心加速度a突然变小
C.小球的角速度ω突然变小
D.悬线的张力突然变大
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能力综合练
答案
当悬线碰到钉子时，线速度v大小不变，故A错误；
当悬线碰到钉子时，线速度大小不变，半径变小，
根据a=可知，向心加速度a变大，故B错误；
线速度大小不变，半径变小，根据ω=可知，角速
度ω变大，故C错误；
根据牛顿第二定律得F-mg=ma，向心加速度变大，则悬线的张力变大，故D正确。
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答案
10.(2023·东莞市高一月考)如图所示，一圆柱形容器绕其竖直轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
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√
答案
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容器绕其竖直轴线转动时，两个物体随容器一起转动，
以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供
A做匀速圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静
摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力
大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f=F向=mω2r=4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故选D。
答案
11.(2023·汕尾市高一期中)如图所示，一圆盘绕垂直于盘面的竖直轴转动，在距转轴r=0.2 m处的圆盘上放一质量为2 kg木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，当木块A的线速度达到0.6 m/s时，未与圆盘发生相对滑动，求：
(1)圆盘运动的角速度；
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答案　3 rad/s　
圆盘运动的角速度为ω===3 rad/s
答案
(2)木块A转动的向心加速度大小；
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答案　1.8 m/s2　
木块A转动的向心加速度大小为
a===1.8 m/s2
答案
(3)木块A受到的摩擦力大小。
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答案　3.6 N
木块A受到的摩擦力提供了向心力，所以f=F向=m=3.6 N
答案
12.(2023·湛江市高一期中)如图甲所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，这个过程简化为图中乙的情景，水平板上放一个物体，使水平板和物体一起在竖直平面内做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动过程中木板始终保持水平，物体相对木板始终静止，下列说法正确的是
A.在最低点时，物体所受支持力等于物块的重力
B.物体所受合外力不变
C.除c、d两点外，物体都要受摩擦力
D.c、d两点，物体所受支持力相同
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尖子生选练
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答案
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物体做匀速圆周运动，向心力大小始终不变，
根据牛顿第二定律，在c点有mg-FNc=F向，解
得FNc=mg-F向≠mg，在d点有FNd-mg=F向，解
得FNd=F向+mg≠FNc，故A、D错误；
物体所受合外力提供向心力，大小不变，但方向始终变化，故B错误；
物体所受重力和支持力始终在竖直方向，而向心力方向始终指向圆心，只有在c、d两点，仅靠重力和支持力的合力就可以提供向心力，而除c、d两点外，物体都要受摩擦力，才能使合外力指向圆心，故C正确。
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答案

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