资源简介

(共32张PPT)
4　线段的垂直平分线
第十章　三角形的有关证明
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
基础过关练
1.如图所示,AC垂直平分BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形 ABCD的周长是 (　 )
A.11 cm　 B.13 cm
C.16 cm　 D.18 cm
C
解析　∵AC垂直平分BD,
∴AD=AB=3 cm,BC=CD=5 cm,
∴四边形ABCD的周长=AD+AB+BC+CD=16 cm.
故选C.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=42°,AB的垂直平分线MN交 AC于D点,连接BD,则∠DBC的度数是 (　 )

A.22°　 B.27° C.32°　 D.40°
B
解析　∵AB=AC,∠A=42°,
∴∠ABC= (180°-∠A)= ×(180°-42°)=69°,
∵MN垂直平分AB,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=42°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=69°-42°=27°.故选B.
3.如图,∠ABC=90°,∠C=15°,线段AC的垂直平分线DE交AC 于D,交BC于E,CE=10 cm,则AB= (　 )

A.4 cm　 B.5 cm C.6 cm　 D.不能确定
B
解析　∵DE垂直平分AC,∴AE=CE=10 cm,∴∠EAC=∠C=
15°,∴∠AEB=30°,∵∠ABC=90°,∴AB= AE=5 cm,故选B.
4.(2022内蒙古鄂尔多斯中考)如图,在△ABC中,边BC的垂直 平分线DE交AB于点D,连接DC,若AB=3.7,AC=2.3,则△ADC 的周长是　　　 .

6
解析　∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D,
∴BD=CD,∵AB=3.7,AC=2.3,
∴△ADC的周长为AD+CD+AC=AB+AC=6,故答案为6.
方法归纳
线段垂直平分线的性质定理是证明两条线段相等的重要依 据,在证明线段相等时,不必证明两个三角形全等,可以直接 运用该定理得到线段相等的结论.
5.(2024山东菏泽定陶期末)如图,在△ABC中,AB的垂直平分 线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为CE的中点,连接AD,此时 ∠CAD=24°,∠ACB=66°.求证:BE=AC.

证明　如图,连接AE,
∵∠ACB=66°,∠DAC=24°,
∴∠ADC=180°-∠DAC-∠ACB=180°-24°-66°=90°,
∴AD⊥EC,∵点D为CE的中点,∴DE=DC,
∴直线AD是线段CE的垂直平分线,∴AE=AC,
∵EF垂直平分AB,∴AE=BE,∴BE=AC.
知识点2　线段垂直平分线的判定定理
6.已知C,D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD,点P在 直线CD上.若AP=5,则BP的长为(　 )
A.2.5　 B.5　 C.10　 D.25
B
解析　∵C,D是线段AB外不重合的两点,AC=BC,AD=BD,
∴直线CD是线段AB的垂直平分线,
∵点P在直线CD上,AP=5,∴BP=AP=5,故选B.
7.(一题多解)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC延长线上 的一点,EH垂直平分BD,连接DE交AC于F,求证:点E在线段 AF的垂直平分线上.

证明　【证法一】∵EH垂直平分BD,
∴BE=DE,EH⊥BD,∴∠BEH=∠DEH,
∵∠ACB=90°,∴AC⊥BD,∴EH∥AC,
∴∠BEH=∠A,∠DEH=∠AFE,
∴∠A=∠AFE,∴AE=EF,
∴点E在线段AF的垂直平分线上.
【证法二】∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠D+∠DFC=90°, ∵EH垂直平分BD,∴EB=ED,
∴∠B=∠D,∴∠A=∠DFC,∵∠DFC=∠AFE,
∴∠A=∠AFE,∴EA=EF,∴点E在线段AF的垂直平分线上.
知识点3　三角形三条边的垂直平分线的性质
8.(2024广东河源紫金月考)某公园有一块三角形草坪ABC,如 图,现准备在该草坪内种植一棵树,使得该树到△ABC三个顶 点的距离相等,则该树应种在△ABC (　 )
A.三条边的垂直平分线的交点处
B.三个角的角平分线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条中线的交点处
A
解析　∵线段垂直平分线上任意一点到该线段两端点的距 离相等,∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条 边的垂直平分线的交点,故选A.
能力提升练
9.(2024山东德州宁津期末,7,★★☆)如图,△ABC中,AB=AE,且AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E,若△ABC的周长为16,AC=6,则DC的长为(　 )

A.5　 B.8　 C.9　 D.10
A
解析　∵△ABC的周长为16,∴AB+BC+AC=16,
∵AC=6,∴AB+BC=10,
∵EF垂直平分AC,∴EA=EC,
∵AB=AE,AD⊥BC,∴BD=DE,
∴AB+BD=AE+DE= (AB+BC)=5,
∴DC=DE+EC=AE+DE=5,故选A.
10.(2024山东济南平阴期末,8,★★☆)如图,锐角三角形ABC 中,直线l为BC的垂直平分线,射线m为∠ABC的平分线,l与m 相交于P点.若∠BAC=60°,∠ACP=24°,则∠ABP是 (　 )

A.24°　 B.30°　 C.32°　 D.36°
C
解析　由题意可得∠ABP=∠CBP,BP=CP,
∴∠CBP=∠BCP,∴∠ABP=∠CBP=∠BCP,
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,∠BAC=60°,∠ACP=24°,
∴3∠ABP+24°+60°=180°,∴∠ABP=32°.故选C.
11.(新考法)(2022湖北宜昌中考,6,★★☆)如图,在△ABC中, 分别以点B和点C为圆心,大于 BC的长为半径画弧,两弧相
交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若 AB=7,AC=12,BC=6,则△ABD的周长为 (　 )

C
A.25　 B.22　 C.19　 D.18
解析　由题意可得,MN垂直平分BC,∴DB=DC,∴△ABD的 周长=AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,∵AB=7,AC=12,
∴AB+AC=19,∴△ABD的周长是19,故选C.
12.(2024山东青岛胶州月考,17,★★☆)如图,在△ABC中,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点M,P,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点N,Q.若BC=10,QP=2,则△AQP的周长为　　 .
14
解析　∵PM垂直平分AB,QN垂直平分AC,
∴AP=BP,AQ=CQ,
∴△AQP的周长=AQ+AP+PQ=CQ+BP+PQ
=CP+QP+BQ+QP+QP=BC+2PQ=10+2×2=14,
故答案为14.
13.(2022山东青岛胶州期中,14,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC=
10,BC=12,点D是边BC的中点,直线MN是线段AB的垂直平分线,点E是MN上的一个动点,则△BDE周长的最小值是 　　 .

14
解析　如图,连接AD,AE,
∵直线MN是线段AB的垂直平分线,∴AE=BE,∵AB=AC,D是 BC的中点,∴AD⊥BC,BD=CD=6,∴△BDE的周长=BD+DE+ BE=BD+DE+AE≥BD+AD,∴当A,E,D三点共线时,△BDE的
周长最小,∵∠ADB=90°,AB=10,BD=6,∴AD= =8,
∴△BDE周长的最小值为6+8=14,故答案为14.
14.(2024广东佛山禅城期末,20,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,点P在AC上,点D在AB上,PD=PA,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.
(1)求证:DE⊥DP.
(2)若AC=3,BC=4,PA=1,求线段DE的长.

解析 (1)证明:∵PD=PA,∴∠PDA=∠A,
∵EF垂直平分BD,∴ED=EB,∴∠EDB=∠B,
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠PDA+∠EDB=90°,
∴∠PDE=90°,∴DE⊥PD.
(2)如图所示,连接PE,

∵AC=3,PA=1,
∴CP=AC-PA=2,PD=PA=1,
设DE=BE=x,则CE=4-x,
在Rt△PEC中,由勾股定理,得PE2=22+(4-x)2,
在Rt△PDE中,由勾股定理,得PE2=12+x2,
∴22+(4-x)2=12+x2,
解得x= ,∴DE= .
素养探究练
15.(推理能力)如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线l1交BC于 点D,AC边的垂直平分线l2交BC于点E,l1与l2相交于点O,连接 OB,OC.若△ADE的周长为12 cm,△OBC的周长为32 cm.
(1)求线段BC的长.
(2)连接OA,求线段OA的长.
(3)若∠BAC=n°(n>90),求∠DAE的度数.
(用含n的式子表示)
解析 (1)∵l1是AB边的垂直平分线,∴DA=DB,
∵l2是AC边的垂直平分线,∴EA=EC,
∵△ADE的周长为12 cm,∴DA+DE+EA=12 cm,
∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=12 cm.
(2)如图,

∵l1是AB边的垂直平分线,∴OA=OB,
∵l2是AC边的垂直平分线,
∴OA=OC,
∵△OBC的周长为32 cm,∴OB+OC+BC=32 cm,
∴OA=OB=OC= =10(cm).
(3)∵∠BAC=n°,∴∠ABC+∠ACB=(180-n)°,∵DA=DB,EA= EC,∴∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB,∴∠DAE=∠BAC-
∠BAD-∠EAC=n°-(180-n)°=(2n-180)°.(共43张PPT)
2　等腰三角形
第1课时　等腰三角形的性质与判定
第十章　三角形的有关证明
知识点1　等腰三角形的性质定理
基础过关练
1.(2024广东佛山期末)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点, ∠BAC=50°,则∠BAD的度数为(　 )

A.25°　 B.50°　 C.65°　 D.100°
A
解析　∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC,
∵∠BAC=50°,
∴∠BAD= ×50°=25°.故选A.
2.(方程思想)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BC=BD=
DA,那么∠A的度数是(　 )

A.72°　 B.60°　 C.45°　 D.36°
D
解析　∵AB=AC,BC=BD=DA,
∴∠A=∠ABD,∠C=∠ABC=∠CDB,
设∠A=x°,则∠ABD=∠A=x°,
∴∠C=∠ABC=∠CDB=∠A+∠ABD=2x°,
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∴x+2x+2x=180,
解得x=36,故∠A的度数是36°,故选D.
3.(2024甘肃陇南武都期末)如图,C,E和B,D,F分别在∠GAH 的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF,若∠A=18°,则∠GEF的度 数为(　 )

A.75°　 B.80°　 C.85°　 D.90°
D
解析　∵AB=BC,∴∠ACB=∠A=18°,
∴∠CBD=∠A+∠ACB=36°,
∵BC=CD,∴∠CDB=∠CBD=36°,
∴∠DCE=∠A+∠CDA=18°+36°=54°,
∵CD=DE,∴∠CED=∠DCE=54°,
∴∠EDF=∠A+∠AED=18°+54°=72°,
∵DE=EF,∴∠EFD=∠EDF=72°,
∴∠GEF=∠A+∠AFE=18°+72°=90°.故选D.
4.(新独家原创)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BG是边AC上 的高,点D在底边BC上,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 为E,F,若BG=5 cm,则DE+DF=　　　 .

5 cm
解析 连接AD(图略),∵△ABD的面积+△ACD的面积=
△ABC的面积,△ABD的面积= AB·DE,△ACD的面积= AC·
DF,△ABC的面积= AC·BG,
∴ AB·DE+ AC·DF= AC·BG,
∵AB=AC,∴DE+DF=BG=5 cm.
5.(新考向·新定义试题)定义:在一个三角形中,当一个内角的 度数是另一个内角度数的 时,我们称这样的三角形为“半
角三角形”.若等腰△ABC为“半角三角形”,则等腰△ABC 的顶角度数为　　　 .
36°或90°
解析　分两种情况:①顶角度数是底角度数的 时,顶角的度
数为180°÷(2+2+1)=36°;
②底角度数是顶角度数的 时,顶角的度数为180°÷
=90°.
综上,等腰△ABC的顶角度数为36°或90°.
6.(2024陕西西安未央月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD 为△ABC的中线,∠BAC=50°,AE=CE,EF∥AB,求∠FEC的度 数.

解析　∵AB=AC,AD为△ABC的中线,
∴AD平分∠BAC.
∵∠BAC=50°,∴∠BAD=∠DAC=25°.
∵AE=CE,∴∠EAC=∠ECA=25°,
∴∠DEC=∠EAC+∠ECA=50°.
∵EF∥AB,∴∠FED=∠BAD=25°,∴∠FEC=75°.
7.(2023山东菏泽成武三模)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的 中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=AF,求证:DE=DF.

解析 证明　如图,连接AD,

∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠EAD=∠FAD,
在△AED和△AFD中,
∴△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF.
8.(2023湖北襄阳保康期末)各项数据如图所示,共有等腰三 角形 (　 )

A.4个　 B.5个　 C.3个　 D.2个
B
知识点2　等腰三角形的判定定理
解析　根据三角形的内角和定理,得∠ABO=∠DCO=36°,根 据三角形的外角的性质,得∠AOB=∠COD=72°.根据等角对 等边可知,等腰三角形有△AOB,△COD,△ABC,△CBD,△BOC.故选B.
9.(2024云南昆明期末)如图,上午10时,一艘船从海岛A出发, 以12 n mile/h的速度向正北方向航行,12时时到达海岛B处. 从A处,B处望向灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则从海 岛B到灯塔C的距离为 (　 )
A.12 n mile　
B.24 n mile
C.20 n mile　
D.36 n mile
B
解析　由题意得船从A处到B处航行的时间是12-10=2(h),
∴AB=12×2=24(n mile),
∵∠NAC=42°,∠NBC=84°,
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=42°,
∴∠ACB=∠NAC,
∴BC=AB=24 n mile,
∴从海岛B到灯塔C的距离为24 n mile.
故选B.
10.(易错题)如图,已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线 ON上运动),∠AON=45°,当∠A的度数为　　　 　
时,△AOP为等腰三角形.

45°或67.5°或90°
解析　当△AOP为等腰三角形时,分三种情况:
①当AO=AP时,∠AON=∠APO=45°,∴∠A=90°;
②当AO=OP时,∠A=∠APO= =67.5°;
③当OP=AP时,∠A=∠AON=45°.
综上,∠A的度数为45°或67.5°或90°.
11.(2024陕西安康白河期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D是 BC边的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数.
(2)过点E作EF∥BC交AB于点F,求证:△BEF是等腰三角形.

解析 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.
∵∠C=36°,∴∠ABC=36°.
∵AB=AC,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,∴∠BDA=90°.
∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.
∵EF∥BC,∴∠EBC=∠BEF.∴∠EBF=∠FEB.
∴BF=EF,∴△BEF是等腰三角形.
12.(2024湖北襄阳枣阳期末)如图,在△ABC中,AD平分∠ BAC,E是BC上的一点,BE=CD,EF∥AD交AB于点F,交CA的 延长线于点P,CH∥AB交AD的延长线于点H.
(1)求证:△APF是等腰三角形.
(2)猜想AB与PC的数量关系,并证明你的猜想.

解析 (1)证明:∵EF∥AD,
∴∠BAD=∠PFA,∠CAD=∠P,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,
∴∠PFA=∠P,∴AF=AP,
∴△APF是等腰三角形.
(2)AB=PC.
证明:∵CH∥AB,
∴∠HCD=∠B,∠H=∠BAD,
∵EF∥AD,∴∠BAD=∠BFE,∴∠H=∠BFE,
在△CDH和△BEF中,
∴△CDH≌△BEF(AAS),
∴CH=BF,
∵∠BAD=∠CAD,∠H=∠BAD,
∴∠CAD=∠H,∴AC=CH,∴AC=BF,
∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,
∴AB=PC.
能力提升练
13.(2024山东东营河口模拟,3,★☆☆)如图,直线l与直线a,b 分别相交于点A,B,点C在直线b上,若a∥b,CA=CB,∠2=74°,则 ∠1的度数为(　 )

A.74°　 B.37°　 C.32°　 D.16°
C
解析　∵a∥b,∠2=74°,∴∠CBA=∠2=74°,
∵CA=CB,∴∠CBA=∠CAB,
∴∠1=180°-74°-74°=32°,故选C.
14.(2023山东泰安东平期末,10,★★☆)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A=36°,BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,BD,CE相交于 点F,则图中等腰三角形共有 (　 )

A.7个　 B.8个　 C.6个　 D.9个
B
解析　∵在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
∴∠ABC=∠ACB= (180°-∠A)=72°,
∵BD,CE分别平分∠ABC和∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=36°,
∠ACE=∠BCE= ∠ACB=36°,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°,同理∠BEC=72°,
∴∠EFB=∠DFC=180°-36°-72°=72°.
可知∠A=∠ACE=36°,∠A=∠ABD=36°,
∠BEC=∠ABC=72°,∠BDC=∠ACB=72°,
∠BEF=∠EFB=72°,∠BDC=∠DFC=72°,
∠FBC=∠FCB=36°,∠ABC=∠ACB=72°,
易得△ACE,△ABD,△BEC,△BDC,△EFB,△DFC,△FBC,
△ABC都是等腰三角形,共8个等腰三角形,故选B.
15.(2024四川内江中考,23,★★☆)如图,在△ABC中,∠DCE= 40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　 .
100°
解析　∵AC=AE,BC=BD,∴∠AEC=∠ACE,∠BDC=∠BCD,
设∠AEC=∠ACE=x°,∠BDC=∠BCD=y°,
∴∠A=(180-2x)°,∠B=(180-2y)°,
∵∠ACB+∠A+∠B=180°,∠BDC+∠AEC+∠DCE=180°,
∴∠ACB+(180-2x)°+(180-2y)°=180°,
180°-(x+y)°=∠DCE,
∴∠ACB+360°-2(x+y)°=180°,∴∠ACB+2∠DCE=180°,
∵∠DCE=40°,∴∠ACB=100°,故答案为100°.
16.(2023山东烟台中考,23(1),★★☆)如图,点C为线段AB上 一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰 △ACD和等腰△BCE,且∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使 EF=AD,连接BF,DE.求证:DE=BF.

证明　∵△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三角形,∴∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,CE=BE,AD=CD,
∵∠A=∠CBE,∴∠A=∠ECB,∠ADC=∠CEB,
∴AD∥CE,∴∠ADC=∠DCE,∴∠DCE=∠CEB,
∵EF=AD,AD=CD,
∴EF=CD,
∴△DCE≌△FEB(SAS),
∴DE=BF.
17.(2024山东济南商河期末,19,★★☆)如图,在△ABC中,AB= AC,点E在CA的延长线上,EP⊥BC,垂足为P,EP交AB于点F. 求证:△AEF是等腰三角形.

证明　∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵EP⊥BC,∴∠C+∠E=90°,∠B+∠BFP=90°,
∴∠E=∠BFP,
∵∠BFP=∠AFE,∴∠E=∠AFE,∴AF=AE,
∴△AEF是等腰三角形.
18.(2024山东菏泽单县期中,23,★★☆)如图,已知点D在线段 AB的反向延长线上,过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平 分线于E,交BC于G,且AE∥BC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形.
(2)若AE=8,GC=2BG,求BC的长.

解析 (1)证明:∵AE∥BC,
∴∠B=∠DAE,∠C=∠CAE,
∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠CAE,
∴∠B=∠C,∴AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)∵F是AC的中点,∴AF=CF,
在△CFG和△AFE中,
∴△CFG≌△AFE(ASA),∴GC=AE=8,
∵GC=2BG,∴BG=4,∴BC=BG+GC=12.
19.(角平分线+平行线模型)(2022浙江温州中考,20,★★☆) 如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.
(1)求证:∠EBD=∠EDB.
(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.

解析 (1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD,
∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.
(2)CD=ED.理由:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,
∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE,
由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.
模型特征
若出现以下图形(BD是∠ABC的平分线,DE∥BC),则一般会
证明或者运用到等腰△BDE.
(共33张PPT)
2　等腰三角形
第2课时　等边三角形的性质与判定
第十章　三角形的有关证明
知识点3　等边三角形的性质定理
基础过关练
1.(2024海南海口二模)如图,直线l1∥l2,△ABC是等边三角形, ∠1=50°,则∠2的大小为(　 )

A.60°　 B.80°　 C.70°　 D.100°
C
解析　如图,

∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°,
∵l1∥l2,∠1=50°,∴∠1=∠3=50°,
∴∠4=180°-∠3-∠A=70°,
∴∠2=∠4=70°.故选C.
2.(2024辽宁大连西岗期末)如图,△ABC是等边三角形,AD为 中线,E为AB上一点,且AD=AE,则∠EDB等于(　 )

A.15°　 B.20°　 C.25°　 D.30°
A
解析　∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵AD是中线,
∴∠BAD= ∠BAC=30°,AD⊥BC,即∠ADB=90°,
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∵∠AED+∠ADE+∠BAD=180°,
∴∠ADE=75°,∴∠EDB=15°,故选A.
3.(手拉手模型)(2022山东淄博博山一模)如图,△ABD,△AEC 都是等边三角形,则∠BOC的度数是 (　 )

A.135°　 B.125°　 C.120°　 D.110°
C
解析　∵△ABD,△AEC都是等边三角形,∴AD=AB,AE=AC, ∠DAB=∠CAE=∠ADB=∠DBA=60°,∴∠DAB+∠BAC=
∠CAE+∠BAC,∴∠DAC=∠BAE,∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴∠ADC=∠ABE,
∴∠BOC=∠BDO+∠DBA+∠ABE=∠BDO+∠DBA+∠ADC=
∠ADB+∠DBA=60°+60°=120°,
∴∠BOC的度数是120°,故选C.
4.(2024河南商丘夏邑期末)如图,在等边三角形ABC中,D是 BC边上一点,以AD为边作等腰三角形ADE,使AE=AD,∠DAE =80°,DE交AC于点F,∠BAD=15°.
(1)求∠CAE的度数.
(2)求∠FDC的度数.

解析 (1)∵三角形ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠B=60°,
∵∠BAD=15°,∴∠DAC=60°-15°=45°,
∵∠DAE=80°,∴∠CAE=80°-45°=35°.
(2)∵∠DAE=80°,AD=AE,
∴∠ADE= ×(180°-80°)=50°,
∵∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75°,
∴∠FDC=∠ADC-∠ADE=75°-50°=25°.
5.如图,等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点, 且CE=CD,DF⊥BE,垂足是F,求证:BF=EF.

证明　∵在等边△ABC中,D是AC的中点,
∴∠DBC= ∠ABC= ×60°=30°,∠ACB=60°,
∵CE=CD,∴∠CDE=∠E,
∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E=30°,
∴∠DBC=∠E=30°,
∴BD=ED,∴△BDE为等腰三角形,
又∵DF⊥BE,∴F是BE的中点,即BF=EF.
知识点4　等边三角形的判定定理
6.(2024山东泰安岱岳期中)①若AB=BC=CA,则△ABC为等边 三角形;②若∠A=∠B=∠C,则△ABC为等边三角形;③有两 个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的
等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有 (　 )
A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个
D
解析　①由等边三角形的定义可知△ABC为等边三角形,故 ①结论正确;②∵∠A=∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A= ∠B=∠C=60°,∴△ABC为等边三角形,故②结论正确;③∵一 个三角形中有两个角都是60°,∴可根据三角形内角和定理 得第三个角也是60°,∴这个三角形为等边三角形,故③结论 正确;④根据等边三角形的判定定理可得这个三角形为等边 三角形,故④结论正确.故选D.
7.(2023山东淄博期末)如图,D是等边△ABC的边AC上的一 点,E是等边△ABC外一点,若BD=CE,∠1=∠2,则△ADE是
(　 )

A.等腰三角形　 B.直角三角形
C.等边三角形　 D.不等边三角形
C
解析　∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=60°,
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴△ADE是等边三角形.故选C.
8.(新考向·尺规作图)(2024吉林松原模拟)如图,在△ABC中, 以点A为圆心,AC的长为半径作弧,交BC于点E,分别以点E和 点C为圆心、大于 EC的长为半径作弧,两弧相交于点P,作
射线AP交BC于点D.若∠B=45°,∠C=2∠CAD,则∠BAE的度 数为(　 )
A.15°　 B.25°　
C.30°　 D.35°
A
解析　由题意可知,AP垂直平分EC,∴AD⊥BC,DE=CD,
∴∠ADC=∠ADE=90°,又∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC(SAS),
∴∠EAD=∠CAD,∠C=∠AED,∴∠EAC=2∠CAD,
∵∠C=2∠CAD,∴∠C=∠EAC=∠AED,
∴△AEC是等边三角形,∴∠C=∠EAC=∠AED=60°,
∵∠B=45°,∠C=60°,∴∠BAC=180°-45°-60°=75°,
∴∠BAE=75°-60°=15°.故选A.
9.(2023山东淄博桓台期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=
120°,AD⊥AB交BC于点D,AE⊥AC交BC于点E.求证:△ADE
是等边三角形.

证明　∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,
∵AD⊥AB,AE⊥AC,∴∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠ADB=∠AEC=60°,
∴∠EAD=180°-60°-60°=60°,
∴△ADE是等边三角形.
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AF平分∠CAB,交CD于E,交BC于F,若AF=BF,求证:△CEF是等边三角形.

证明　如图,

∵AF平分∠BAC,∴∠CAB=2∠1=2∠2,
∵AF=BF,∴∠2=∠B,
∵∠ACB=90°,∴∠B+∠CAB=90°,
即∠B+2∠1=∠B+2∠2=90°,
∴∠B=∠1=∠2=30°,
∵∠4是△ABF的外角,∴∠4=∠2+∠B=60°,
∵CD⊥AB,∴∠2+∠3=90°,∴∠3=60°,
∵∠5=∠3,∴∠4=∠5=60°,
∴△CEF是等边三角形.
能力提升练
11.(2024山东泰安中考,5,★☆☆)如图,直线l∥m,等边三角形 ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则
∠ACD的度数是(　 )

A.45°　 B.39°　 C.29°　 D.21°
B
解析　如图,过点A作AF∥l,
∵l∥m,∴AF∥m,
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,
∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°,
∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°,故选B.
12.(2023山东滨州中考,8,★★★)已知点P是等边△ABC的边 BC上的一点,若∠APC=104°,则在以线段AP,BP,CP为边
的三角形中,最小内角的大小为 (　 )
A.14°　 B.16°　 C.24°　 D.26°
B
解析　如图,

过点P作PE∥AC交AB于点E,
∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=∠BAC=60°,AB=BC,
∵PE∥AC,∴∠BEP=∠BAC=60°,∠BPE=∠C=60°,
∴△BEP为等边三角形,∴BP=EP=BE,
又∵AB=BC,∴AE=CP,
∴△AEP就是以线段AP,BP,CP的长为三边长的三角形,
∵∠APC=104°,∴∠APB=180°-∠APC=76°,
∴∠APE=∠APB-∠BPE=16°,
∠PAE=∠APC-∠B=44°,
∠AEP=180°-∠BEP=120°,
∴以线段AP,BP,CP为边的三角形的三个内角度数分别为
16°,44°,120°,∴最小内角的大小为16°.
故选B.
13.(2024山东青岛莱西期中,14,★☆☆)如图,在等边三角形 ABC中,AB=2,BD是AC边上的高,延长BC至点E,使CE=CD,
则BE的长为　　　 .
3
解析　∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC=AB=2,
∵BD是AC边上的高,∴D为AC的中点,
∴AD=CD= AC,
∵CE=CD,∴CE= AC=1,∴BE=BC+CE=2+1=3.故答案为3.
14.(2023山东淄博张店二模,17,★★☆)如图,在等边△ABC 中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF ⊥DE,交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数.
(2)求证:DC=CF.

解析 (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,
∵DE∥AB,∴∠B=∠EDC=60°,
∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,
∴∠F=90°-∠EDF=90°-60°=30°.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,
∴∠EDC=∠ECD=60°,
∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD,
∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,
∴∠CEF=∠F=30°,∴EC=CF,∴DC=CF.
15.(2024山东东营胜利一中期中,26,★★☆)如图,△ABC是等 边三角形.
(1)如图①,DE∥BC分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等 边三角形.
(2)如图②,△ADE是等边三角形,点B在ED的延长线上,连接 CE,求证:BD=CE.

证明 (1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,
∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B=60°,
∴△ADE是等边三角形.
(2)∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴BD=CE.(共35张PPT)
5　角平分线
第十章　三角形的有关证明
知识点1　角平分线的性质定理
基础过关练
1.(2024青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB, PD=2,则点P到OA的距离是(　 )
A.4　 B.3
C.2　 D.1
C
解析　如图,过P作PE⊥AO于E,

∵OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,
∴PE=PD=2,
∴点P到OA的距离是2.故选C.
方法归纳
解决有关角平分线的问题时,常见的辅助线是过角平分线上
的点作角两边的垂线.
2.(2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB, 垂足为E.若AC=2,DE=1,则S△ACD=　　　 .
1
解析　过D点作DH⊥AC于H,如图,

∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DE=DH=1,∴S△ACD= ×
2×1=1.
3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条 角平分线将△ABC分为三个三角形,则 ∶ ∶ =
　　　 .
2∶3∶4
解析　如图,过点O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,

则OE=OF=OD,∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO= AB·OE∶ BC·OF∶
AC·OD=AB∶BC∶AC=2∶3∶4.
4.(新独家原创)已知∠C=∠D=90°,AP平分∠BAD,BP平分
∠ABC,AD=3 cm,AP=5 cm,则CP的长为　　　 .

4 cm
解析　如图,
过点P作PM⊥AB,
垂足为M,
∵∠C=∠D=90°,∴AD⊥CD,CD⊥BC,
在Rt△ADP中,AD=3 cm,AP=5 cm,∴DP= =4 cm,
∵AP平分∠BAD,BP平分∠ABC,PM⊥AB,∴PD=PM,CP=PM,
∴DP=MP=CP=4 cm.
5.(截长补短法)(一题多解)已知△ABC是等腰直角三角形,AB 是其斜边,AD平分∠BAC交BC于D,求证:AC+CD=AB.
证明　【证法一】如图1,过点D作DE⊥AB于E,
∵△ABC是等腰直角三角形,AB是斜边,
∴∠B=45°,∠C=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形,∴BE=DE,
∵AD平分∠BAC,CD⊥AC,DE⊥AB,
∴CD=DE,∴CD=BE.
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,
∵AE+BE=AB,∴AC+CD=AB.

【证法二】如图2,延长线段AC到E,使CE=CD,连接DE,
∵CE=CD,∴∠E=∠EDC,
∵∠ACB=90°,∠E+∠EDC=∠ACB,
∴∠E=∠EDC=45°,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=45°,∴∠B=∠E,
∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠BAD,
在△EAD和△BAD中,
∴△EAD≌△BAD(AAS),∴AE=AB,
∵AE=AC+CE=AC+CD,∴AC+CD=AB.
知识点2　角平分线的判定定理
6.(一题多解)如图,DB⊥AB于B,DC⊥AC于C,BD=DC,∠BAC=
80°,则∠BAD的度数为 (　 )

A.10°　 B.40°　 C.30°　 D.20°
B
解析　【解法一】角平分线法:∵DB⊥AB,DC⊥AC,且BD= DC,∴AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×80°=40°.故选B.
【解法二】全等三角形法:∵DB⊥AB,DC⊥AC,
∴∠B=∠C=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,
∵∠BAC=80°,∴∠BAD=40°.故选B.
7.(2023陕西咸阳武功期中)如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别 为N,M,OM=ON,BM与AN相交于点P,连接OP.求证:点P在
∠AOB的平分线上.

证明　∵AN⊥OB,BM⊥OA,
∴∠ANO=∠BMO=90°,
在Rt△ONP和Rt△OMP中,
∴Rt△ONP≌Rt△OMP(HL),∴PN=PM,
∴OP平分∠AOB,即点P在∠AOB的平分线上.
知识点3　三角形三个内角的平分线的性质
8.(2023山东临沂一模)如图,点P是△ABC内部一点,点P到三 边AB,AC,BC的距离相等,即PD=PE=PF,若∠BPC=130°,
则∠BAC的度数为 (　 )

A.65°　 B.80°　 C.100°　 D.70°
B
解析 由题意可知,BP,CP分别是∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,
∵∠BPC=130°,∴∠PBC+∠PCB=50°,
∴∠ABC+∠ACB=2∠PBC+2∠PCB=2(∠PBC+∠PCB)=100°,
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-100°=80°.故选B.
9.(新考向·尺规作图)(2023山东济南长清二模,9,★★☆)如图, 在△ABC中,∠C=90°,以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交 AC,AB于点M,N,再分别以M,N为圆心,大于 MN的长为半径
画弧,两弧交于点O,作射线AO,交BC于点E.已知CE=3,BE=5, 则AC的长为 (　 )

A.8　 B.7　
C.6　 D.5
C
能力提升练
解析　过点E作ED⊥AB于点D(图略),
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线,
∵EC⊥AC,ED⊥AB,∴EC=ED=3,
在Rt△ACE和Rt△ADE中,
∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),∴AC=AD,
∵在Rt△EDB中,DE=3,BE=5,∴BD=4,
设AC=x,则AB=4+x,∵在Rt△ACB中,AC2+BC2=AB2,
∴x2+82=(x+4)2,解得x=6,即AC的长为6.故选C.
10.(一题多解)(2022黑龙江牡丹江中考,17,★★☆)在Rt△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,AC=6,BC=8,则CD=　　 .
3
解析　如图,过点D作DE⊥AB于E,

【解法一】∵∠C=90°,AC=6,BC=8,
∴AB= = =10,
∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE.
∵S△ACD+S△ABD=S△ABC,∴ AC·CD+ AB·DE= AC·BC,即 ×6CD
+ ×10CD= ×6×8,
解得CD=3.
【解法二】由解法一知CD=DE,AB=10,
在Rt△ACD和Rt△AED中,
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AE=AC=6,
∴BE=AB-AE=10-6=4,
设CD=DE=x,则BD=8-x,
在Rt△BDE中,DE2+BE2=BD2,
即x2+42=(8-x)2,解得x=3,故CD的长为3.
11.(2023广东广州中考,15,★★☆)如图,已知AD是△ABC的 角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AE=12,DF=5, 则点E到直线AD的距离为　　　 .

解析　如图,过E作EH⊥AD于H,

∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF=5,
∵AE=12,∴AD= =13,
∵△ADE的面积= AD·EH= AE·DE,∴13EH=12×5,∴EH= ,
∴点E到直线AD的距离为 .
12.(2024山东青岛市南二模,17,★★☆)电信部门要修建一座 电视信号发射塔,如图,按照设计要求,发射塔到两个城镇A,B 的距离必须相等,到两条高速公路OM,ON的距离也必须相 等,则发射塔P应修建在什么位置 (尺规作图,保留作图痕迹)

解析　如图,连接AB,作AB的垂直平分线与∠MON或∠QON 的平分线,交点P1,P2即为所求发射塔P的位置.

13.(2024山东临沂临沭月考,26,★★☆)如图,OC是∠AOB的 平分线,P是OC上一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,点 F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证:DF=EF.

证明　∵OP是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE,
在Rt△OPD和Rt△OPE中,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL),∴OD=OE,
∵OC是∠AOB的平分线,∴∠DOF=∠EOF,
在△ODF和△OEF中,
∴△ODF≌△OEF(SAS),∴DF=EF.
素养探究练
14.(推理能力)如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的 垂直平分线于点P,PD⊥BA交BA的延长线于点D,PE⊥AC于 点E.
(1)求证:BD=CE.
(2)若AB=6 cm,AC=12 cm,求AD的长.
解析 (1)证明:连接PB,PC,如图,

∵PQ垂直平分BC,∴PB=PC,
∵AP平分∠DAC,PD⊥AB,PE⊥AC,∴PD=PE.
在Rt△BPD和Rt△CPE中,
∴Rt△BPD≌Rt△CPE(HL),∴BD=CE.
(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,
∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,
∵BD=CE,∴AD+AB=AC-AE,
∴AD+6=12-AD,∴AD=3 cm.(共33张PPT)
3　直角三角形
第2课时　HL定理
第十章　三角形的有关证明
知识点4　“斜边、直角边”(或“HL”)
基础过关练
1.(易错题)(2022山东菏泽单县期末)如图,已知AB=DC,BE⊥ AD于点E,CF⊥AD于点F,添加下列条件中的一个,就可以判 定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (　 )
①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;
④AF=DE.
A.①②　 B.①②③ C.①③④　 D.①②③④
D
解析　∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠AEB=∠CFD=90°,又∵AB= DC,∴添加①,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加②, 可得∠A=∠D,可利用AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加③, 可利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF;添加④,可得AE=DF,可 利用HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF.故选D.
2.(2024陕西咸阳秦都月考)如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别 为C,D,要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等,则还需 要添加的一个条件是 (　 )

A.∠CAB=∠DBA　 B.AC=BD
C.AB=BD　 D.∠ABC=∠BAD
B
解析　由题意知公共边为斜边AB,要根据“HL”证明
Rt△ABC与Rt△BAD全等,只要找到对应的直角边相等
即可,故B正确.
3.(2023吉林长春榆树期末)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,
AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,连接AE.若∠B=28°,则∠AEC =(　 )

A.28°　 B.59°　 C.60°　 D.62°
B
解析　在Rt△CAE和Rt△DAE中,AE=AE,AC=AD,
∴Rt△CAE≌Rt△DAE(HL),∴∠CAE=∠DAE= ∠CAB,
∵∠B+∠CAB=90°,∠B=28°,
∴∠CAB=90°-28°=62°,
∴∠AEC=90°- ∠CAB=90°-31°=59°.故选B.
4.(2023山东枣庄薛城月考)如图,AC=BC,AE⊥CD于点E,AE= CD,BD⊥CD于点D,AE=7,BD=2,则DE的长是(　 )

A.2　 B.5　 C.7　 D.9
B
解析　∵AE⊥CD于点E,BD⊥CD于点D,
∴∠AEC=∠D=90°,
在Rt△AEC与Rt△CDB中,
∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL),∴CE=BD=2,
∵AE=7,AE=CD,∴CD=7,
∴DE=CD-CE=7-2=5.故选B.
5.(易错题)(2022上海徐汇校级期末)如图,△ABC中,AB=AC, BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点O,连接AO并 延长,交BC于点F,则图中全等的直角三角形有　　　 对.
6
解析　∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=90°,
又∵AC=AB,∠CAE=∠BAD,
∴△AEC≌△ADB(AAS),∴CE=BD,
∵AC=AB,∴∠CBE=∠BCD,
又∵∠BEC=∠CDB=90°,
∴△BCE≌△CBD(AAS).
∴BE=CD,∴AD=AE,
又∵AO=AO,∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL),
∴∠OAD=∠OAE,
∵∠DOC=∠EOB,∠ODC=∠OEB,CD=BE,
∴△COD≌△BOE(AAS),∴OB=OC,
∵AB=AC,∠OAD=∠OAE,
∴CF=BF,AF⊥BC.
又∵OF=OF,AF=AF,
∴△ACF≌△ABF(SSS),△COF≌△BOF(SSS).
综上所述,共有6对全等的直角三角形.
易错警示
本题容易出现的错误是找不全全等直角三角形.
6.如图,∠A=∠B=90°,E是AB上的一点,且AE=BC,∠1=∠2,求 证:Rt△ADE≌Rt△BEC.

证明　∵∠A=∠B=90°,
∴△ADE和△BEC均为直角三角形,
∵∠1=∠2,∴DE=EC,
在Rt△ADE和Rt△BEC中,
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
7.(2023山东菏泽鄄城期末)如图,在△ABC中,AB=AC,D为AB 边的中点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,DE=DF.求证:
△ABC是等边三角形.

证明　∵D为AB的中点,∴AD=BD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠AED=∠BFD=90°.
在Rt△ADE和Rt△BDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△BDF(HL),
∴∠A=∠B,∴CA=CB,
∵AB=AC,∴AB=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形.
能力提升练
8.(2024山东济南历城期末,6,★☆☆)如图,在△ABC中,∠ACB=
90°,AE平分∠BAC交BC于点E,ED⊥AB于点D,若AC=3, BC=4,则△EBD的周长等于(　 )

A.6　 B.8　 C.9　 D.5
A
解析　∵AE平分∠BAC,CE⊥AC,ED⊥AB,∴CE=DE,
又∵AE=AE,∴Rt△ACE≌Rt△ADE(HL),
∴AD=AC=3,
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB= = =5,
∴BD=AB-AD=5-3=2,
∴△EBD的周长等于BD+DE+BE=BD+CE+BE=BD+BC=2+4 =6,故选A.
9.(2022湖南株洲中考,15,★★☆)如图所示,点O在一块直角 三角尺ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于 点N,若OM=ON,则∠ABO=　　　 度.
15
解析 ∵OM⊥AB,ON⊥BC,∴∠OMB=∠ONB=90°,
在Rt△OMB和Rt△ONB中,
∴Rt△OMB≌Rt△ONB(HL),∴∠OBM=∠OBN,
又∵∠ABC=30°,∴∠ABO=15°.
10.(2024山东枣庄月考,14,★★☆)如图,在四边形ABCD中, AD⊥DC,连接AC,点E为AC上一点,连接BE,BE⊥AC且AD= BE,AC=BC.若AE=2,CD=8,则AC的长为　　　 .
10
解析　在Rt△BEC和Rt△ADC中,
∴Rt△BEC≌Rt△ADC(HL),∴CE=CD=8,
∵AE=2,∴AC=EC+AE=10.故答案为10.
11.(2024山东菏泽定陶期末,21,★★☆)如图,AB=BC,∠BAD= ∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F, AE=CF,求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.

证明　如图,连接BD,

在Rt△ABD和Rt△CBD中,

∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),
∴AD=CD,
∵AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,∴∠E=∠F=90°,
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
12.(一题多解)(2022山东德州德城月考,24,★★☆)如图,AC ⊥BC,AD⊥BD,AD=BC.CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别是E,F,那 么CE=DF吗

解析 CE=DF.理由如下:
【解法一】三角形全等法:在Rt△ABC和Rt△BAD中, ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴AC=BD,∠CAB=∠DBA.
在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS),∴CE=DF.
【解法二】面积法:同【解法一】可证Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL),∴S△ABC=S△ABD,
∴ AB·CE= AB·DF,∴CE=DF.
素养探究练
13.(推理能力)(新考向·阅读理解试题)(2023山东枣庄滕州校 级月考)数形结合思想是解决数学问题的一种重要的思想方 法,借助这种方法可将抽象的数学问题变直观,从而可以帮助 我们快速解题,初中数学里的一些代数公式可以通过表示几 何图形面积进行直观推导和解释.
(1)图1是一个重要公式的几何解释,请你写出这个公式.
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以
Rt△ABC的三边为边向外作的正方形的面积分别为S1,S2,S3,
试猜想S1,S2,S3之间存在的等量关系,直接写出结论.
(3)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,分别 以Rt△ABC的各边为直径向外作半圆,S1,S2,S3分别表示所作 半圆的面积,那么(2)中的结论是否仍成立 请说明理由.
(4)如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以Rt△ABC的三边为直径向上作半圆,求图4中阴影部分的面积.
　
　
解析 (1)(a+b)2=a2+2ab+b2.
(2)S1+S2=S3.
(3)成立.理由如下:
由题可知S2= π = ,S3= π = ,
S1= π = ,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,
∴a2+b2=c2,∴ + = = ,
∴S1+S2=S3.
(4)根据(3)的结论可知,两个以直角边为直径的半圆面积和等 于以斜边为直径的半圆面积,
∴阴影部分的面积=直角三角形ABC的面积,
∴阴影部分的面积=5×12÷2=30.(共49张PPT)
3　直角三角形
第1课时　勾股定理及其逆定理
第十章　三角形的有关证明
知识点1　勾股定理
基础过关练
1.(2024广东汕头金平期末)若一个直角三角形的两直角边长 分别是5和12,则其斜边长为(　 )
A.13　 B.
C.7或17　 D.13或
A
解析　斜边长= =13,故选A.
2.(2023河南商丘期中)如图,∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长为(　 )

A.4　 B.5　 C.8　 D.10
A
解析　∵∠ACD=90°,AD=13,CD=12,
∴AC= = =5,
∵∠B=90°,BC=3,
∴AB= = =4.
3.(易错题)(2023山东淄博临淄期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶 点C的坐标为(　 )
A.(0,1)　 B.(0, )或(0,- )
C.(0, )　 D.(0,1)或(0,-1)
B
解析　∵等边△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),
∴AB=AC=2,OA=1,
易知点C在y轴上,∴OC= = ,
∴点C的坐标为(0, )或(0,- ).故选B.
4.(分类讨论思想)(2023新疆乌鲁木齐期末)在△ABC中,AB=15,
AC=13,BC边上的高AD=12,则BC=(　 )
A.14　 B.4　 C.14或4　 D.9或5
C
解析　分两种情况讨论:①当∠ACB<90°时,如图1,
在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,
由勾股定理得BD2=AB2-AD2=152-122=81,∴BD=9,
在Rt△ACD中,AC=13,AD=12,
由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25,
∴CD=5,
∴BC=BD+DC=9+5=14.
　
②当∠ACB>90°时,如图2,在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,
由勾股定理得BD2=AB2-AD2=152-122=81,∴BD=9,
在Rt△ACD中,AC=13,AD=12,
由勾股定理得CD2=AC2-AD2=132-122=25,∴CD=5,
∴BC=BD-DC=9-5=4.故选C.
5.(跨语文·作品赏析)(2024四川广安邻水期末)《醉翁亭记》 中写道:“宴酣之乐,非丝非竹,射者中,弈者胜……”其中 “射”指的是投壶,投壶是宴饮时的一种游戏.现有一圆柱形 投壶,内部底面直径是5 cm,内壁高12 cm,若箭长18 cm,则箭 在投壶外面部分的长度不可能是 (　 )
A.4.5 cm　 B.5 cm　 C.5.5 cm　 D.6 cm
A
解析　由题意可得,箭在投壶外面部分的最大长度为18-12= 6 cm,最小长度为18- =5 cm,
结合选项可知箭在投壶外面部分的长度不可能是4.5 cm,故 选A.
6.(新独家原创)如图所示,在四边形ABCD中,AD=48,AB=52, BC=21,∠ADB=90°,AD∥BC,则DC的长为　　　 .
29
解析　∵∠ADB=90°,∴BD= = =20,
∵AD∥BC,∴∠DBC=∠ADB=90°,∴DC= =
=29.
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,DC=3,点D在BC边上,
∠BAD=∠B,求AB的长.

解析　∵∠BAD=∠B,∴AD=BD,
∵∠C=90°,AC=4,DC=3,
∴AD= = =5,
∴BD=5,∴BC=8,
∴AB= = = .
8.(方程思想)(2023山东临沂沂水期中)如图,在△ABC中,∠ACB=
90°,以B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D,以A为
圆心,AD的长为半径画弧,交线段AC于点E,连接CD.
(1)若∠A=25°,求∠ACD的度数.
(2)若BC=4,CE=3,求AD的长.

解析 (1)根据作图过程可知BD=BC.
∵∠ACB=90°,∠A=25°,∴∠B=65°.
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC= =57.5°,
∴∠ACD=90°-∠BCD=90°-57.5°=32.5°.
(2)根据作图过程可知AD=AE,BD=BC=4,
∴AC=AE+CE=AD+3,AB=AD+4.
在Rt△ACB中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,
即(AD+4)2=(AD+3)2+42,解得AD=4.5.
9.(方程思想)某“飞越丛林”俱乐部打造的一款项目的示意 图如图所示,BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打 造,两段的总长度为26 m,长方形CDEF为一木质平台的横截 面.经测量,CD=1 m,AD=15 m,请求出AB段的长度.

解析　如图,延长FC交AB于点G,
则CG⊥AB,AG=CD=1 m,GC=AD=15 m,
设BG=x m,则BC=26-1-x=(25-x)m,
在Rt△BGC中,∵BG2+CG2=CB2,
∴x2+152=(25-x)2,解得x=8,
∴AB=BG+GA=8+1=9(m),
∴AB段的长度为9 m.
知识点2　勾股定理的逆定理
10.(2024广东河源紫金月考)下列长度的四组线段能组成直 角三角形的是 (　 )
A.6,8,9　 B.5,12,13 C.6,9,12　 D.3,4,6
B
解析 A.因为62+82=100≠92,所以长度为6,8,9的线段不能组 成直角三角形;B.因为52+122=169=132,所以长度为5,12,13的 线段能组成直角三角形;C.因为62+92=117≠122,所以长度为6, 9,12的线段不能组成直角三角形;D.因为32+42=25≠62,所以长 度为3,4,6的线段不能组成直角三角形.故选B.
11.(2023山东德州庆云期中)如图,在四边形ABCD中,AB=AD =5,∠A=60°,BC=13,CD=12,则∠ADC的度数为　　　 .
150°
解析　如图,

连接BD,
∵AB=AD=5,∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴BD=5,∠ADB=60°,
∵BC=13,CD=12,
∴BD2+CD2=52+122=169,BC2=132=169,
∴BD2+CD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+90°=150°.
故答案为150°.
12.(2023重庆渝北期末)如图,在△ABC中,BC=8,∠A=45°,点D 是AC边上一点,连接BD,若CD=6,BD=10,则AD=　　　 .
2
解析　在△BCD中,CD=6,BD=10,BC=8,
∴BC2+CD2=82+62=100,BD2=102=100,
∴BC2+CD2=BD2,
∴△BCD是直角三角形,且∠C=90°,
∵∠A=45°,∴∠ABC=90°-∠A=45°,
∴∠ABC=∠A=45°,∴AC=BC=8,
∴AD=AC-CD=8-6=2.故答案为2.
13.(2024湖南长沙望城期末节选)如图,在平面直角坐标系中, 每个小正方形的边长均为1.
(1)求四边形ABCD的面积.
(2)证明∠BCD为直角.

解析 (1)四边形ABCD的面积=5×5- ×5×1- ×2×4- ×1×2- ×4×1-1=14.5.
(2)证明:如图,连接BD,

∵BC2=42+22=20,CD2=22+12=5,BD2=42+32=25,
∴BC2+CD2=BD2,∴∠BCD=90°.故∠BCD为直角.
知识点3　互逆命题与互逆定理
14.下列命题是定理且有逆定理的是(　 )
A.对顶角相等
B.若两个数相等,则这两个数的绝对值也相等
C.两直线平行,同旁内角互补
D.如果a=b,那么a2=b2
C
解析 A项,逆命题为相等的角为对顶角,错误,逆命题为假命 题;B项,逆命题为绝对值相等的两个数相等,错误,逆命题为 假命题;C项,逆命题为同旁内角互补,两直线平行,是平行线 的判定定理,正确,且原命题为平行线的性质定理;D项,逆命 题为如果a2=b2,那么a=b,错误,逆命题为假命题.故选C.
15.写出下列命题的逆命题,并判断每对互逆命题的真假.
(1)不是对顶角的两个角不相等.
(2)内错角相等.
(3)互为相反数的两个数的和为零.
解析 (1)不是对顶角的两个角不相等,此命题是假命题,它 的逆命题是不相等的两个角不是对顶角,此逆命题为真命题.
(2)内错角相等,此命题为假命题,它的逆命题为相等的角为 内错角,此逆命题为假命题.
(3)互为相反数的两个数的和为零,此命题为真命题,它的逆 命题为和为零的两个数互为相反数,此逆命题为真命题.
能力提升练
16.(情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏南京中考,5,★★☆)
我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有这样一 道问题:“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四 里,大斜一十五里.里法三百步,欲知为田几何 ”问题大意:如 图,在△ABC中,AB=13里,BC=14里,AC=15里,则△ABC的面积 是 (　 )
C
A.80平方里　 B.82平方里
C.84平方里　 D.86平方里
解析　如图,过点A作AD⊥BC于D,

设BD=x里,则CD=(14-x)里,
在Rt△ABD中,AD2=132-x2,
在Rt△ADC中,AD2=152-(14-x)2,
∴132-x2=152-(14-x)2,
解得x=5,在Rt△ABD中,AD= =12(里),∴△ABC的面
积= BC·AD= ×14×12=84(平方里),故选C.
17.(2023山东济宁中考,9,★★☆)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则∠ABE等于 (　 )

A.180°-α　 B.180°-2α
C.90°+α　 D.90°+2α
C
解析　如图,

过B点作BG∥CD交网格线于点G,连接EG,
∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.
∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,
∴BG2+BE2=EG2,
∴△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠GBE+∠ABG=90°+α.故选C.
18.(2022浙江湖州中考,12,★☆☆)命题“如果|a|=|b|,那么a=
b”的逆命题是　　　 .
如果a=b,那么|a|=|b|
解析　把命题的条件和结论互换就得到原命题的逆命题,故 答案为如果a=b,那么|a|=|b|.
19.(2023山东东营中考,15,★★☆)某海监局巡航员驾驶一艘 船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西 30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　　　
km.
50
解析　如图,

由题意得∠DAB=60°,∠FBC=30°,AD∥EF,
∴∠DAB=∠ABE=60°,
∴∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=90°,
在Rt△ABC中,AB=30 km,BC=40 km,
由勾股定理可得AC= = =50(km),
∴A,C两港之间的距离为50 km.故答案为50.
20.(2024陕西中考,13,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,E是 边AB上一点,连接CE,在BC的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接 CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为　　　 .

60
解析　∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,
∴∠ABC=∠CBF,∴BC平分∠ABF.
过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,如图,

则CM=CN,
∵S△ACE= AE·CM,
S△CBF= BF·CN,且BF=AE,
∴S△ACE=S△CBF,
∴四边形EBFC的面积=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA,
∵AC=13,∴AB=13.
设AM=x,则BM=13-x,
由勾股定理,得CM2=AC2-AM2=BC2-BM2.
∴132-x2=102-(13-x)2,解得x= ,
∴CM= = .
∴S△CBA= AB·CM=60,
∴四边形EBFC的面积为60,故答案为60.
21.(2024山东菏泽单县期末,21,★★☆)如图,在△ABC中,点D 是BC边的中点,DE⊥BC交AB于点E,且BE2-EA2=AC2.
(1)求证:∠A=90°.
(2)若AC=6,BD=5,求AE的长度.

解析 (1)证明:连接CE,

∵点D是BC的中点,DE⊥BC,∴CE=BE,
∵BE2-EA2=AC2,
∴CE2-EA2=AC2,
∴EA2+AC2=CE2,∴△ACE是直角三角形,且∠A=90°.
(2)∵点D是BC的中点,BD=5,∴BC=2BD=10,
∵∠A=90°,AC=6,∴AB= = =8,
∵EA2+AC2=CE2,CE=BE,
∴62+AE2=(8-AE)2,解得AE= .
∴AE的长为 .(共37张PPT)
1　全等三角形
第十章　三角形的有关证明
知识点1　全等三角形的判定
基础过关练
1.(2023山东日照东港期末)如图所示,给出的四组条件中,能 证明△ABC≌△DEF的有 (　 )
①AB=DE,BC=EF,AC=DF;
②AB=DE,∠B=∠E,BC=EF;
③∠B=∠E,BC=EF,∠C=∠F; ④AB=DE,AC=DF,∠B=∠E.
A.1组　 B.2组　 C.3组　 D.4组
C
解析　①满足SSS,能证明△ABC≌△DEF;②满足SAS,能证 明△ABC≌△DEF;③满足ASA,能证明△ABC≌△DEF;④不 能证明△ABC≌△DEF.所以有3组能证明△ABC≌△DEF. 故选C.
2.如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件后,不能使△ABC ≌△DCB的是 (　 )

A.AC=DB　 B.AB=DC
C.∠A=∠D　 D.∠1=∠2
A
解析 A.添加“AC=DB”后不能判定△ABC≌△DCB;B.添 加“AB=DC”后可根据SAS判定△ABC≌△DCB;C.添加 “∠A=∠D”后可根据AAS判定△ABC≌△DCB;D.添加 “∠1=∠2”后可根据ASA判定△ABC≌△DCB.故选A.
3.(2024山东济宁微山二模)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC 上,连接BE,CD.请你添加一个条件:　 　　 ,使△ABE≌△ACD.

　∠B=∠C(答案不唯一)
解析　添加∠B=∠C时,
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(ASA),
故答案为∠B=∠C(答案不唯一).
4.(2024山东淄博沂源二模)如图,点E在△ABC的外部,点D在 BC上,DE交AC于点F,∠1=∠2=∠3,AB=AD.求证:△ABC≌
△ADE.

证明　∵∠1=∠2,
∴∠1+∠DAF=∠2+∠DAF,∴∠BAC=∠DAE,
∵∠AFE=∠CFD,∠2=∠3,∠C=180°-∠3-∠DFC,
∠E=180°-∠2-∠AFE,∴∠C=∠E,
在△ABC与△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
5.(2024四川泸州江阳三模)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.求证:△ADE≌△BCF.

证明　在△ACE和△BDF中,
∴△ACE≌△BDF(AAS),∴AC=BD,
∴AC+CD=BD+CD,∴AD=BC,
在△ADE和△BCF中,
∴△ADE≌△BCF(SAS).
知识点2　全等三角形的性质
6.(教材变式·P94习题T2)如图,若AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,
∠D=80°,则∠BCA的度数为 (　 )

A.25°　 B.50°　 C.65°　 D.75°
D
解析　在△ABC与△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(SAS),∴∠B=∠D=80°,
∴∠BCA=180°-25°-80°=75°.故选D.
7.如图,E是△ABC的边AC的中点,过点C作CF∥AB,连接FE 并延长,交AB于D,若AB=9,CF=6.5,则BD的长为(　 )

A.1　 B.2　 C.2.5　 D.3
C
解析　如图,

∵CF∥AB,
∴∠1=∠F,∠2=∠A,
∵点E为AC的中点,
∴AE=EC.
在△ADE和△CFE中,
∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF=6.5,
∵AB=9,∴BD=AB-AD=9-6.5=2.5,故选C.
8.(2023陕西中考)如图,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A 作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取 AF=AB,连接DF.求证:DF=CB.

证明　∵在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°,
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°.
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°.
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°,∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中,
∴△DAF≌△CAB(SAS).
∴DF=CB.
能力提升练
9.(新考向·新定义试题)(2024四川遂宁中考,9,★★☆)如图1,△ABC
与△A1B1C1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠∠C1,我们
称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2,在△ABC中,
AB=AC,点D,E在线段BC上,且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形” (　 )
A.1对　 B.2对　 C.3对　 D.4对
D
解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD(SAS),∴AD=AE.
∵AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,
∴△ABD和△ABE是一对“伪全等三角形”.
同理可得,△ABD和△ACD是一对“伪全等三角形”,
△ACD和△ACE是一对“伪全等三角形”,
△ABE和△ACE是一对“伪全等三角形”,
∴题图中的“伪全等三角形”共有4对.故选D.
10.(倍长中线模型)(2023山东济宁梁山三模,8,★★☆)如图, AD是△ABC的中线,E是AD上一点,连接BE并延长交AC于F, 若EF=AF,BE=7.5,CF=6,则EF的长度为 (　 )

A.2.5　 B.2　 C.1.5　 D.1
C
解析　如图,
延长AD到G,使DG=AD,连接BG,
∵AD是△ABC的中线,∴CD=BD,
又∵AD=DG,∠ADC=∠BDG,
∴△ADC≌△GDB(SAS),∴AC=BG=CF+AF=6+AF,∠DAC=
∠G,∵EF=AF,∴∠DAC=∠AEF,∵∠AEF=∠BEG,
∴∠G=∠BEG,∴BE=BG=7.5,∴6+AF=BG=7.5,
∴AF=1.5,∴EF=1.5,故选C.
模型解读
倍长中线模型是全等三角形中的重要模型,通过将三角形的 中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形 的有关知识来解决问题.
11.(等积法)(2024广东广州中考,7,★★☆)如图,在△ABC中, ∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC 上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为 (　 )

A.18　 B.9 　 C.9　 D.6
C
解析　如图,连接AD,

∵∠BAC=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,
∴∠B=∠C=45°,BD=CD,∠BAD=∠CAD=45°,
∴∠BAD=∠B,∴BD=AD,同理DC=AD,
∴AD=BD=CD,
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF(SAS),∴S△ADE=S△CDF,
∵S△ABC= ×6×6=18,
∴四边形AEDF的面积=S△ADC= S△ABC=9,故选C.
12.(2024山东济南莱芜期末,25,★★☆)如图,点M,N分别在△ ABC的两边AB,AC上,D为△ABC外一点,且∠A=80°,∠BDC= 100°,∠MDN=50°,BD=DC.
(1)猜想线段MN,BM,NC之间的数量关系,并证明.
(2)若AB=6,AC=7,求△AMN的周长.

解析 (1)猜想:MN=BM+NC.
证明:延长AB到E,使BE=NC,连接DE,如图所示,

∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°,
∵∠BDC=100°,∴∠DBC+∠DCB=180°-100°=80°,
∴∠ABC+∠ACB+∠DBC+∠DCB=180°,
即∠ABD+∠ACD=180°,
∵∠DBE+∠ABD=180°,∴∠DBE=∠ACD,
在△DBE和△DCN中,
∴△DBE≌△DCN(SAS),
∴DE=DN,∠EDB=∠NDC,
∵∠BDC=100°,∠MDN=50°,
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=50°,
∴∠MDE=∠BDM+∠EDB=∠BDM+∠NDC=50°,
∴∠MDE=∠MDN=50°,
在△MDE和△MDN中,
∴△MDE≌△MDN(SAS),∴ME=MN,
∵ME=BM+BE=BM+NC,∴MN=BM+NC.
(2)由(1)可知MN=BM+NC,∴△AMN的周长为AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=AB+AC,∵AB=6,AC=7,∴AB+AC=13,∴△AMN的周长为13.
素养探究练
13.(推理能力)(2023吉林长春榆树期末)在△ABC中,∠ACB= 90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到如图1所示的位置时,
求证:①△ADC≌△CEB;
②DE=AD+BE.
(2)当直线MN绕点C旋转到如图2所示的位置时,求证:DE=AD -BE.
(3)当直线MN绕点C旋转到如图3所示的位置时,请直接写出 DE,AD,BE之间的等量关系.
解析 (1)证明:①∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠ACB=∠CEB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②由①知△ADC≌△CEB,∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)证明:∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CE-CD=AD-BE.
(3)DE=BE-AD.
详解:∵AD⊥MN,BE⊥MN,
∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ACD=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在△ADC和△CEB中,
∴△ADC≌△CEB(AAS),∴AD=CE,CD=BE,
∴DE=CD-CE=BE-AD.(共30张PPT)
2　等腰三角形
第3课时　含30°角的直角三角形的性质及反证法
第十章　三角形的有关证明
知识点5　含30°角的直角三角形的性质
基础过关练
1.(2024广东清远英德期末)如图所示的是某公园一段索道的 示意图,已知A,B分别为索道的起点和终点,且AB为40米,AC ⊥BC于C,∠BAC=30°,则缆车从A点到B点上升的竖直高度 (BC的长)为 (　 )
A.20米　 B.17.5米　
C.15米　 D.12.5米
A
解析　∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
∵AB=40米,∠BAC=30°,
∴BC= AB= ×40=20(米),故选A.
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠A=30°,
BD=1,则AB的长度是 (　 )
A.8　 B.6　 C.4　 D.2
C
解析　∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°,
∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠BCD=30°.
在Rt△BCD中,∠BCD=30°,BD=1,∴BC=2BD=2.
在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,∴AB=2BC=4.
故选C.
3.(2024重庆大足期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
点D在BC上,AD⊥AC,AD=3 cm,则BC的长为 (　 )
A.3 cm　 B.6 cm　 C.9 cm　 D.12 cm
C
解析　∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C= ×(180°-120°)=30°,
∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,
∴CD=2AD=2×3=6(cm),
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=30°,∴∠B=∠BAD,
∴BD=AD=3 cm,∴BC=CD+BD=6+3=9(cm).
故选C.
4.(2024贵州黔东南州二模)如图,在△ABC中,AB=AC=11,∠BAC=
120°,AD是△ABC的中线,AE平分∠BAD交BD于E,DF∥AB交
AE的延长线于点F,则DF的长为 (　 )
A.4.5　 B.5　 C.5.5　 D.6
C
解析　∵AB=AC,AD是△ABC的中线,
∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,∴∠ADB=90°,
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=60°,
∵AE平分∠BAD,
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB,∴∠F=∠BAE=30°,
∴∠DAF=∠F=30°,∴AD=DF.
在Rt△ABD中,AB=11,∠B=30°,∴AD=5.5,∴DF=5.5,故选C.
5.(情境题·国防教育)某部队正在巡海检查,发现上午8时,一 艘轮船从海岛A出发,以每小时18海里的速度向正北方向航 行,上午10时到达海岛B处,从海岛A,B望灯塔C,测得灯塔C在 海岛A的北偏西15°方向上,灯塔C在海岛B的北偏西30°方向 上,在灯塔C的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方 向继续向前航行,是否会有触礁危险 请说明理由.

解析　会有触礁危险.
理由:如图,
过点C作CE⊥AN于点E.由题意可得AB=2×18
=36(海里),∵∠NBC=∠A+∠ACB,∠NAC=15°,
∠NBC=30°,∴∠ACB=∠NAC=15°.
∴BC=AB=36海里.∵CE⊥AN,∴∠BEC=90°.
∵∠NBC=30°,∴CE= BC=18海里.∵18<20,∴轮船不改变
方向继续向前航行,会有触礁危险.
6.(2024广东揭阳揭西月考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,
AC的垂直平分线EF交AC于点E,交BC于点F.求证:BF=2CF.

证明　连接AF,如图,

∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,
∵EF垂直平分AC,∴CF=AF,∴∠FAC=∠C=30°,
∴∠BAF=∠BAC-∠FAC=90°,
在Rt△ABF中,∠B=30°,∴BF=2AF,∴BF=2CF.
知识点6　反证法
7.(2023湖南衡阳中考)我们可以用以下推理来证明“在一个 三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”.假设三角形中 没有一个内角小于或等于60°,即三个内角都大于60°,则三角 形的三个内角的和大于180°.这与“三角形三个内角的和等 于180°”这个定理矛盾,所以在一个三角形中,至少有一个内 角小于或等于60°.上述推理使用的证明方法是 (　 )
A.反证法　 B.比较法 C.综合法　 D.分析法
A
解析　根据反证法的定义可知,推理使用的证明方法是反证 法.
8.(2023山东潍坊潍城期中)用反证法证明:一个三角形中不 能有两个角是直角.
已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的三个内角.
求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.
证明　假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角,不妨设 ∠A=∠B=90°,∵∠C>0°,
∴∠A+∠B+∠C>180°,
这与“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾,
∴假设不成立,
∴∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角.
能力提升练
9.(情境题·科学研究)(2023贵州中考,7,★☆☆)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所
示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是 (　 )

B
A.4 m　 B.6 m　 C.10 m　 D.12 m
解析　如图,过点A作AD⊥BC于点D,
∵在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=30°,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,
在Rt△ABD中,∠B=30°,
∴AD= AB= ×12=6(m),故选B.
10.(2024山东青岛胶州月考,6,★☆☆)如图,已知∠AOB=60°, 点P在边OA上,OP=10,点M,N在边OB上,PM=PN,若MN=3,则 OM的长是(　 )

A.2　 B.3.5　 C.6　 D.8
B
解析　过点P作PH⊥MN于H,如图,

∵PM=PN,∴MH=NH= MN=1.5,
在Rt△POH中,∵∠POH=60°,∴∠OPH=30°,
∴OH= OP= ×10=5.∴OM=OH-MH=5-1.5=3.5.故选B.
11.(2023山东淄博临淄一模,18,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=
90°,∠A=30°,AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E.
(1)求证:AE=2CE.
(2)连接CD,请判断△BCD的形状,并说明理由.

解析 (1)证明:如图,连接BE,
∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=30°,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°,
在Rt△BCE中,
∵∠CBE=30°,∴BE=2CE,∴AE=2CE.
(2)△BCD是等边三角形.理由如下:
∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,
∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∴BC=BD,
∵∠ABC=60°,∴△BCD是等边三角形.
12.(2024山东济宁金乡期中,19,★★☆)如图,Rt△ACB中,∠ACB=
90°,∠A=30°,∠ABC的平分线BE交AC于点E.点D为AB 上一点,且AD=AC,CD,BE交于点M.
(1)求∠DMB的度数.
(2)若CH⊥BE于点H,AB=16,求MH的长.

解析 (1)∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∵BE是∠ABC的平分线,∴∠ABE=∠CBE=30°,
∵∠A=30°,AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC= ×(180°-30°)=75°.
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°.
(2)∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,
∵CH⊥BE,∠CBE=30°,∴BC=2CH,∴AB=4CH,
∵∠CMH=∠DMB=45°,∴∠HCM=90°-∠CMH=45°,
∴∠CMH=∠HCM,∴CH=MH,∴AB=4MH,
∵AB=16,∴MH= AB=4.
素养探究练
13.(推理能力)(2023湖南岳阳期末)如图,点O是等边△ABC内的
一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC ≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,
并说明理由.
(3)请你探究当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
解析 (1)证明:∵△BOC≌△ADC,∴OC=DC,
∵∠OCD=60°,∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
∵△OCD是等边三角形,∴∠ODC=60°,
∵△BOC≌△ADC,α=150°,∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(3)∵△OCD是等边三角形,∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°
=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,∴∠OAD=180°-
∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,∴α=125°.
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,∴α=140°.
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,∴α=110°.
综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.

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