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2025年高考数学仿真模拟卷（新高考通用）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
3．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．14 B．12 C．16 D．18
5．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （ ）
A．2 B．3 C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
10．在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．写出一个与直线都相切的圆的标准方程 ．
13．若函数有两个零点，则的取值范围是 ．
14．已知函数，，，且在上单调，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足

(1)若，证明：平面
(2)若，且平面与平面的夹角为，求
16．（15分）
已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
17．（15分）
某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：
周次（x） 1 2 3 4 5 6 7
y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3
若．
(1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01）
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）；
(3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望．
参考公式和数据：对于一组数据
，，，，，，，，，．
18．（17分）
已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为．
(1)求抛物线的方程；
(2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、
的斜率之积为常数．
19．（17分）
若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”.
(1)判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由；
(2)若是“平方等差数列”.
（ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立；
（ⅱ）证明：存在正整数，使得.
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 ，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合一元一次不等式及对数不等式可得，，再由集合交集运算即可得解.
【详解】，，
，，
，即．
故选：C
2．函数是（ ）
A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的偶函数
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性定义判断函数奇偶性，再运用周期定义式进行检验即得.
【详解】因为,，所以该函数为奇函数，故C , D 项错误；
因为,显然在上不能恒成立，故A , C项错误；
又，即是的周期，故B项正确.
故选：B.
3．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的模长以及坐标表示，利用投影向量的定义计算即可得结果.
【详解】由可得，
即，所以；
因此在上的投影向量为.
故选：D
4．设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．14 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得.
【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列，
由，得该数列首项为4，公差为2，
所以.
故选：A
5．春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园，假设每个人在进入学校时选择每个检测点的概率相同，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分三种情况讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题知，每个人进入学校时选择每个检测点的概率都相等，
则三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，共有种不同的结果，
若每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等，
则①每个检测点均为一男一女通过，共有
②三个检测点中，一个检测点通过0人，一个检测点通过一男一女，一个检测点通过两男两女，
共有种不同的结果；种不同的结果；
③六人均在同一个检测点通过，共有种不同的结果.
则每个检测点通过的男学生人数与女学生人数均相等的概率为.
故选：C.
6．已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出曲线在点处的切线方程，联立得，使方程无解即可求出实数的范围，再根据充分不必要条件的定义即可确定选项.
【详解】因为，所以，则切线斜率，
故曲线在点处的切线方程为，即，
联立，得，
因为切线与曲线没有公共点，
所以方程没有实数解，
当时，方程有唯一解，不满足题意，
当时，，可得.
综上所述，，
由是的真子集，符合题意.
故选：D.
7．在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正棱台中的直角梯形求得棱台的高，利用勾股定理建立外接球半径的方程，求出半径，从而利用公式计算球表面积.
【详解】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为，因为，，所以，.
过作于，易得，
设该正四棱台外接球的球心为O，则O在直线上，，设，则，
设外接球的半径为R，则 ，即，解得，则，所以外接球的表面积为.
故选：B.
8．已知是双曲线的左焦点，为坐标原点，过点 且斜率为的直线与 的右支交于点，与左支交于点，则 离心率为 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【分析】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，设，利用推出N为的中点，继而可得，结合直线的斜率即可推出，再结合双曲线的定义可得的关系，求得答案.
【详解】设的中点为P，设为双曲线的右焦点，连接，
因为，故，设，
则，而P为的中点，则，
故，即N为的中点，
而O是的中点，故是的中位线，则，
又，故，则为等腰三角形，即得，（c为双曲线的半焦距）；
又直线的斜率为，即，则。（为锐角），
在中，，故，即，
则，
由双曲线定义知，即得，即，
故，即双曲线E的离心率为3，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用直线的斜率结合图形的几何性质推出线段之间的关系，继而结合双曲线定义可得的关系，求得答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．数据的30%分位数为5
C．数据的标准差为3
D．若，随机变量，则
【答案】ACD
【分析】利用赋值法即可求解A，根据二项式展开式的通项特征，可求解，根据百分位数以及方差的计算公式即可求解BC，根据正态分布的对称性即可求解D.
【详解】对于A，令，则，故A正确，
对于B,
将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误，
对于C，分别为，则平均数为，
故方差为，故标准差为3，C正确，
对于D， ，
故，故D正确，
故选：ACD
10．在复平面内，复数，对应的向量分别为，，则（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】设，，，，由复数的四则运算、模长公式、向量数量积的运算逐项判断即可；
【详解】解：在复平面内，复数、对应的向量分别为、，
设，，则，，
对于A、当，时，，
则，故A错误；
对于B，，
，
，故B正确；
对于C，当，时，，，
满足，但，故C错误；
对于D，|由，得，得，故D正确．
故选：BD
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】A.将平移即可求出图象的对称中心；B.举反例说明；C.将的两条关系式结合，即可得，再分组求和；D.对的两条关系式分别求导即可得的周期性.
【详解】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称，
将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象，
则的图象关于点中心对称，即①，故选项A正确；
选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误；
①②两式相加可得，，则
，，
则 ，故选项C正确；
对①②两式分别求导得，③，④，
③④两式联立可得，⑤，再将替换为，
得⑥，⑤⑥两式联立可得，，
则的周期为4，故，
在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．写出一个与直线都相切的圆的标准方程 ．
【答案】（或，答出一个即可）
【分析】先确定圆心横坐标及半径，再分类讨论计算即可.
【详解】根据圆与直线相切可知圆心在直线上，半径为2，
再由圆与直线相切可得圆心为或，
则圆的标准方程为或．
故答案为：或.
13．若函数有两个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】条件函数有两个零点可转化为函数与函数的图象有两个交点，作两函数的图象，观察图象列不等式可求的范围.
【详解】因为函数有两个零点，
所以方程有两个实根，
所以函数与函数的图象有且仅有两个交点，
函数的定义域为，
函数的导函数为，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又，当时，，
当时，，
画出函数与函数的图象，
观察图象可得实数的取值范围是．
故答案为：.
14．已知函数，，，且在上单调，则的值为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数的一条对称轴为直线，且，可得出①，②，结合①②以及的取值范围可求出的值，以及的表达式，然后由可得出的不等式，解出的取值，然后由大到小逐一检验即可.
【详解】因为函数满足，
则函数的一条对称轴为直线，则①，
因为，可得②，
由①②可得，
因为，所以，，
将代入①可得，
因为在上单调，则该函数的最小正周期满足，
所以，，所以，，解得，
因为，则的可能取值构成的集合为，
当时，，此时，，
当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，则，
当时，，此时，函数在上不单调，不合乎题意；
当时，，则，
当时，，此时，函数在上单调递减，合乎题意.
综上所述，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，，，点E是的中点，点F满足

(1)若，证明：平面
(2)若，且平面与平面的夹角为，求
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量再证明，即可得到结果.
（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，用面面所成角的向量求法即可求出
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，设，（1分）
，，设平面的一个法向量，
则即（2分）
取（3分）
又，，，所以，平面（5分）

（2）如图建立空间直角坐标系，设，,所以，故,所以，，（7分）
设平面AEF的一个法向量，则即（8分）
取（9分）
又平面的一个法向量，（10分）
，（12分）
求得（负值舍去），所以（13分）
16．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若关于的不等式有实数解，求的取值范围.
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）通过求导来分析函数的单调性，进而求出函数的极值；
（2）分类讨论，得到单调性，求出函数最值，根据最值满足的条件来确定参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，（2分，求导、化简各1分）
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，（4分）
所以的极大值为，无极小值.（6分）
（2）由题得2a），
当时，，不符合题意；（7分）
当时，令，得；
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，（9分）
所以（10分）
由
得，解得；（11分）
当时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，（12分）
所以，（13分）
由，
得，解得.（14分）
综上，的取值范围为.（15分）
17．某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%），A学员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：
周次（x） 1 2 3 4 5 6 7
y（%） 52 52.8 53.5 54 54.5 54.9 55.3
若．
(1)根据上表数据，计算y与z的相关系数r，并说明y与z的线性相关性的强弱；（若，则认为y与z线性相关性很强；若，则认为y与z线性相关性一般；若，则认为y与z线性相关性较弱）（精确到0.01）
(2)求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）；
(3)若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”的个数，求X的数学期望．
参考公式和数据：对于一组数据
，，，，，，，，，．
【答案】(1)0.94，与线性相关性很强
(2)，55.89%
(3)．
【分析】（1）根据题意中的公式求出相关系数r，结合其表示的意义即可下结论；
（2）根据最小二乘法计算可得，进而，将代入即可求解；
（3）由题意可知，利用二项分布求出对应的概率，列出X的分布列，求出数学期望即可．
【详解】（1）
故与线性相关性很强．（4分）
（2），（6分）
，（7分）
所以关于的线性回归方程为，（8分）
将代入，（9分）
得．（10分）
当时，，（11分）
故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%．（12分）
（3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：，（13分）
由题意，数学期望．（15分）
18．已知抛物线的焦点为，为上的动点，到点的距离与到的准线的距离之和的最小值为．
(1)求抛物线的方程；
(2)给出如下的定义：若直线与抛物线有且仅有一个公共点，且与的对称轴不平行，则称直线为抛物线上点处的切线，公共点称为切点．请你运用上述定义解决以下问题：
（ⅰ）证明：抛物线上点处的切线方程为；
（ⅱ）若过点可作抛物线的2条切线，切点分别为、．证明：直线、
的斜率之积为常数．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的定义、焦半径公式可求出的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）（i）当抛物线上处的切线斜率存在时设其方程为，其中，将该直线方程与抛物线的方程联立，由可求出，代入切线方程可证得结论成立；当切线斜率不存在时，直接验证即可；
（ii）设、、，根据（i）中的结论成立写出直线、的方程，将点的坐标分别代入两切线方程，可得出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出的值，即可证得结论成立.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
设动点，动点到其准线的距离为，
由抛物线定义得，（1分）
则，（2分）
当且仅当时取等号，（3分）
依题意，，
所以抛物线的方程为.（4分）
（2）（ⅰ）当抛物线上处的切线斜率存在时,设其方程为，其中，
由得①，（5分）
由题意可得，可得，（6分）
即，所以，解得，（7分）
所以切线方程为，即，（8分）
即，即②；（9分）
即为上处的切线斜率存在时的方程；
当上处的切线斜率不存在时，即时处切线方程为，符合②式．
所以上处的切线方程为.（10分）
（ⅱ）设、，
由（ⅰ）知点处的切线方程为④，
点处的切线方程为⑤，
将分别代入上面两式得．（12分）
所以点、的坐标均满足方程，
所以直线方程为，（13分）
由④⑤知直线、斜率分别为，，则⑥，（14分）
由得，（15分）
则，可得，（16分）
由韦达定理可得，则，
所以直线、斜率之积为常数．（17分）
19．若各项为正数的无穷数列满足：对于都有，其中为非零常数，则称数列为“平方等差数列”.
(1)判断无穷数列和是否是“平方等差数列”，并说明理由；
(2)若是“平方等差数列”.
（ⅰ）证明：存在正整数，使得不等式成立；
（ⅱ）证明：存在正整数，使得.
【答案】(1)数列是“平方等差数列”， 数列不是“平方等差数列”，理由见详解.
(2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解.
【分析】（1）由定义分别验证两个数列是否满足定义，即可得结果；
（2）（i）由新定义“平方等差数列”得到数列通项公式，由放缩法得到，从而得到，然后由的单调性即可得证；
（ii）由通项公式得到，由放缩法得，然后由列项相消得到的结果，然后由函数的单调性即可得证.
【详解】（1）数列中，，所以数列是“平方等差数列”；（2分）
数列中，，所以数列不是“平方等差数列”；（4分）
（2）（i）∵，
设，（5分）
当时，一定存在使得，不成立，故（6分）
∴，
则，（7分）
∵，
∴，（9分）
∵函数随的增大而减大，故存在使得，即得证.（10分）
（ii） 由（2）得，故，（11分）
即，
（13分）
∴
（15分）
由随的增大而增大，且时，，（16分）
故对任意的，总存在正整数使，
存在正整数，使得.（17分）
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