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大题01 三角函数、三角恒等变换与解三角形
根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点.虽然八省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍然会考.在高考中，解答题主考考察解三角形，利用正弦余弦定理去解决三角行中一些综合问题.三角函数及其性质一般会考查小题.预计2025年高考中三角函数余解三角形必然会出现，解答题也会一常规形式出现.
题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题
（2025·上海·模拟预测）已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多. 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
1．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，求的值．
2．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值．
题型二：三角形中边长及周长问题
1．（2025·山东临沂·一模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求.
2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长．
2．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
3．（2025高三·全国·专题练习）在中，为边上一点，已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求边的长．
题型三：三角形中面积问题
1．（2025·江西·一模）设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
2．（2025·陕西汉中·二模）在中，，，分别是角的对边，已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求面积的最大值.
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是： 选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决. 面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求面积的最小值.
2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，.
(1)求角；
(2)若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积.
题型四：解三角形中三线问题
1．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．
(1)求角A；
(2)若，求的长．
2．（24-25高三下·山东·开学考试）在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且
(1)求
(2)若为边的中点，且，，求的面积.
三线问题指的是角平分线，中线，高线. 对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决. 对于中线问题 一般采用向量思想去解决. 高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
1．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值.
3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足
(1)求B；
(2)若的面积为，，求中线BD的长．
题型五：三角形中图形类边长及范围问题
1．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
2．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是 第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
2．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
题型六：三角形中证明类问题
（24-25高三上·安徽·期末）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，且成等差数列，也成等差数列，证明：的周长为定值．
（24-25高三下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为边上一点，且的面积为，证明：．
题型七：解三角形中内切圆、外接圆问题
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)若的面积，求角A；
(2)若，的面积，求的外接圆的面积.
2．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角的对边分别是，.
(1)证明：成等差数列；
(2)若，内切圆半径为r，求r的最大值.
解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题 一般采用正弦定理解决.
1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，且，，成等比数列．
(1)求；
(2)若点满足，的外接圆半径为，求的内切圆半径．
2．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，求的取值范围.
题型八：解三角形中图形类问题
1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ．
(1)求角;
(2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值．
2．（24-25高三上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设
(1)求证：不论为何值，为定值.
(2)当和的面积相等时，求的值.
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者是对应面范围问题.
1．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分.
(1)若，，求；
(2)若，求.
2．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分

(1)若求；
(2)若
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
一、解答题
1．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，，
(1)求；
(2)若为的中点，求.
2．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
4．（24-25高三上·山西·期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
5．（2025·贵州六盘水·一模）在中，内角的对边分别为，若．
(1)求角的大小；
(2)若，点是边上的一点，平分，且，求的面积．
6．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点.
(1)若AD平分，求证：；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长.
7．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且.
(1)求；
(2)求的面积.
8．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，且成等差数列．
(1)求；
(2)求的长．
9．（24-25高三下·河北·期末）在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且.
(1)若，求周长的最大值.
(2)设，.
（ⅰ）求外接圆的半径；
（ⅱ）求的面积.
10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
11．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.
(1)若，求的长；
(2)用表示的长度；
(3)求的面积的取值范围.
12．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）在中，.
(1)求 ；
(2)已知，
①若，求的面积；
② 若，求.
一、解答题
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
6．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
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根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点.虽然八省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍然会考.在高考中，解答题主考考察解三角形，利用正弦余弦定理去解决三角行中一些综合问题.三角函数及其性质一般会考查小题.预计2025年高考中三角函数余解三角形必然会出现，解答题也会一常规形式出现.
题型一：三角恒等变形与三角函数图象问题
（2025·上海·模拟预测）已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)当时，设.若函数和在上有相同的最大值，求的取值范围.
【思路分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数的值；
（2）当时，求出函数在区间上的最大值，可知，当时，函数在内取得最大值，可得出，然后对整数的取值进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，求解后结合，即得实数的取值范围.
【规范答题】（1）
，
因为且函数的最小正周期为，故.
（2）当时，.
若时，，
当时，函数取得最大值，即.
而函数与存在相同的最大值，
故当时，函数在内取得最大值，
因此可得，
①当时，可得，则有，解得；
②当时，可得，则有，解得.
当时，，此时，，
当时，，此时，.
综上所述，的取值范围为.
此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多. 1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角： （1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α) （2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝， 2、再通过辅助角公式“化一”，化为 3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算： 一般将看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
1．（24-25高三下·天津南开·阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）由结合正弦定理得：，，
因为，则，则，
又，故.
（2）因为，，
由余弦定理可得，整理可得，
又，解得，
所以的面积为.
（3）由正弦定理得：，则，
因为，即，则，故为锐角，
则，
所以，
，
所以.
2．（24-25高三下·北京·开学考试）已知函数，.
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值．
【答案】(1)最小正周期为，递减区间为
(2)【详解】（1）因为，则的最小正周期为.
由可得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）由题意可知，、两点的坐标为、，
则，即，
故
，
因为，所以，所以，
所以在时的最大值为.
题型二：三角形中边长及周长问题
1．（2025·山东临沂·一模）已知分别为三个内角的对边，且.
(1)求；
(2)若，求.
【思路分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式可得，由此即可得解；
（2）由正弦定理得，再由余弦定理即可求解.
【规范答题】（1）由正弦定理边化角可得，
即，
所以，因为，
所以，又，解得；
（2）若，则，这里是三角形外接圆的半径，
解得，
由余弦定理可得.
2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【思路分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解；
（2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得；
（3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围.
【规范答题】
（1）因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
（2）因为，，
由余弦定理，即，
∴，解得，
∴；
（3）在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来. 对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题， 类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决. 类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题 类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，．
(1)求；
(2)若的面积为，且，求的周长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解法1：因为，由正弦定理得，
即，
因为，则，故；
解法2：因为，由余弦定理得，
整理得，可得，
由余弦定理可得.
（2）因为，且，则，
，所以，
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长.
2．（2025·福建·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)证明：；
(2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由正弦定理，，所以．
又，所以，
所以，所以，
因，所以，即.
（2）因为，所以，
因为，所以．
因为，所以，
∵为锐角三角形，∴，∴，∴
因为，由余弦定理，两式联立得，
又因为，代入上式，得到，则，且，
所以，即．
所以周长的取值范围为．
3．（2025高三·全国·专题练习）在中，为边上一点，已知，，．
(1)若，求的值；
(2)若，求边的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，则，因为，所以，即，
所以，

在中，由余弦定理，
所以，
再由正弦定理，所以．
（2）在中，由正弦定理，即，同理，
因为，所以，即，
化解得，于是，
即，即，
因为，所以，，
从而，，
再由正弦定理，得，
所以，，故．
题型三：三角形中面积问题
1．（2025·江西·一模）设向量，，．
(1)求的单调递减区间；
(2)在锐角中，角所对的边分别为，若，，，求的面积
【思路分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求得，再利用正弦型函数的性质求递减区间；
（2）由得，结合正弦定理可得，结合余弦定理有，联立求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【规范答题】（1）由题意得
，
令，解得，
所以的单调递增区间为.
（2）因为为锐角三角形，由得，
由可得，
所以，故，
在中，由正弦定理得，所以，
所以①，
由余弦定理得，得②，
由①②解得，
所以的面积为.
2．（2025·陕西汉中·二模）在中，，，分别是角的对边，已知.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求面积的最大值.
【思路分析】（1）首先求出，再利用余弦定理即可得到；
（2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形面积公式即可求出最值.
【规范答题】（1）由，且，得，
可变形为.
依据余弦定理，可知，即.
所以.
（2）因为，
根据余弦定理得，
所以，即，当且仅当时等式成立，
故，当且仅当等号成立，
即所求面积的最大值是.
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是： 选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决. 面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（24-25高三下·浙江·开学考试）在中，角的对边分别为，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的高为3，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理即可求解；
（2）由面积公式得到，再由得到，求得的范围即可求解；
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
又，所以
（2）因为BC边上的高为3，所以，
又因为，所以.
由（1）知，所以，得
所以.
2．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）在中，.
(1)求角；
(2)若.
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，求的面积.
【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【详解】（1）因为，即，
由正弦定理可得，
，
即，可得，
且，则，可得，
又因为，所以.
（2）（ⅰ）∵，由余弦定理，，又∵（*），
整理得：，即，代入（*）可得，
由余弦定理，；
（ⅱ）∵，由（ⅰ）得：，
解得，
∴.
题型四：解三角形中三线问题
1．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．
(1)求角A；
(2)若，求的长．
【思路分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A；
（2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长.
【规范答题】
（1）由和正弦定理，可得，
因，
则，
即，
因为，则得，
因，则．
（2）如图，因是的平分线，则，解得，
又，
则，
即，解得.
2．（24-25高三下·山东·开学考试）在中，角，，，所对边分别为，，，已知，且
(1)求
(2)若为边的中点，且，，求的面积.
【思路分析】（1）由正弦定理，将边转换成正弦，再利用倍角公式和辅助角公式，求出，的关系.
（2）把余弦定理方程和中线的向量性质得到的方程，联立，求出，再利用面积公式即可求出面积.
【规范答题】
（1）因为，由正弦定理得：，
则，
所以，则
所以，，或，，则，或，
又因为，所以，所以，故.
（2）在中由余弦定理得：，所以①，
因为D为AB边的中点，所以，
所以，
所以②，
②-①得：，
所以.
三线问题指的是角平分线，中线，高线. 对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决. 对于中线问题 一般采用向量思想去解决. 高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
1．（2025·河南郑州·一模）记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，
(1)求
(2)设，求边上的高.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先利用余弦定理求出，再由，结合平方关系可求的值；
（2）结合（1）可得，再利用三角形面积相等可求得边上的高.
【详解】（1）在中，
，，
而A为三角形内角，
，
，
整理得，得，
又，且，
（2）由正弦定理得，
得，
由（1）得，，，
，
设边上的高为h，则，
边上的高为
2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）在中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，的平分线交于点，且1，求的值.
【答案】(1)；
(2)当时，；
当时，.
【分析】（1）利用正弦定理化边为角可得，结合内角和公式和两角和正弦公式化简，解方程可求结论；
（2）结合关系及三角形面积公式可得，解方程求，再求可得结论.
【详解】（1）由正弦定理知，，
因为
所以，
又，
所以，
因为，，故，，
所以，故，
所以.
（2）因为，
即，
所以，
解得或，
当时，；
当时，.
3．（24-25高三上·湖北武汉·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足
(1)求B；
(2)若的面积为，，求中线BD的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）因为，所以，
又因为
所以，，得，
所以，由余弦定理得，
又B为三角形内角，
所以，
（2）因为的面积为，，，
所以，，所以，又，
因为BD为的中线，所以，，
所以，，
所以
题型五：三角形中图形类边长及范围问题
1．（24-25高三下·河南·阶段练习）在锐角三角形中，角、、对应的边分别为、、，已知.
(1)求；
(2)求的取值范围.
【思路分析】（1）由正弦定理化简得出的值，结合为锐角三角形可得出角的值；
（2）求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合正切函数的基本性质可求得的取值范围.
【规范答题】
（1）因为，由正弦定理可得，
因为为锐角三角形，则，，
所以，，即，所以，.
（2）因为为锐角三角形，可得，解得，
则，
因为，则,所以，可得，
即，所以的取值范围为
2．（2025·陕西榆林·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
【思路分析】（1）解法1，将已知等式中的角利用正弦定理和余弦定理统一成边的形式，再利用余弦定理可求出角；解法2，利用三角函数恒等变换公式化简可求出角；
（2）由（1）得，，则，化简后利用正切函数的性质可求得结果.
【规范答题】（1）解法1：在中，由及正弦定理得，，
再由余弦定理，得，则，
又因为，所以，
因为，所以.
解法2：因为，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以.
（2）因为，所以，，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无限制三角形的对应的范围问题，一类是 第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知的内角A、、的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
因为，所以，
所以，，
所以.
（2）由正弦定理可得，，
所以，
因为在均为单调递增，
所以在为单调递减，
所以当时，最大值为；所以当时，最小值为；
所以的取值范围为.
2．（24-25高三上·山西太原·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)证明：；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1），，
由正弦定理可得，
由余弦定理得，，
或，
当时，则，，，，成立，
综上所述，成立.
（2）由（1）得，，，
由正弦定理可得，
，是锐角三角形，，
，的取值范围为
题型六：三角形中证明类问题
（24-25高三上·安徽·期末）设的内角的对边分别为，已知．
(1)求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，且成等差数列，也成等差数列，证明：的周长为定值．
【思路分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求范围即可；
（2）由等差中项化简可得，再由即可得证.
【规范答题】（1）由余弦定理得

因为，所以，即，所以，
所以，
因为，所以的取值范围是
（2）由题意知成等差数列，也成等差数列，
所以，
所以，
整理得．
又因为，即，
所以，即．
所以的周长是，为定值．
（24-25高三下·安徽·阶段练习）在中，角的对边分别为．
(1)求；
(2)若为边上一点，且的面积为，证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由余弦边角关系及已知可得，再由余弦定理求，即可得角的大小；
（2）应用余弦定理求得，再应用面积公式有、，作商即可证结论.
【详解】（1）由，则，
所以，，则.
（2）由，可得（负值舍），
则，而，
所以，即，得证.
题型七：解三角形中内切圆、外接圆问题
1．（24-25高三下·河北沧州·阶段练习）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)若的面积，求角A；
(2)若，的面积，求的外接圆的面积.
【思路分析】（1）结合余弦定理和三角形的面积公式，可求角的值.
（2）作边上的高，利用（1）中的结论结合两角和的正切公式，可求边，再利用可求三角形外接圆的半径，进而求外接圆的面积.
【规范答题】（1）由余弦定理得，
∴，∴.
又，
∵，∴.
（2）设边上的高为，
如图：
由（1）知，则，
∴，，
，解得，
∴，∴，
由，得，
设的外接圆半径为R，
则，得，故的外接圆的面积为.
2．（24-25高三下·河北张家口·开学考试）已知中，角的对边分别是，.
(1)证明：成等差数列；
(2)若，内切圆半径为r，求r的最大值.
【思路分析】（1）利用正弦定理把已知条件化为角的关系，再由诱导公式得，由两角和的正弦公式化简后可得的正切值，从而得B角大小，进而得证；
（2）利用余弦定理及基本不等式可得的范围，利用面积相等可得，变形后再次利用基本不等式即可求解的范围.
【规范答题】（1），
，
，
，
，
，
，，即，
，，
，，
成等差数列；
（2）由余弦定理可得，即，
，当且仅当时等号成立，
因为，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
即 ，
的取大值为 ．
解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即对于外接球半径问题 一般采用正弦定理解决.
1．（24-25高三下·山西·开学考试）已知的内角A，，所对的边分别为，，，，且，，成等比数列．
(1)求；
(2)若点满足，的外接圆半径为，求的内切圆半径．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题，根据倍角公式及正弦定理边角互化可得，然后根据，，成等比数列可得三角形为等边三角形，即可得答案；
（2）由（1）及余弦定理可得边长，然后用两种方式表示面积可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，即．
∵在中由正弦定理得，，，
为外接圆半径．∴①．
又∵，，成等比数列，∴②．
由①②得，则，
∵，∴；
（2）由（1）得．
∵，∴，∴．
∴在中，，，，
∴．∴．
设的内心为，内接圆半径为，如图
则，
即．
∴，．
2．（24-25高三下·河北保定·开学考试）在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且.
(1)证明：；
(2)求；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理表示，根据可证明结论.
（2）利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果.
（3）设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围.
【详解】（1）
在中，由正弦定理得，，
∴，同理得，，
∴，即.
（2）在中，由正弦定理得，，∴，
∴，即，
由得，，
∴，故，∴.
（3）设，由，得，故.
∵，，∴，故，
∴，
令，则，
∵，当且仅当时等号成立，∴，故，
∵在上单调递增，当时，，当时，，
∴的取值范围是.
题型八：解三角形中图形类问题
1．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知的内角，，的对边分别是 ，，，已知 ．
(1)求角;
(2)若为外一点，在四边形中，边长 ， 求边的最小值．
【思路分析】（1）由余弦定理得到，再由正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可得解；
（2）设，，再表示其他角，两个三角形中根据正弦定理表示，结合三角函数恒等变换，以及三角函数性质，即可求解.
【规范答题】（1）因为，
由余弦定理，
所以，即，
由正弦定理可得，
即，所以，
又，所以，所以，即，
又，所以；
（2）在和中，由正弦定理可得，，
设，，则，，，
故两式相除可得，
即，
因此，
故当时，即时，此时取最大值1，故取最小值.
2．（24-25高三上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设
(1)求证：不论为何值，为定值.
(2)当和的面积相等时，求的值.
【思路分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明；
（2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得.
【规范答题】（1）在中，，
又，所以，
在中，所以，
在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
所以，即不论为何值，恒成立；
（2）因为，
，
又，，由（1）可得，
所以，
即，
整理得，所以.
利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者是对应面范围问题.
1．（24-25高三上·安徽亳州·期末）如图，在平面四边形中，，，平分.
(1)若，，求；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求.
（2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果.
【详解】（1）∵平分，∴，故，
∵，，
∴，，
在中，由余弦定理得.
（2）设，则.
设，则，，
在中，由余弦定理得，
∵，∴，
∴，，
∴.
2．（24-25高三上·山东菏泽·期末）如图，平面四边形ABCD中AC平分

(1)若求；
(2)若
（ⅰ）求；
（ⅱ）求
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）由已知可得，进而利用余弦定理可求得；
（2）（ⅰ）设则，设，利用余弦定理可求得，求解即可；（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，可求得，进而利用二倍角的正弦公式可求得.
【详解】（1）由题意可知AC平分因此
则，
而，
故在中，由余弦定理可得.
（2）（ⅰ）设则，设，则，
由余弦定理可得，
所以，解得.
（ⅱ）由于在直角三角形ACD中为锐角，
则
故.
一、解答题
1．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，，
(1)求；
(2)若为的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案.
（2）先由余弦定理求得，或，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可.
【详解】（1），，
由正弦定理得：，，
又因为为锐角，.
（2）在中由余弦定理得：
，或
若，则，则为钝角，舍去
，因为为中点，
在中，

在中，
2．（24-25高三上·贵州黔东南·期末）在中，角的对边分别为，且
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理，将边转化为角，再根据三角函数的性质即可求解;
（2）根据余弦定理，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
整理得，即.
因为，所以，
所以，即，
（2）在中，,由余弦定理得,
所以,
当且仅当时等号成立，
所以,
即面积的最大值为.
3．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理求出，设，利用正弦定理有，
即，利用函数即可求解.
【详解】（1）因为由余弦定理有：，
因为为的内角，所以
（2）因为由余弦定理有：
=，
所以
设，由点在边上，且为锐角三角形，所以，
所以.
在中，由，
所以，所以，
所以
由是定义域上的减函数，所以，
所以的范围为.
4．（24-25高三上·山西·期末）已知函数．
(1)求的单调递减区间；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）参变分离可得在上恒成立，求出，即可得解.
【详解】（1）因为．
令，解得，
所以的单调递减区间为．
（2）当时，不等式恒成立，即不等式在上恒成立，
因为，所以，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
5．（2025·贵州六盘水·一模）在中，内角的对边分别为，若．
(1)求角的大小；
(2)若，点是边上的一点，平分，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理角化边可求得，由此可得；
（2）利用正弦定理可求得，进而求得，利用三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1）由余弦定理得：，
整理可得：，
，又，
.
（2）
由正弦定理得：，
，
平分，
，又，
，
，，
.
6．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为BC上一动点.
(1)若AD平分，求证：；
(2)若D为BC上靠近B的三等分点，当，时，求AD的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形面积公式，结合三角形面积的性质进行证明即可；
（2）根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算律和定义进行求解即可.
【详解】（1）设，垂足为，
在中，，
在中，，
因为AD平分，
所以，于是有，
因此有；
（2）因为D为BC上靠近B的三等分点，
所以，
因为，
所以
7．（2025·湖南岳阳·一模）已知分别为的内角的对边，且，点为边的中点，若，且.
(1)求；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合，辅助角公式得到，从而求出；
（2）根据和余弦定理得，结合，得到，根据求出，由三角形面积公式求出答案.
【详解】（1），利用正弦定理可得
，
又，
故，
即，
因为，所以，故，
由辅助角公式得，
又，故，
即，所以；
（2），故，
由余弦定理得，
由为中点，化简得，
，故，
又，所以，
又，故，
将代入上式得，即，
解得，负值舍去，
则的面积为
8．（2025高三下·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，且成等差数列．
(1)求；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三项成等差数列得出，再应用余弦定理及正弦定理计算求解；
（2）先应用同角三角关系得出，再结合两角差的余弦公式计算即可.
【详解】（1）设．
因为成等差数列，所以，又，所以．
在中，由余弦定理得，
即，即，解得（舍去）．
在中，由正弦定理得，
于是，即．
（2）由题设知，由（1）知，
又，
所以．
在中，，所以．
9．（24-25高三下·河北·期末）在锐角中，，，分别是内角，，的对边，且.
(1)若，求周长的最大值.
(2)设，.
（ⅰ）求外接圆的半径；
（ⅱ）求的面积.
【答案】(1)6
(2)，
【分析】（1）根据余弦定理得，利用基本不等式即可求解，
（2）（ⅰ）利用正弦定理边角互化可得，（ⅱ）根据正弦定理可得，进而由同角关系可得，，由和差角公式可得，即可由面积公式求解.
【详解】（1）由余弦定理得，即，
所以，
因为，
所以，
则，当且仅当时，等号成立，
所以周长的最大值为6.
（2）（ⅰ）由正弦定理得，，
代入，得，
即.
因为，所以.
（ⅱ）的面积.
因为，所以.
因为是锐角，所以，则，所以.
因为，所以.
又因为是锐角，所以，
所以，所以，
则，所以
故.
10．（2025·山西吕梁·一模）如图，已知三角形的内角的对边分别为，且.
(1)求的大小；
(2)若，设为三角形的角平分线，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解；
（2）利用面积方法和三角形的面积公式计算.
【详解】（1）由得,
又因为，
所以,
又因为，
所以,
又因为,
所以.
（2）因为，
所以,
又因为,
所以,
所以,
故答案为：.
11．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，是边长为的正三角形所在平面上一点（点、、、逆时针排列），且满足，记.
(1)若，求的长；
(2)用表示的长度；
(3)求的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；
（2）在中，直接利用正弦定理可得出关于的表达式；
（3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.
【详解】（1）由，且是边长为的正三角形，
则，且，
所以在中，由余弦定理得，
所以.
（2）由，则，则，
在中，由正弦定理有，
得，
（3）由三角形的面积公式得
，
又，且，则，所以，
所以，则，
故的取值范围为.
12．（24-25高三下·天津滨海新·阶段练习）在中，.
(1)求 ；
(2)已知，
①若，求的面积；
② 若，求.
【答案】(1)
(2)①； ②
【分析】（1）在中，由正弦定理及二倍角公式，结合题中条件即可求得，即可求解；
（2）①由余弦定理结合题中条件可解得，利用三角形面积公式即可求解；
②根据同角三角函数的平方关系，结合与三角形中，可求得，再利用二倍角公式与两角和的余弦公式即可求解.
【详解】（1）在中，，
∴由正弦定理及二倍角公式可得.
，，即.
，.
（2）由（1）知，.
①在中，，，
∴由余弦定理可得，
即，解得.
.
②，.
，，
.．
一、解答题
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)(2)6
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
6．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)14
【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；
（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因为，
由（1）得，
由余弦定理可得，
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为.
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将化成，再结合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出．
【详解】（1）因为，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
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