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实数与运算—浙江省中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2021七上·鄞州期末）下列说法正确的是
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数，
选项 不符合题意；
当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，
选项 不符合题意；
大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
选项 符合题意；
当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，
选项 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D.
2．（2024·杭州模拟）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
3．（2023·舟山）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：、属于正无理数，且()2=<1，>1，
∴比1小的正无理数为.
故答案为：A.
【分析】无理数是无限不循环小数，然后利用平方法进行比较即可.
4．（2024九下·杭州模拟）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：设点C表示的数为x，
①当点A'在线段CB的延长线上，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
②点A'在线段CB上时，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
∴点表示的数是或．
故答案为：D．
【分析】设点C表示的数为x，分当A'在线段CB的延长线上和线段CB上，两种情况分别根据数轴上两点间的距离等于这两点所表示数差的绝度值并结合A'B=4求出点A'所表示的数，进而再结合两点间的距离公式及AC=A'C建立方程，求解即可.
5．（2024九下·萧山模拟）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离
6．（2024·宁海）若实数满足，则应满足的条件是
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， 则：
当 时， 则：
，
当 时， 则：
，
，
综上所述：若实数x满足则x应满足的条件是，
故答案为：C.
【分析】分为， 或 三种情况，分别化简二次根式解题即可.
7．（2024九下·临安模拟）将二次根式化简，正确的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
8．（2024九下·柯桥模拟）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：，，
，
∴选项A，C不符合题意；
根据点A，B的位置可得，
，
∴选项B不符合题意；
∴选项D符合题意
故答案为：D．
【分析】由已知条件"，"可得，结合点A、B所在的位置可得，于是，然后根据各选项即可判断求解．
二、填空题
9．（2024·浙江）已知实数a，b满是，则的最大值为　 　．
【答案】55
【知识点】解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
10．（2025·金华模拟）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：设☆代表一个有理数为a，根据题意，
解得
即☆代表10，
；
故答案为：
【分析】根据题意构建方程求解得 的值，然后代入求代数式值.
11．（2025九下·奉化模拟）二次根式中字母的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有 则
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得 解不等式求范围.
12．（2019·宁波）请写出一个小于4的无理数：　 　
【答案】答案不唯一如 ，π等
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：开放性的命题，答案不唯一，如
等。
故答案为：不唯一，如
等。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，② 的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义，只要写出一个比4小的无理数即可。
三、解答题
13．（2024九下·浙江模拟）在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“+，-，×，÷”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数．
整数 分数
0，，2024，
【答案】解：选择2024，-100，，，
（答案不唯一）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】先选出两个整数，两个分数，再按要求计算即可．
14．（2024·浙江模拟）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“”印刷不清楚.
（1）她把“”猜成8，请你计算：.
（2）若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“”是几.
【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意和（1）知，
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除法；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，负整数指数幂以及特殊角的三角函数，再进行实数的加减运算.
（2）根据题目的计算结果是有理数可知，利用二次根式的除法运算即可求得“”表示的数.
1 / 1实数与运算—浙江省中考数学地方特色专题
一、选择题
1．（2021七上·鄞州期末）下列说法正确的是
A．非零两数的和一定大于任何一个加数
B．非零两数的差一定小于被减数
C．大于1的两数之积一定大于任何一个因数
D．小于1的两数之商一定小于被除数
2．（2024·杭州模拟）在一个不透明的袋子中，装有四个分别标有数字，，0，2的小球，这些小球除数字外其他完全相同.从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·舟山）下面四个数中，比1小的正无理数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·杭州模拟）一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（　　）
A． B． C．或 D．或
5．（2024九下·萧山模拟）在数轴上，点表示的数是4，点表示的数是0，点表示的数是．定义：点在线段上，如果线段的长度有最大值，则称为点与线段的“闭距离”．例如：，当点与点重合时，．若，则的值是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
6．（2024·宁海）若实数满足，则应满足的条件是
A．或 B．
C． D．
7．（2024九下·临安模拟）将二次根式化简，正确的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·柯桥模拟）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，．若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024·浙江）已知实数a，b满是，则的最大值为　 　．
10．（2025·金华模拟）小华在计算时（☆代表一个有理数），误将“”看成“”，按照正确的运算顺序计算，结果为，则的正确结果是　 　．
11．（2025九下·奉化模拟）二次根式中字母的取值范围是　 　．
12．（2019·宁波）请写出一个小于4的无理数：　 　
三、解答题
13．（2024九下·浙江模拟）在下面两个集合中各有一些有理数，请你分别从中选出两个不同的整数和两个不同的分数，再用“+，-，×，÷”中的运算符号将选出的四个数进行运算，使得运算的结果是一个正整数．
整数 分数
0，，2024，
14．（2024·浙江模拟）玲玲准备完成题目：计算：，发现被开方数“”印刷不清楚.
（1）她把“”猜成8，请你计算：.
（2）若该题标准答案的结果是有理数，请通过计算说明原题中的“”是几.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解： 两个负数的和小于任何一个加数，
选项 不符合题意；
当减数是小于或等于0的数时，差是大于或等于被减数的，
选项 不符合题意；
大于1的两数之积一定大于任何一个因数，
选项 符合题意；
当除数是真分数，被除数是正数时，商大于被除数，
选项 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的加法法则可判断A；根据有理数的减法法则可判断B；根据有理数的乘法法则可判断C；根据有理数的除法法则可判断D.
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：和都是无理数，这四个数乘积为无理数的情况有×2，×2共2种
而任意模出两球的情况有(0，2)，(0，)，(0，)，(，2)(，)(，2)共6种，故P=；
故答案为：B.
【分析】列出任意摸出两球的情况和乘积为无理数的情况，即可求出概率.
3．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：、属于正无理数，且()2=<1，>1，
∴比1小的正无理数为.
故答案为：A.
【分析】无理数是无限不循环小数，然后利用平方法进行比较即可.
4．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离；数轴的折叠（翻折）模型
【解析】【解答】解：设点C表示的数为x，
①当点A'在线段CB的延长线上，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
②点A'在线段CB上时，
，
点表示的数为，
，
，
解得：；
∴点表示的数是或．
故答案为：D．
【分析】设点C表示的数为x，分当A'在线段CB的延长线上和线段CB上，两种情况分别根据数轴上两点间的距离等于这两点所表示数差的绝度值并结合A'B=4求出点A'所表示的数，进而再结合两点间的距离公式及AC=A'C建立方程，求解即可.
5．【答案】D
【知识点】数轴上两点之间的距离
6．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当 时， 则：
当 时， 则：
，
当 时， 则：
，
，
综上所述：若实数x满足则x应满足的条件是，
故答案为：C.
【分析】分为， 或 三种情况，分别化简二次根式解题即可.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
8．【答案】D
【知识点】有理数的除法法则；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：，，
，
∴选项A，C不符合题意；
根据点A，B的位置可得，
，
∴选项B不符合题意；
∴选项D符合题意
故答案为：D．
【分析】由已知条件"，"可得，结合点A、B所在的位置可得，于是，然后根据各选项即可判断求解．
9．【答案】55
【知识点】解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
10．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【解答】解：设☆代表一个有理数为a，根据题意，
解得
即☆代表10，
；
故答案为：
【分析】根据题意构建方程求解得 的值，然后代入求代数式值.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：依题意有 则
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得 解不等式求范围.
12．【答案】答案不唯一如 ，π等
【知识点】无理数的大小比较；无理数的概念
【解析】【解答】解：开放性的命题，答案不唯一，如
等。
故答案为：不唯一，如
等。
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，② 的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义，只要写出一个比4小的无理数即可。
13．【答案】解：选择2024，-100，，，
（答案不唯一）
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则
【解析】【分析】先选出两个整数，两个分数，再按要求计算即可．
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：由题意和（1）知，
【知识点】负整数指数幂；二次根式的乘除法；求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘法，负整数指数幂以及特殊角的三角函数，再进行实数的加减运算.
（2）根据题目的计算结果是有理数可知，利用二次根式的除法运算即可求得“”表示的数.
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