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新定义型—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2022七下·嵊州期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．11
【答案】C
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴，
∴，
∴2※1=2×5+（-1）×1=9.
故答案为：C.
【分析】根据新定义的运算规律得出，求出m，n的值，再列出算式进行计算，即可得出答案.
2．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
3．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（　　）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
4．（2023七下·义乌期中）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，则关于和的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意化简得，
A.将，代入，，代入方程组，等式成立，故正确；
B.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
C.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
D.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可将二元一次方程组转化为，然后将各个选项中x、y的值代入进行验证即可.
5．（2024七下·杭州期中）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（　　）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∴m(n+2)=4，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
∴m(n+2)=4，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误，
综上，正确的是（1）与（2）共2个.
故答案为：B．
【分析】根据定义新运算法则列出关于字母a、b的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定（1）正确；根据定义新运算法则及（1）的结论得到，再解关于字母m的方程即可确定（2）正确；求出方程的整数解从而确定（3）不正确；根据定义新运算法则列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，可得x-y项的系数为零，据此即可确定（4）不正确．
二、填空题
6．（2021七下·吴兴期末）定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则3*4＝　 　．
【答案】17
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴ 3*4＝1×9+2×4=17.
【分析】根据新定义的计算规律列出方程，解方程求出a，b的值，再根据新定义的计算规律列出算式进行计算，即可得出答案.
7．（2023七下·江津期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则　 　．
【答案】10或19
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】第一种情况：当2个两位数x和y个位数字为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，
∴；
第二种情况：当2个两位数x和y个位数字均不为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10，
∴，
综上，的值为10或19，
故答案为：10或19.
【分析】根据题干中的定义，再分类讨论求解即可。
8．（2024七下·嘉兴期中）定义运算，例如，，若，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，不符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义运算法则列出方程，然后分类讨论：①根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，②根据“1的任何次幂都等于1”，③“的偶数次幂等于1”，分别列出关于字母m的方程，求解并检验即可.
9．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　．
【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
10．（2022七下·上城期末） ， ， 等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式. 若关于x，y的分式 是完美对称式，则： 　 　；若完美对称式 满足： ，且 ，则 　 　（用含x的代数式表示）.
【答案】-1；
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由完美对称式的定义得： ，
整理得： ，
则 ，
解得 ，
将 代入 得： ，
，
，
，
，
，
，
解得 .
故答案为：-1， .
【分析】由完美对称式的定义得 ，整理可得(1+m)(x2-y2)=0，则m=-1，将m=-1代入 中并化简可得(x-y)2=(xy)2，则x-y=xy，化简可得y与x的关系式.
11．（2024七下·上城期中）定义一种新的运算：，例如：，那么
（1）若，那么　 　；
（2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为　 　．
【答案】12；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵（-2）☆b=-16，
∴2×（-2）-b=-16，
解得b=12；
（2）∵a☆b=0，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
则方程（a-1）x+by+5-2a=0可以转化为（a-1）x+2ay+5-2a=0，
则（x+2y-2）a=x-5，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故这个公共解为．
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算解答；
（2）根据新定义求出b=2a，代入方程得到得到（x+2y-2）a=x-5，根据题意得到方程组解题即可．
三、解答题
12．（2024七下·浙江期中） 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号．例如：．
（1）求的值；
（2）求的值，其中．
【答案】（1）解：由题意得：
．
（2）解：由题意得：
，
，
∴原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据规定的新运算列式计算即可；
（2）根据规定的新运算列式，然后对已知等式变形，整体代入计算即可.
13．（2024七下·义乌月考）若整式A、B满足：A+B=k（k为整数），则称A和B是关于k的“友好整式”.例如：若A+B=2024，则称A和B是关于2024的友好整式.现有7x-10与8y是关于10的友好整式，8x与7y+10是关于5的友好整式，求3x+4y的平方根.
【答案】解：±4
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
∴3x+4y=3×（-12）+4×13=16.
∴ 3x+4y的平方根为.
【分析】根据新定义列出方程，求出方程组的解，继而求出3x+4y的平方根.
14．（2024七下·长兴月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值．
【答案】解：，，，
，，，解得：.
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据新定义建立方程组，再解方程组即可．
15．（2024七下·拱墅期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
【答案】解：（1）方程组，把②代入①得：3y+1=7，解得：y=1，代入②得：x=1+1=2，
满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：2y+ay=12，即(2+a)y=12，
∴x=2y－5，.
，，均为正整数，
∴（舍去），（舍去），，，
满足条件的两组解中，当时，．
，方程组的解为

【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）解方程组得解，利用题中的新定义判断即可；（2）两式相减并整理可得，由题中的新定义可得，求解即可得到m的值；
（3）两方程相加消去x，2y+ay=12，整理得x=2y－5，.根据a，x，y都为正整数，从y=1开始讨论，求出所有满足条件的a，x，y的值，最后再利用题中的新定义确定出a值以及方程组的解即可．
16．（2024七下·上城期中）定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”．
（1）若，，求，的“青宁数”；
（2）若，，求、的“青宁数”；
（3）已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示)
【答案】（1）解：∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴
∴
∴
或
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据新定义的运算法则代入数值计算解题即可．
（2）根据完全平方公式的变形求出a+b的值，然后整体代入计算解题；
（3）根据新定义求b的值即可．
17．（2024七下·浙江期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝a2+b2﹣ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”．
（1）求2，﹣3的“和方差数”．
（2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a﹣2b的值．
（3）若a+b＝3，ab＝4，求a，b的“和方差数”c．
【答案】（1）解：22+（﹣3）2+2×3＝19；
（2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，
∴ab＝a2+b2﹣ab，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，
∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝0；
（3）解：∵a+b＝3，ab＝4，
∴c＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝9﹣12
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算；配方法的应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题干给出的新定义运算法则直接代入数字，按含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据新定义运算法则及题中的等量关系列出等式，进而整理后利用完全平方公式逆用变形，可求出a-b=0，从而整体代入待求式子即可；
（3）根据新定义运算法则列出式子，进而利用配方法将式子变形为（a+b）2﹣3ab，然后整体代入计算可得答案.
18．（2023七下·镇海区期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
（1）若，，求，的“和积数”；
（2）若，，求，的“和积数”；
（3）已知，且，的“和积数”，求用含的式子表示并计算的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，．
即所求，的“和积数”为
（2）解：由题意得，．
，，
．
．
或．
或．
（3）解：由题意，，
，，
．
若，式子变为．
为任何数，不存在最小值．
若，又，
．
．
．
当时，有最小值为．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】 （1）由题意得，根据“和积数”的定义，代入数据得出答案；
（2）由题意得，根据“和积数”的定义，展开括号得出代数式，由条件求出a+b的值，最后代入得出答案；
（3）把a、c的值代入化简整理，分情况讨论得出答案.
1 / 1新定义型—浙江省七（下）数学期中复习
一、选择题
1．（2022七下·嵊州期中）对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y＝mx+ny（其中m，n均为非零常数），若1※1＝4，1※2＝3．则2※1的值是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．11
2．（2024·七下婺城期中） 设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④.
其中推断正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．①③
3．（2024七下·滨江期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（　　）
A．12个 B．13个 C．14个 D．15个
4．（2023七下·义乌期中）我们规定：表示不超过的最大整数，例如：，，则关于和的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·杭州期中）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的个数为（　　）
（1），；
（2）若，，则；
（3）若，则、有且仅有3组整数解；
（4）若对任意有理数、都成立，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．（2021七下·吴兴期末）定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则3*4＝　 　．
7．（2023七下·江津期中）一个两位数m的十位上的数字是a，个位上的数字是b，记为这个两位数m的“衍生数”．如．现有2个两位数x和y，且满足，则　 　．
8．（2024七下·嘉兴期中）定义运算，例如，，若，则的值为　 　．
9．（2024七下·义乌期末）将多项式变形为的形式，这样的方法叫做配方法．利用配方法和非负数的性质可以求出多项式的最大（小）值．例如：，
，，当时，多项式有最小值．
已知，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为，且，均为正整数，则当时，的最大值为　 　．
10．（2022七下·上城期末） ， ， 等代数式，如果交换m和n的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式. 若关于x，y的分式 是完美对称式，则： 　 　；若完美对称式 满足： ，且 ，则 　 　（用含x的代数式表示）.
11．（2024七下·上城期中）定义一种新的运算：，例如：，那么
（1）若，那么　 　；
（2）若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为　 　．
三、解答题
12．（2024七下·浙江期中） 对于任意有理数a，b，c，d，我们规定符号．例如：．
（1）求的值；
（2）求的值，其中．
13．（2024七下·义乌月考）若整式A、B满足：A+B=k（k为整数），则称A和B是关于k的“友好整式”.例如：若A+B=2024，则称A和B是关于2024的友好整式.现有7x-10与8y是关于10的友好整式，8x与7y+10是关于5的友好整式，求3x+4y的平方根.
14．（2024七下·长兴月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值．
15．（2024七下·拱墅期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
16．（2024七下·上城期中）定义：任意两个数、，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为、的“青宁数”．
（1）若，，求，的“青宁数”；
（2）若，，求、的“青宁数”；
（3）已知，且、的“青宁数”，则______．(用含的式子表示)
17．（2024七下·浙江期中）定义：任意两个数a，b，按规则c＝a2+b2﹣ab运算得到一个新数c，称c为a，b的“和方差数”．
（1）求2，﹣3的“和方差数”．
（2）若两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，求2a﹣2b的值．
（3）若a+b＝3，ab＝4，求a，b的“和方差数”c．
18．（2023七下·镇海区期末）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为，的“和积数”．
（1）若，，求，的“和积数”；
（2）若，，求，的“和积数”；
（3）已知，且，的“和积数”，求用含的式子表示并计算的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，
∴，
∴，
∴2※1=2×5+（-1）×1=9.
故答案为：C.
【分析】根据新定义的运算规律得出，求出m，n的值，再列出算式进行计算，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：① a*b=(a-b)2=(b-a)2=b*a，故①符合题意；
②(a*b)2=(a2-2ab+b2)2≠(a2-b2)2，故②不符合题意；
③a*(b-c)=(a-b+c)2，(b-c)*a=(b-c-a)2=(a-b+c)2，故③符合题意；
④a*(b+c)=(a-b-c)2=(a-b)2-2(a-b)c+c2=a2+b2+c2-2ab-2ac-2bc，
a*b+a*c=(a-b)2+(a-c)2=2a2+b2+c2-2ab-2ac，
故④不符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据新运算计算，根据完全平方差公式计算各式，即可求得.
3．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解： 设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2
∴ （a+b）2是一个“完全数”
∴ （a+b）2＜180
∵ 132=169，142=196，
∴ 132＜180＜142
∴ 任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个
故答案为：B.
【分析】本题考查新定义及完全平方，理解定义是关键。设第一个自然数为a，第二个自然数为b，根据定义得：a2+b2+2ab=（a+b）2，则（a+b）2是一个“完全数”根据 132＜180＜142可得小于180且不重复的“完全数”的个数有13个.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意化简得，
A.将，代入，，代入方程组，等式成立，故正确；
B.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
C.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
D.将，代入，，代入方程组，等式不成立，故错误；
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算可将二元一次方程组转化为，然后将各个选项中x、y的值代入进行验证即可.
5．【答案】B
【知识点】解二元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
解得，故（1）正确；
∵，
∴，
∴m(n+2)=4，
∵，
∴，故（2）正确；
∵，
∴，
∴m(n+2)=4，
当时，则不成立，
∴，
∴，
∵m、n都是整数，
∴或或，
∴或或0或或或，
∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵对任意有理数、都成立，
∴，故（4）错误，
综上，正确的是（1）与（2）共2个.
故答案为：B．
【分析】根据定义新运算法则列出关于字母a、b的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定（1）正确；根据定义新运算法则及（1）的结论得到，再解关于字母m的方程即可确定（2）正确；求出方程的整数解从而确定（3）不正确；根据定义新运算法则列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，可得x-y项的系数为零，据此即可确定（4）不正确．
6．【答案】17
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解二元一次方程组；定义新运算
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
∴ 3*4＝1×9+2×4=17.
【分析】根据新定义的计算规律列出方程，解方程求出a，b的值，再根据新定义的计算规律列出算式进行计算，即可得出答案.
7．【答案】10或19
【知识点】定义新运算；二元一次方程组的应用-数字问题
【解析】【解答】第一种情况：当2个两位数x和y个位数字为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为10，个位数字的和为0，
∴；
第二种情况：当2个两位数x和y个位数字均不为0，且满足x+y=100时，x和y的十位数字的和为9，个位数字的和为10，
∴，
综上，的值为10或19，
故答案为：10或19.
【分析】根据题干中的定义，再分类讨论求解即可。
8．【答案】或
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，符合题意；
当时，则，
∴，
∴，不符合题意；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】根据新定义运算法则列出方程，然后分类讨论：①根据“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，②根据“1的任何次幂都等于1”，③“的偶数次幂等于1”，分别列出关于字母m的方程，求解并检验即可.
9．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴.
∴当时，的最大值为，
故答案为：3．
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则和题意可得，，即可得出，代入ab，根据配方法可得当时，的最大值为.
10．【答案】-1；
【知识点】完全平方公式及运用；解分式方程；定义新运算
【解析】【解答】解：由完美对称式的定义得： ，
整理得： ，
则 ，
解得 ，
将 代入 得： ，
，
，
，
，
，
，
解得 .
故答案为：-1， .
【分析】由完美对称式的定义得 ，整理可得(1+m)(x2-y2)=0，则m=-1，将m=-1代入 中并化简可得(x-y)2=(xy)2，则x-y=xy，化简可得y与x的关系式.
11．【答案】12；
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵（-2）☆b=-16，
∴2×（-2）-b=-16，
解得b=12；
（2）∵a☆b=0，
∴2a-b=0，
∴b=2a，
则方程（a-1）x+by+5-2a=0可以转化为（a-1）x+2ay+5-2a=0，
则（x+2y-2）a=x-5，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故这个公共解为．
【分析】（1）根据新定义的运算法则计算解答；
（2）根据新定义求出b=2a，代入方程得到得到（x+2y-2）a=x-5，根据题意得到方程组解题即可．
12．【答案】（1）解：由题意得：
．
（2）解：由题意得：
，
，
∴原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据规定的新运算列式计算即可；
（2）根据规定的新运算列式，然后对已知等式变形，整体代入计算即可.
13．【答案】解：±4
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
∴3x+4y=3×（-12）+4×13=16.
∴ 3x+4y的平方根为.
【分析】根据新定义列出方程，求出方程组的解，继而求出3x+4y的平方根.
14．【答案】解：，，，
，，，解得：.
【知识点】定义新运算；加减消元法解二元一次方程组；列二元一次方程组
【解析】【分析】根据新定义建立方程组，再解方程组即可．
15．【答案】解：（1）方程组，把②代入①得：3y+1=7，解得：y=1，代入②得：x=1+1=2，
满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：2y+ay=12，即(2+a)y=12，
∴x=2y－5，.
，，均为正整数，
∴（舍去），（舍去），，，
满足条件的两组解中，当时，．
，方程组的解为

【知识点】解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）解方程组得解，利用题中的新定义判断即可；（2）两式相减并整理可得，由题中的新定义可得，求解即可得到m的值；
（3）两方程相加消去x，2y+ay=12，整理得x=2y－5，.根据a，x，y都为正整数，从y=1开始讨论，求出所有满足条件的a，x，y的值，最后再利用题中的新定义确定出a值以及方程组的解即可．
16．【答案】（1）解：∵，∴，
∴；
（2）解：∵，，∴
∴
∴
或
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；多项式除以单项式；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据新定义的运算法则代入数值计算解题即可．
（2）根据完全平方公式的变形求出a+b的值，然后整体代入计算解题；
（3）根据新定义求b的值即可．
17．【答案】（1）解：22+（﹣3）2+2×3＝19；
（2）解：∵两个非零数a，b的积是a，b的“和方差数”，
∴ab＝a2+b2﹣ab，
∴（a﹣b）2＝0，
∴a﹣b＝0，
∴2a﹣2b＝2（a﹣b）＝0；
（3）解：∵a+b＝3，ab＝4，
∴c＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣3ab
＝9﹣12
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；定义新运算；配方法的应用；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据题干给出的新定义运算法则直接代入数字，按含乘方的有理数的混合运算顺序计算即可；
（2）根据新定义运算法则及题中的等量关系列出等式，进而整理后利用完全平方公式逆用变形，可求出a-b=0，从而整体代入待求式子即可；
（3）根据新定义运算法则列出式子，进而利用配方法将式子变形为（a+b）2﹣3ab，然后整体代入计算可得答案.
18．【答案】（1）解：由题意得，．
即所求，的“和积数”为
（2）解：由题意得，．
，，
．
．
或．
或．
（3）解：由题意，，
，，
．
若，式子变为．
为任何数，不存在最小值．
若，又，
．
．
．
当时，有最小值为．
【知识点】定义新运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】 （1）由题意得，根据“和积数”的定义，代入数据得出答案；
（2）由题意得，根据“和积数”的定义，展开括号得出代数式，由条件求出a+b的值，最后代入得出答案；
（3）把a、c的值代入化简整理，分情况讨论得出答案.
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