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2025年中考数学热点专练05 全等三角形和特殊三角形
中考数学中《全等三角形与特殊三角形》部分主要考向分为四类：
一、三角形的边关系与内角和定理（每年1~2道，3~8分）
二、全等三角形（每年1道，6~8分）
三、等腰三角形（每年1~2题，3~8分）
四、直角三角形（每年1~2题，3~10分）
三角形是学习平面几何的基础，其中全等三角形与特殊三角形（等腰三角形，等边三角形，直角三角形）的重要性不言而喻，在初中数学中几乎所有的几何问题都得转化成三角形解决，所以，掌握好全等三角形和特殊三角形的性质和判定是关键。
首先，全等三角形是解决平面几何问题中证明线段相等或者角相等的最常用的方法，全等的性质和判定是中考数学中必考的考点，一般都是解答题中考查，小题也会出现。
其次，对等腰三角形，直角三角形等特殊三角形，则往往有两种考查方式，一是作为选择或填空题出现；二是融入到解答题当中，比如与四边形结合或与函数综合在一起考查，所以难度不好预测，但是，对于这几种特殊三角形的基础知识的熟练掌握和对基本几何模型的灵活应用，对提高自己的分数是关键所在。
考向一：三角形的边和角
【题型1 三角形的三边关系】
1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 已知三角形的两边长分别是，则第三边的范围是 实际使用三角形三边关系解决问题时，只需要两较小边长之和大于最长边即可； 特殊情况：在等腰三角形中考三边关系时，两腰长之和大于底边长即可，因为一腰+底边>另一腰是必然的； 2.很多求最值或范围的问题也可以借助三角形三边关系解决，不过要找到或者构造由这样三条边组成的三角形：其中两边长度已知，第三边是所求的。 特别强调：利用三角形三边关系求线段长度的范围时需改为：，其中的等号能否取到，要看具体问题，检验是必须的。 3. 三角形三边关系能解决哪些题型： （1）判断三条线段能否构成三角形；（2）求线段长度取值范围；（3）求等腰三角形边长或周长时检验； （4）解决一些特殊的等式问题；（5）证明一些不等关系问题。
1．（2025·河北保定·一模）珍珍用三根木棍首尾相接组成了一个周长为整数的三角形，其中两根木棍的长如图所示，则该三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．4
3．（2025·河北·一模）有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　）
A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀
C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀
4．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ）
A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6
5．（2025·四川泸州·一模）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【题型2 三角形的内角与外角】
三角形三个内角的和为180°； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的内角和定理和外角的性质本质上是相同的，灵活使用可以方便快捷解决问题； 特殊情况：等腰三角形与顶角相邻的外角等于底角的2倍；
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ．
3．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，、为等边的两条高，且与相交于点，则图中的直角三角形共有 个．
5．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 三角形中三条重要线段】
三角形中三条重要线段： 1．三角形的中线 看见中线联想：平分线段、平分面积； 常用添加辅助线模型：倍长中线造全等； 2．三角形的高线 看见高线联想：面积、角度（余角）； 常用添加辅助线模型：见特殊角做垂直，构特殊直角三角形、见等腰做底边上高线，构造三线合一； 3、三角形的角平分线 看见高线联想：角相等，平分线的性质、构造全等； 常用添加辅助线模型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰。 4．线段的垂直平分线： 联想关键词：平分、垂直、全等； 5．三角形的四个重要的心： 重心垂心内心外心三中线交点三高交点三内角平分线交点三边垂直平分线交点性质到顶点和边中点2:1到三边距离相等到三顶点距离相等
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高．
(1)利用尺规作中边上的高，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求证：．
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
考向二：全等三角形
【题型4 全等三角形的性质与判定】
1.全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应高线，对应中线，对应角平分线等对应元素都相等； 2．全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（只能用于直角三角形） 3．三角形全等的主要用途：证明线段的相等、证明角的相等。 4.构造全等模型的常见方法： （1）翻折法（轴对称法）；（2）旋转法；（3）倍长中线法；（4）截长补短法；
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：．
3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点、是边上的两点，，连接、，，求证：．
4．（2025·安徽·一模）如图，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题型5 三角形的角平分线性质与判定】
1．性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2．判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
1．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
2．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．
(1)证明：；
(2)如果，求证：．
4．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，平分交边于点，先画出的角平分线，再在射线上画点，连接，使得；
(2)在图2中，先画的高，再画的平分线．
【题型6 线段的垂直平分线的性质和判定】
1．性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2．判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；
1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若与重合，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是正方形
3．（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形．
考向三：等腰三角形
【题型7 等腰三角形的性质与判定】
1．等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2．等腰三角形的判定：①证两边相等；②证两角相等； 3．等边三角形的性质：①三边相等；②三个角都等于60°；③“三线合一”； 4．等边三角形的判定：①三边相等；②三个角都相等；③60°+等腰三角形。
1．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，是上一点，．若，则 °．
3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点E，则的长为 ．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，点C在线段上，．求证：．
5．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
【题型8 等腰三角形常见模型】
与等腰三角形有关的常见模型有以下几种： 1.角平分线+平行 2.手拉手模型： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等；
1．（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转得到
(1)求的度数；
(2)若求的长．
2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图，，，求证：；
（3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系．
3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：
图示 思路
将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．
4．（2025·上海·模拟预测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论．
点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处．
(1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由；
(2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长．
5．（2025·贵州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
考向四：直角三角形
【题型9 直角三角形的性质和判定】
1．直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半； ④勾股定理； 2．直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理。
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，，，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．8
2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到．若点的对应点恰好落在边上，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是 ，线段的长的最大值是 ．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
【题型10 勾股定理的证明和应用】
1.勾股定理很少有直接使用的，通常都需要自己添加辅助线构造直角三角形，来使用勾股定理计算线段的长度； 2.常见的勾股数要牢记： 3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数； 3.勾股定理是初中数学中求解长度最重要的方法，没有之一，只要求长度，首先就要考虑勾股定理。
1．（2025·河北保定·一模）图是一个港湾，是码头，是笔直的沟岸，是海岛，在点的正东方向上，点在点北偏东的方向上，点在点北偏东的方向上，，点与点的距离为．现有一艘货船按计划从码头出发后，先停靠海岸上任意点处装货后再开往海岛，则按此计划，货船行驶的水路最短为 km．
2．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
3．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题．
任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）．
工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）．
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：
测量过程：
步骤1：测得多出一小段绳子的长度为；
步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离．
部分求解过程：
设旗杆高度，
∵在中，，
．
∵，
(1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）；
(2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　；
(3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）
4．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺．
5．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离

6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，请利用此图证明勾股定理．

7．（2024·辽宁大连·三模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·陕西西安·二模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成，现将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，大正方形的面积为49，设直角三角形的短直角边的长为，长直角边的长为，则与的关系可以表示为 ．
9．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1．
（1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ．
（2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ．
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在三边长分别为的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016·广西贺州·中考真题）等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．12
4．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
6．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（19-20八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的中线
C．是的边上的高 D．是的角平分线
8．（2025·浙江·一模）如图，在中，点在边上，，，若，，则的长为（　　）
A．10 B． C．8 D．
9．（2025·安徽·一模）点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为20
C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积
D．若，则
10．（2025·安徽六安·一模）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2025·安徽·一模）如图，，则 ．
12．（2025·江苏宿迁·一模）如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为 ．
13．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，．则面积的最大值是 ．
14．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为 ．
15．（2025·浙江·一模）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为 ．
16．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则
三、解答题
17．（2025·安徽·一模）已知等边，点在上，点在延长线上，满足，为上一点，连接，．
(1)若点为中点，求证：；
(2)若，，求的度数．
18．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在中，，，．
(1)在上求作一点P，使；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)求的长．
19．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题：
如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____．
【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法：
（1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______．
【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法．
【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得．
下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点，使，连接，
∵点是的中点，
∴．
∵，，
∴，
∴，，
∴，．
请你补全余下的证明过程．
【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ．
20．（2025·江苏连云港·模拟预测）（1）如图（1），在中，已知．
①求证；
②若是边的中点，连接，求证．
（2）如图（2），在中，已知，且是内的一点，，求证．
答案与解析
考向一：三角形的边和角
【题型1 三角形的三边关系】
1．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 已知三角形的两边长分别是，则第三边的范围是 实际使用三角形三边关系解决问题时，只需要两较小边长之和大于最长边即可； 特殊情况：在等腰三角形中考三边关系时，两腰长之和大于底边长即可，因为一腰+底边>另一腰是必然的； 2.很多求最值或范围的问题也可以借助三角形三边关系解决，不过要找到或者构造由这样三条边组成的三角形：其中两边长度已知，第三边是所求的。 特别强调：利用三角形三边关系求线段长度的范围时需改为：，其中的等号能否取到，要看具体问题，检验是必须的。 3. 三角形三边关系能解决哪些题型： （1）判断三条线段能否构成三角形；（2）求线段长度取值范围；（3）求等腰三角形边长或周长时检验； （4）解决一些特殊的等式问题；（5）证明一些不等关系问题。
1．（2025·河北保定·一模）珍珍用三根木棍首尾相接组成了一个周长为整数的三角形，其中两根木棍的长如图所示，则该三角形是（　　）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题主要考查构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系求出第三条边的范围，再根据周长为整数得到答案．
【详解】解：令第三条边为，
，
，
周长为整数，
，
故该三角形为等腰三角形，
故选B．
2．（2025·江苏镇江·一模）等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．4
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
【详解】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
等腰三角形的周长为12，
它的一条腰长，
，
能组成三角形；
当等腰三角形的一腰长为2时，
等腰三角形的周长为12，
它的底边长，
，
不能组成三角形；
综上所述：它的一条腰长是5，
故选：B
3．（2025·河北·一模）有a，b两根小棒如图所示，现要将a，b两根小棒中的一根剪成两段与另外一根围成三角形，那么下面剪法中，一定能围成三角形的是（　　）
A．a小棒任意剪一刀 B．b小棒任意剪一刀
C．a小棒正中间剪一刀 D．b小棒正中间剪一刀
【答案】D
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
任意三角形的两边之和必须大于第三边，任意两边的差必须小于第三边，据此解答．
【详解】由题图知在中，，，
∴小棒a的长度为．
∵小棒b的长度，
∴小棒a无论怎样剪，都不能和小棒b围成三角形，故选项A、C，不符合题意；
当小棒b剪成两根长度分别为1和5的小棒，小棒a的长度为3时．
∵，
∴不能围成三角形，
故选项B不符合题意；
当对小棒b正中间剪一刀时，两根长度分别为3和3的小棒，由三角形三边关系可知，此时3根小棒一定能围成三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
4．（2025·山东滨州·模拟预测）三角形的三边分别为，，，其中，且满足，，若为整数，则的长是（ ）
A．3或4 B．4或5 C．4或6 D．5或6
【答案】B
【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形的三边关系，解不等式组，先由，，得，解得，结合为整数，即可作答．
【详解】解：∵三角形的三边分别为，，，其中，且，，，
∴，
解得，
∵为整数，
∴的长是4或5，
故选：B．
5．（2025·四川泸州·一模）已知中，， ，第三边的长为一元二次方程的一个根，则三角形的周长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程、确定第三边的取值范围
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
先利用因式分解法解一元二次方程，然后根据三角形三边之间的关系确定第三边的长，最后求出三角形的周长即可．
【详解】解：，
解得：或，
，
，
，，
，
三角形的周长为：
，
故选：．
【题型2 三角形的内角与外角】
三角形三个内角的和为180°； 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的内角和定理和外角的性质本质上是相同的，灵活使用可以方便快捷解决问题； 特殊情况：等腰三角形与顶角相邻的外角等于底角的2倍；
1．（2025·浙江·模拟预测）如图，，平分，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的概念，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点．
由平行得到，由角平分线得到，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵，
∴
∵平分
∴
∴．
故选：C．
2．（2024·湖南·中考真题）等腰三角形一个底角的度数是，则其顶角的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，根据题意，等腰三角形一个底角的度数是，则另一个底角的度数是，根据三角形的内角和，即可求出顶角．
【详解】解：∵等腰三角形一个底角的度数是，
∴另一个底角的度数是，
∴顶角为：．
故答案为：．
3．（2025·广东·模拟预测）如图，在与中，点在上，点在上，且，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解题的关键，根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角性质求解即可．
【详解】解：，，，
，
，，
，
故选：．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，、为等边的两条高，且与相交于点，则图中的直角三角形共有 个．
【答案】6
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质
【分析】本题考查三角形的分类及高线，根据、为等边的两条高得到，即可得到，，，，，是直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵、为等边的两条高，
∴，
∴，，，，，是直角三角形，
故答案为：6．
5．（2025·湖南长沙·一模）如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角、三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出．
【详解】解：∵是的中线，，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
故选：B．
【题型3 三角形中三条重要线段】
三角形中三条重要线段： 1．三角形的中线 看见中线联想：平分线段、平分面积； 常用添加辅助线模型：倍长中线造全等； 2．三角形的高线 看见高线联想：面积、角度（余角）； 常用添加辅助线模型：见特殊角做垂直，构特殊直角三角形、见等腰做底边上高线，构造三线合一； 3、三角形的角平分线 看见高线联想：角相等，平分线的性质、构造全等； 常用添加辅助线模型：见角平分线作双垂、见角平分线作对称、截长补短构全等、见角平分线＋垂直，延长出等腰。 4．线段的垂直平分线： 联想关键词：平分、垂直、全等； 5．三角形的四个重要的心： 重心垂心内心外心三中线交点三高交点三内角平分线交点三边垂直平分线交点性质到顶点和边中点2:1到三边距离相等到三顶点距离相等
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是中线，
∴，
故选：B．
2．（2025·河南开封·一模）如图，是中边上的高．
(1)利用尺规作中边上的高，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】画三角形的高、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了作三角形的高，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）以为圆心，适当长度为半径画弧，交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，最后连接，交于点，即为所求；
（2）根据三角形高的定义可得：，由可得，证明得到，，推出，即可得证．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：是中边上的高，是中边上的高，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即．
3．（2025·安徽亳州·一模）如图，是的中线，点在上，延长交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求长度、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作，构造相似三角形是解题的关键．
先利用三角形的中线的定义得到，过点E作交于G，再根据相似三角形的性质得到，由得到，最后由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵BE是的中线，
∴，
过点E作交AD于G，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
4．（2025·上海崇明·一模）如图，在中，点是重心，过点作，交于点，连接，如果，那么 ．
【答案】18
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质、根据三角形中线求面积
【分析】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，由重心的性质得，根据中线的性质可得，证明得，设，代入可求出，进而可求出．
利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接并延长交于点H，
∵点是重心，
∴是中线，，
∴，，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：18．
5．（2024·广东·模拟预测）如图，在 中，是的角平分线．
(1)实践与操作：用尺规作图法，在上找到一点E使得为以为底边的等腰三角形；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)应用与计算：在（1）的条件下，过点D作交于点F，求证：
【答案】(1)图见解析
(2)见解析
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、作已知线段的垂直平分线、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定及性质，解题的关键是作出相应的辅助线；
（1）理解是需要作线段的垂直平分线即可；
（2）利用垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质证明出，再通过等量代换即可证明．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：作图如下：
是的角平分线，的垂直平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
．
考向二：全等三角形
【题型4 全等三角形的性质与判定】
1.全等三角形性质： 全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应高线，对应中线，对应角平分线等对应元素都相等； 2．全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（只能用于直角三角形） 3．三角形全等的主要用途：证明线段的相等、证明角的相等。 4.构造全等模型的常见方法： （1）翻折法（轴对称法）；（2）旋转法；（3）倍长中线法；（4）截长补短法；
1．（2025·陕西西安·二模）如图，是上一点，，，平分，求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，由角平分线的定义和等腰三角形的性质可得，进而由可得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
2．（2025·福建泉州·一模）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：．
【答案】证明见解析
【知识点】两直线平行内错角相等、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质求角度
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
3．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点、是边上的两点，，连接、，，求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角
【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定；先根据等边对等角得出，即可得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【详解】证明：∵
∴
∴
在中，
∴
∴．
4．（2025·安徽·一模）如图，中，，平面内有点（点和点在的同侧），连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）作交的延长线于点，先证明是等腰直角三角形，再证明，接着证明，得到，借助，得证；
（2）先计算出，，在上取一点，连接，使，算得，然后在中利用30度所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理算得答案．
【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，，
在上取一点，连接，使，
则，
，
，
，
，
，
线段的长是．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）结合平行线的性质求出，，，利用即可证明；
（2）由三角形中位线定理推出，根据全等三角形的性质求出，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【题型5 三角形的角平分线性质与判定】
1．性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2．判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；
1．（2024·云南·模拟预测）在中，的平分线相交于I，过点I且，若，则（　　）
A．8 B．6 C．7 D．5
【答案】A
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等边对等角证明、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，利用“等角对等边”及“等边对等角”证明，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：A．
2．（2024·云南昆明·二模）如图，是的中位线，按以下步骤作图：以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交于点；分别以点为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线交于点． 若 ，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】作角平分线(尺规作图)、根据等角对等边求边长、与三角形中位线有关的求解问题、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的作法和性质，由三角形中位线性质可得，，，推导出，又由作图可知为的角平分线，得到，即可得，得到，进而可得，再根据即可求解，掌握角平分线的作法和三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】∵是的中位线，
∴，，，
∴，
由作图可知，为的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（2025·上海黄浦·一模）已知在中，平分，是延长线上一点，，是延长线上的点，连接．
(1)证明：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义
【分析】（1）由，可得，推出，根据角平分线的定义可得，即可证明；
（2）由平行线的性质可得，推出，可证明，得到，结合，，即可证明．
【详解】（1）证明：，
．
，
．
平分，
，
．
（2），
．
，，
．
又，
，
．
，
．
又，
，
．
4．（2024·山东日照·中考真题）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点．
(1)由以上作图可知，与的数量关系是_______
(2)求证：
(3)若，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．
（1）根据作图可知，为的角平分线，即可得到答案；
（2）根据平行四边形的性质可知，结合，从而推出，即可证明；
（3）过点作的垂线交的延长线于点，根据平行四边形的性质，，，结合，推出，从而得到，，，最后由计算即可．
【详解】（1）解：由作图可知，为的角平分线
故答案为：
（2）证明：四边形为平行四边形
（3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点
四边形为平行四边形，
，
，
又
．
5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，平分交边于点，先画出的角平分线，再在射线上画点，连接，使得；
(2)在图2中，先画的高，再画的平分线．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【知识点】结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、等腰三角形的性质和判定、90度的圆周角所对的弦是直径、三角形角平分线的定义
【分析】（1）利用三角形三条角平分线交于一点，先找出过点的角平分线，确定角平分线交点，再找过点的角平分线，利用全等可得，即转化为作，作出点的对称点，可证得点的对称点、、构成的三角形是等腰三角形，且为其角平分线，利用三线合一可得为中线，即可得点为延长与对称线段的交点；
（2）利用两个直角三角形全等，其中两对应边垂直，则第三边也对应垂直可得高，利用的圆周角所对的弦是直径，可得点在以为直径的圆上，设的平分线与此圆的交点即为格点，则，证明，则为等腰直角三角形，可得，即可确定点位置．
【详解】（1）解：如图：，点即为所求；
理由如下：
如图，利用等腰直角三角形，可作出的平分线，交于点，
由三角形的三条角平分线交于一点，
则为的平分线，
延长交于点，的角平分线即得；
利用对称性作点的对称点，连接，
再利用对称性作点的对称点，连接交延长线于点，
由对称性得，
利用可证，
∴，
∴，
利用，及、为角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
则点即为所求作；
（2）解：如图：即为所求，
理由如下：
如图，∵，，，
∴，
∴，
而，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
则即为所求作；
在过点、、的圆上，，
∵，，
∴，，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴，
∴平分．
【题型6 线段的垂直平分线的性质和判定】
1．性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 2．判定定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的中垂线上；
1．（2025·山东济南·一模）如图，在中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交于点D，连接，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交射线于点E，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】证明出，求出，再由三线合一求出，即可求解．
【详解】解：由题意得，直线垂直平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：（舍负），
∵，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2025·山西吕梁·一模）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，弧线分别相交于点M，N，画直线交于点；②连接并延长，以点为圆心，的长为半径画弧交的延长线于点；③连接，．下列说法错误的是（ ）
A．四边形是平行四边形
B．若与重合，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是正方形
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质、证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、证明四边形是菱形
【分析】此题考查了平行四边形和特殊平行四边形的判定，根据题意逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴四边形是平行四边形，故A选项正确；
若与重合，则与互相垂直平分，
∴四边形是菱形，故选项B正确；
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
若，则，
∴四边形是矩形，故选项C正确；
若，无法证明四边形是正方形，故选项D错误．
故选：D．
3（2025·江苏镇江·一模）如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点D，连接．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、线段垂直平分线的性质、等边对等角
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答．
【详解】解：，，
，
是的平分线，，
，
点D在的垂直平分线上，
，
，
。
故选：B.
4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，．按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点G；③作射线．若，D为边的中点，E为射线上一动点，则的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解
【分析】由题意得，为的角平分线，在上截取，可得是等腰直角三角形，继而得到垂直平分，则为点A关于的对称点，连接，交于点E，此时最小，即的值，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得，为的角平分线，
在上截取，
，
是等腰直角三角形，
，，即垂直平分，
为点A关于的对称点，
连接，交于点E，
，
此时最小，即的值，
，为边的中点，
，，
，
即．
故选：B．
5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交，，于点E，F，G，连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查了菱形的判定，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
根据垂直平分线的性质得出，,，则,进而得出，则,通过证明，得出,即可求证四边形是平行四边形，最后根据，即可求证四边形是菱形．
【详解】证明：∵是的垂直平分线，
∴，,，
∴,
∵平分，
∴,
∴，
∴,
∵，，，
∴，
∴,
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
考向三：等腰三角形
【题型7 等腰三角形的性质与判定】
1．等腰三角形的性质：①等腰三角形有轴对称性，对称轴有1或3条；②等边对等角；③“三线合一” 2．等腰三角形的判定：①证两边相等；②证两角相等； 3．等边三角形的性质：①三边相等；②三个角都等于60°；③“三线合一”； 4．等边三角形的判定：①三边相等；②三个角都相等；③60°+等腰三角形。
1．（2025·重庆·模拟预测）如图，中，，，平分，，过作于点，则长为 ．
【答案】/
【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
延长交于点，过点作交于点，得到为等腰三角形，由可证明，得到，求出，根据得到，即可得到答案．
【详解】如图，延长交于点，过点作交于点，
平分，
为等腰三角形，
点为中点，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，是上一点，．若，则 °．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，多边形的内角和，三角形的内角和定理。解题的关键是正确作出辅助线．分别延长、交于点，由平分，，可得，，得到，，由，可推出，，在四边形中，根据多边形的内角和求出，由，，可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：如图，分别延长、交于点，
平分，，
，，
，，
，
，，
，
在四边形中，，即，
，
，，
，
，
故答案为：．
3．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点E，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【详解】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据旋转性质可知：，，．从而得到，，．过点C作于H点，在中，求出和长，在中可求长，利用即可求解．
【解答】解：根据旋转过程可知：，，
∴．
∴．
∴．
如图，过点C作于H点，
在中，，
∴，．
∴．
在中，，
∴．
∴．
故答案为：．
4．（2025·陕西西安·二模）如图，点C在线段上，．求证：．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．
由，根据“”证明，得，则．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
5．（2025·湖南长沙·一模）如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
(1)求证：；
(2)若，，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质证明、折叠问题
【分析】（1）由折叠得到，，，然后得到，即可证明出；
（2）首先根据平行四边形的性质得到，，然后由全等得到，得到，即可证明出为等腰直角三角形．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可得，，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【题型8 等腰三角形常见模型】
与等腰三角形有关的常见模型有以下几种： 1.角平分线+平行 2.手拉手模型： 条件：两个顶角相等的等腰三角形有一个公共的顶角顶点 结论：有SAS类三角形全等；
1．（2024·云南昆明·一模）如图，在等腰直角中，点D在上，将绕顶点B沿顺时针方向旋转得到
(1)求的度数；
(2)若求的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，本题中利用全等三角形得出线段和角相等是解题的关键．
（1）根据旋转的性质结合等腰直角三角形的性质得到，计算即可；
（2）由（1）知，，得到，，利用勾股定理求出，再证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可解答．
【详解】（1）解：是由旋转得到的，为等腰直角三角形，
∴，，
，
；
（2）解：∵，
由（1）知，，
∴，，，
在中，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴（负值舍去）．
2．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】
它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手．
【模型探究】
（1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ．
【模型应用】
（2）如图，，，求证：；
（3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ．
【拓展提高】
（4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示）
（5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系．
【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析
【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可；
（2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可；
（3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可；
（4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得；
（5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可；
【详解】解：（1）如图，
和均为等边三角形，
，，．
．
在和中，
，
．
．，
为等边三角形，
．
点，，在同一直线上，
．
．
．
故答案为：，．
（2）证明：如图中，延长到，使得．
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
．
．
（3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示：
与都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为：；
（4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．
由（1）可知，
，，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
（5）且；
理由如下：，
．
．
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
综上所述：且．
3．（2024·河南驻马店·二模）【问题发现】
（1）在数学活动课上，赵老师给出如下问题：“如图1 所示， 是等腰直角三角形，，，点D在上，连接，探究，，之间的数量关系．”王林思考片刻之后，利用手拉手模型解答问题如下：
图示 思路
将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，易证，得到，，在 中，易得 ，由，得，， 之间的数量关系为_______．
【类比分析】
（2）如图2所示，当点在线段的延长线上时，请问（1）中的结论还成立吗？请给出判定，并写出你的推导过程；
【拓展延伸】
（3）若（1）中的点 在射线上，且 请直接写出的度数．

【答案】（1）；（2）（1）中结论成立，见解析；（3）75°或15°
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据特殊角三角函数值求角的度数
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是灵活运用这些性质，并正确作出辅助线．
（1）根据题意可得是直角三角形，根据勾股定理和全等三角形对应边线段相等即可求解；
（2）将线段绕点逆时针旋转得线段．可证明，进而得到，，进而证明，进而得到在中，，再根据勾股定理即可求解；
（3）分两种情况讨论：当点在上时，当点在延长线上时，在利用前面结论在中得， 得，进而得出．
【详解】证明：（1）将线段绕点 逆时针旋转得线段，连接，，
，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）（1）中结论成立．
理由：将线段绕点逆时针旋转得线段．
如图1所示，连接，．

∵ 为等腰直角三角形，
∴，．
由旋转性质可知为等腰直角三角形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴，．
；
在中，且
（3）如图所示，当点D在上时，

同理可得：，，，，
∴在中，
∴．
∵，
∴；
如图3所示，当点在延长线上时，，，

∴．
综上所述，的度数为或．
4．（2025·上海·模拟预测）翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论．
点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处．
(1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由；
(2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论；
（2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：设的长为x，由折叠得，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴的长为．
5．（2025·贵州·模拟预测）如图，内接于，是的直径，，于点，交于点，交于点，，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)判断的形状，并说明理由；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)等腰三角形，理由见解析
(3)4
【知识点】等腰三角形的性质和判定、利用垂径定理求值、圆周角定理、证明某直线是圆的切线
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定与性质，垂径定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质证出，由切线的判定可得出结论；
（2）由垂径定理得出，，证出，由直角三角形的性质得出，则可得出结论；
（3）由（2）可知，，，则可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：为等腰三角形，
理由：，
，，
，
，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
，
即为等腰三角形；
（3）解：由（2）可知，，，
，
，
，
，
．
考向四：直角三角形
【题型9 直角三角形的性质和判定】
1．直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角互余； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半； ③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半； ④勾股定理； 2．直角三角形的判定： ①有一个角是90°的三角形时直角三角形； ②有两个角互余的三角形是直角三角形； ③勾股定理的逆定理。
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，，，点在上，且，点和点分别是和的中点，则的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．8
【答案】B
【知识点】根据等边对等角证明、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了勾股定理，三线合一，直角三角形斜边的中线，证明是解答本题的关键．由勾股定理求出，由三线合一得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵，，，
∴．
∵，E是的中点，
∴，
∴．
故选B．
2．（2025·湖南长沙·一模）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点落在斜边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题
【分析】本题考查了折叠、勾股定理、含的直角三角形的性质，找准相等关系是解题的关键．
根据折叠得到，，再结合含的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：由折叠的性质可知：，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
根据勾股定理，得，
∴，
解得：．
∴．
故选：A ．
3．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到．若点的对应点恰好落在边上，连接，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，等要直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，，，，，推出，得到，推出，，得到是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：由旋转可得：，，，，，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
的面积为，
故选：B．
4．（2025·河南开封·一模）如图，在中，，，．为上的一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点，，则线段的长是 ，线段的长的最大值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，关键掌握角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可．
【详解】解：连接，过点F作于H，
，，，
．
垂直平分，
．
若要使最大，则需要最小，
设，则，
，
．
(垂线段最短)，
，
解得．
最小值为，的最大值为．
故答案为：．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为 ．
【答案】
【知识点】y=ax +bx+c的最值、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，过作于，根据等边三角形可得，，都是直角三角形，设，利用直角三角形的性质和勾股定理即可表示出，，然后根据列出解析式，最后根据二次函数的性质求最大值即可．
【详解】解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
【题型10 勾股定理的证明和应用】
1.勾股定理很少有直接使用的，通常都需要自己添加辅助线构造直角三角形，来使用勾股定理计算线段的长度； 2.常见的勾股数要牢记： 3,4,5及其倍数；5,12,13及其倍数；7,24,25及其倍数；8,15,17及其倍数； 3.勾股定理是初中数学中求解长度最重要的方法，没有之一，只要求长度，首先就要考虑勾股定理。
1．（2025·河北保定·一模）图是一个港湾，是码头，是笔直的沟岸，是海岛，在点的正东方向上，点在点北偏东的方向上，点在点北偏东的方向上，，点与点的距离为．现有一艘货船按计划从码头出发后，先停靠海岸上任意点处装货后再开往海岛，则按此计划，货船行驶的水路最短为 km．
【答案】5
【知识点】最短路径问题、与方向角有关的计算题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握线段最短来解题是解题的关键．作点关于直线的对称点，连接，，由题意得到当三点共线时，路线最短，即可得到答案．
【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，，连接交直线于点，连接，
，
则，
根据两点之间线段最短，得到，
即，
仅当三点共线时，路线最短，
由题意可知，，
，
，
，
则是直角三角形，且，
．
故答案为：．
2．（2024·上海宝山·一模）在马拉松比赛过程中，嘉琪和李明之间一直用最远对讲距离为300米的对讲设备联系．嘉琪运动到A点时，嘉琪用对讲机与朋友李明联系，李明告知嘉琪正在通过路口B向C运动后，就失去了联系，已知嘉琪的跑步速度为，李明的跑步速度为，，足够长，多少秒后他们再次取得联系？（ ）
A．150s B．60s C．100s D．不会再取得联系
【答案】B
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及勾股定理的应用，理解题意并画出相应的图形是解题的关键．设秒后他们再次取得联系，依题意，，然后用含的代数式表示出和，利用勾股定理列方程求解．
【详解】解：如图，设秒后他们再次取得联系，此时嘉琪运动到点，李明运动到点，
依题意：，
则，，
由勾股定理有，
即，
解得或（不合题意 ，舍去），
60秒后他们再次取得联系．
故选：B．
3．（2024·福建三明·三模）综合实践：阅读下列材料，解答问题．
任务：如图1，现要测量某校旗杆的高度（系在旗杆顶端的绳子垂到地面，并多出一小段）．
工具：一把皮尺（测量长度达不到旗杆长一半）．
李明学习小组测量过程和部分求解过程如下（如图2）：
测量过程：
步骤1：测得多出一小段绳子的长度为；
步骤2：将绳子拉直，绳子末端与地面接触点为A，测得A点到旗杆底部C点距离．
部分求解过程：
设旗杆高度，
∵在中，，
．
∵，
(1)根据李明学习小组求解过程，请直接写出旗杆高度　　（用含a，b的代数式表示）；
(2)李明学习小组求解过程，所用到的几何知识是　　；
(3)请你利用所提供的工具，通过2次测量，设计另外一种方案，写出你的测量和求解过程．（测量得到的长度用字母m，n表示）
【答案】(1)
(2)勾股定理
(3)测量方案见解析，
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，把所求线段放在直角三角形中利用勾股定理求解是解决本题的关键．
（1）把整理后可得h的值；
（2）直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是勾股定理；
（3）可构造一个以旗杆高为斜边的直角三角形求解，先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点D处，将绳结举至离旗杆远，此时绳结离地面远，根据勾股定理可得旗杆的高度．
【详解】（1）解：设旗杆高度，
∵在中，，
．
∵，
，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
（2）解：在（1）中知，在中，，根据勾股定理得：
，即，
∴所用到的几何知识是勾股定理，
故答案为：勾股定理．
（3）解：测量方案如下：
先在旗杆底端的绳子上打一个结，然后举起绳结拉到点处，将绳结举至离
旗杆远，此时绳结离地面远，
解答过程：作 垂足为点E，如图：
由测量得， ，
在中，
，
，
4．（2024·江苏无锡·一模）我国明朝数学家程大位在其所著的《算法统宗》中记载着这样一个问题：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记，大致意思是：一个秋千静止时踏板到地面的距离是1尺，在秋千绳索拉直时将秋千的踏板在水平方向上向前推了两步后，秋千的踏板便与高5尺的人齐（注：古时1步尺），则这个秋千的绳索长为 尺．
【答案】
【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，则，根据勾股定理得到，求出的值即可．
【详解】解：设这个秋千的绳索，

则，
，
，
∵，，
，
，
∴这个秋千的绳索有尺．
故答案为：．
5．（2024·安徽·一模）甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离

【答案】甲、乙两船之间的距离为海里．
【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)
【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，，
∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，
∴，
∴，
∴，
∴甲、乙两船之间的距离为海里．
6．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，请利用此图证明勾股定理．

【答案】见解析
【知识点】勾股定理的证明方法、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，作于点，证明得，同理可证，两式相加即可证明勾股定理．
【详解】如图，作于点，则

∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
同理可证，
．
7．（2024·辽宁大连·三模）在学习了《勾股定理》一课后，小明同学对于它的证明方式非常好奇，并动手操作，完成了其中一些证明并给出了示意图．请你根据示意图帮助小明同学判断，一定不能完成定理证明的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明方法、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题关键是掌握通过不同的方法计算证明勾股定理的方法．用不同方法，逐一进行证明，即可获得答案．
【详解】解：A.设计的图形中，如下图，

∵，
∴，
∴，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意；
B.设计的图形中，如下图，

∵，
∴，
∴，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意；
C.设计的图形中，不能完成勾股定理的证明，符合题意；
D.设计的图形中，如下图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴可完成定理证明，故本选项不符合题意．
故选：C．
8．（2025·陕西西安·二模）如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成，现将这四个直角三角形拼成如图2所示的大正方形，大正方形的面积为49，设直角三角形的短直角边的长为，长直角边的长为，则与的关系可以表示为 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查了勾股定理，正方形和三角形面积公式，完全平方公式，准确识图找准等量关系是解题关键．
根据图形分析可得大正方形的边长即为直角三角形的两条直角边长度之和，据此解答即可．
【详解】解：由题意可得大正方形的边长即为直角三角形的两条直角边长度之和，
∴，即（负值舍去），
故答案为：（答案不唯一）
9．（2024·河北·模拟预测）如图1，嘉嘉用四个全等的直角三角形拼接了一个“赵爽弦图”，其中大正方形的面积为25，小正方形的面积为1．
（1）如图2，连接得到一个风车图案（阴影部分），则风车图案的周长为 ．
（2）如图3，连接，交于点P，交于点M，则 ．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、以弦图为背景的计算题、根据正方形的性质证明
【分析】（1）根据题意在中，利用勾股定理求出的长即可求出答案；
（2）根据正方形的性质证明，得到，再根据即可求解．
【详解】（1）∵正方形的面积为25，正方形的面积为1
∴正方形的边长为5，正方形的边长为1
设，
∵四个直角三角形全等，
∴，则
在中，，即，解得：（负值舍去）
∴，
∵
∴
同理可得：，，
∴风车图案的周长为；
（2）∵四边形是正方形，
∴
∵四个直角三角形全等，
∴
∴，即
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴
∴
∴
10．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ．
【答案】
【知识点】以弦图为背景的计算题
【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长．
【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，
且，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：．
（建议用时：30分钟）
一、选择题
1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，．若的面积是8，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】根据三角形中线求面积
【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．根据三角形的中线与面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵点D是边的中点，的面积等于8，
∴，
∵E是的中点，
∴，
故选：A．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）在三边长分别为的直角三角形中，下列数量关系不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系和勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，如果a、b为一个直角三角形的两条直角边，c为斜边，那么．
根据三角形三边关系，结合勾股定理进行判断即可．
【详解】解：∵a、b、c分别为直角三角形的三条边，且，
∴c为斜边，a、b为直角边，
∴，且，
故A、B成立，不符合题意；
∵，，且，，
∴，
∵，，
∴，
故C成立，不符合题意．
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
故D不成立，符合题意；
故选：D．
3．（2016·广西贺州·中考真题）等腰三角形的两边长分别为4，8，则其周长为：（ ）
A．16 B．20 C．16或20 D．12
【答案】B
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键．
分两种情况：当4为腰长，8为底边长时，不符合三角形三边关系，该三角形不存在；当8为腰长，4为底边长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长．
【详解】解：分两种情况：
当4为腰长，8为底边长时，
∵，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当8为腰长，4为底边长时，
∵，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为：．
故选：B．
4．（2024·河北·模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点A，B对应的数分别为，5，从点C，D两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点C对应的数为，则点D在数轴上对应的数可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】求不等式组的解集、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得，，设D对应的数为x，根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择．
【详解】解：设D对应的数为x，
∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为，
∴，，，，
根据题意，，，
则，
解得，
∴点D在数轴上对应的数可能为2，
故选：A
5．（2025·广东清远·一模）在2024年10月的广交会现场，某商家的展台是一个不完整的正多边形图案，如图，小李量得展台中一边与对角线的夹角，则这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形的外角问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键．
根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，，
∴
∴
∴这个正多边形的一个外角为，
所以这个多边形的边数为，
故选：C．
6．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，为中点，，若的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据三角形中线求面积、由平行截线求相关线段的长或比值
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，平行线分线段成比例，根据三角形的中线的性质可得，根据平行线分线段成比例可得，再根据三角形中线平分三角形面积即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，
∴，
∵
∴
∴
∴，
故选：B．
7．（19-20八年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E．F为上一点，，垂足为H．下列判断正确的是（ ）
A．是的角平分线 B．是的边上的中线
C．是的边上的高 D．是的角平分线
【答案】C
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
【详解】解：A、根据三角形的角平分线的概念，∵，∴是的角平分线，是的角平分线，故原说法不正确；
B、根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故原说法不正确；
C、根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故原说法正确；
D、根据三角形的角平分线和高的概念，知是的高线，故原说法不正确．
故选：C．
8．（2025·浙江·一模）如图，在中，点在边上，，，若，，则的长为（　　）
A．10 B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】根据，得到垂直平分，继而得到，得到，结合，，得到，于是，解答即可．
【详解】解：∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．（2025·安徽·一模）点E是矩形内一点，连接，已知，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为20
C．若的面积等于的面积，则的面积等于的面积
D．若，则
【答案】D
【知识点】三角形三边关系的应用、用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、利用矩形的性质证明
【分析】由全等三角形的性质得，然后根据可证，可判断A正确；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出的最小值为20，可判断B正确；根据可判断C正确；由点E是动点可判断D不正确．
【详解】解：如图，
A∵，∴．∵四边形是矩形，∴，∴，故正确；
B．连接，∵，∴． ∵，，∴的最小值为20，故正确；
C．∵，的面积等于的面积，∴的面积等于的面积，故正确；
D．∵点E是动点，∴由不能求出，故不正确．
故选D．
10．（2025·安徽六安·一模）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可．
【详解】，，
点是边上的点，
，故②错误；
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，在以为直径的圆上，
，，故④正确；
，
，故①正确；
，
，
，故③正确．
故选C．
二、填空题
11．（2025·安徽·一模）如图，，则 ．
【答案】/度
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了等腰直角三角形，含30度角的直角三角形，三角函数值的计算，掌握锐角三角函数值的计算方法是解题的关键．
如图所示，过点作于点，则，可得，则，在中，，设，根据锐角三角函数值的计算得到，，，，在中，，根据锐角三角函数的计算，得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
如图所示，中，，，，过点作于点，则，设，
∴，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
12．（2025·江苏宿迁·一模）如图，，点是线段的中点，点在射线上运动，过点作交射线于点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查三角形中位线的性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，分别取的中点，连接，易证是的中位线，得到，根据直角三角形的性质可得，当时，有最小值，即有最小，即可得到有最小值，证明四边形是矩形，得到，进而得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：分别取的中点，连接，
则是的中位线，
∴，
∵，
∴是直角三角形，且，
∴，
当时，有最小值，即有最小，
∵为定值，
∴有最小值，
此时，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
13．（2025·江苏连云港·模拟预测）在中，．则面积的最大值是 ．
【答案】4
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式，如图，设，，由已知可得，再由得，进而得，即可得出答案．
【详解】解：如图，
设，，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴面积的最大值是4．
故答案为：4．
14．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，，，是等边三角形，当最大时，的面积为 ．

【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形三边关系的应用
【分析】先作等边，连接，再证明，可得，然后根据三角形三边关系可得，当时，最大，可作出图形，接下来求出等边三角形的边长，即可求出面积．
【详解】解：如图所示，根据题意可知点D在以为直径的半圆上运动，

在的另一侧作等边，连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
在中，，
当时，即点F，O，D三点共线时，最大．
如图所示，作，交于点G，
∵，
∴．
在中，，，
即，
解得．
在等边中，，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．

15．（2025·浙江·一模）如图，在中，是上的中线，交于点，．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】根据三角形中线求长度、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】取的中点G，连接，，利用三角形中位线定理和勾股定理解答即可．
【详解】解：取的中点G，连接，
∵是上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（2025·河南周口·一模）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，过点D，E作直线，交于点O，交于点P．，，则
【答案】20
【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，得到是垂直平分线是解答的关键．先由作图得，，由勾股定理求得即可求解．
【详解】解：由题意，得是垂直平分线，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：20．
三、解答题
17．（2025·安徽·一模）已知等边，点在上，点在延长线上，满足，为上一点，连接，．
(1)若点为中点，求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】（）延长至使，连接，，，证明，则有，，所以，
再证明，由性质得，，从而证明为等边三角形，通过等边三角形的性质即可求证；
（）延长至使，交于，由等边三角形的性质得，证明，则，所以 ，则有，，证明，通过全等三角形的性质得，最后通过三角形外角性质即可求解．
【

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