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河北省名校联考2025届高三模拟测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的取值范围( )
A. B. C. D.
4.的值为( )
A. B. C. D.
5.定义在上的函数其导函数为，若为偶函数，则( )
A. B. C. D.
6.已知为等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
7.某测试需测试者先后抽取三道题目回答，一旦某次答对抽到的题目，则测试通过，否则就一直抽题到第三次为止，已知甲答对该测试中每道题目的概率都是，若甲最终通过测试，则甲回答两次的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径作圆，以椭圆右顶点为圆心，以长轴长为直径作圆，过动点作直线与圆切于点，作直线与圆切于点，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.据网络平台最新数据，截止到年月日时分，电影哪吒之魔童闹海总票房含点映、预售及海外票房已超亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的人为样本，统计他们年龄并绘制了如下图所示频率分布直方图，则( )
A. B. 该场观众年龄平均数的估计值为
C. 该场观众年龄众数的估计值为 D. 该场观众年龄分位数的估计值为
10.平面内由满足的点形成曲线( )
A. 上的点与原点的最近距离为 B. 上的点与原点的最远距离为
C. 的周长为 D. 围成区域的面积为
11.如图设二面角的大小为，在平面内有一条射线，它和棱的夹角为，和平面所成的角为，射线在面内射影和棱的夹角为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中常数项为 ．
13.已知函数，函数，且，则的最小值为 ．
14.若按照某对应法则，平面点集中的每一点都有唯一的实数与之对应，则称为上的二元函数且称为的定义域，点对应的为在点的函数值，记作若点的横，纵坐标，均为整数，称点为整数点现有，则函数的最小值为 ，方程的整数点为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司为了解用户对于公司手机软件使用的满意情况，在五个不同地区随机抽取用户进行调研，调查结果如下表：
地区 Ⅰ区 Ⅱ区 Ⅲ区 Ⅳ区 Ⅴ区
调研用户人数
满意率
某区满意率是指：该区调研用户中满意人数与该区调研用户总人数的比值
假设用户是否满意相互独立．
从所有的调研用户中随机抽取人，求这个用户满意的概率
用上表数据中每地区使用软件的满意率估计该地区某用户使用软件满意的概率从Ⅰ区所有使用该软件的用户和Ⅱ区所有使用该软件的用户中各随机抽取人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望
16.本小题分
已知函数在点处的切线斜率为．
求在点处的切线方程
若，求证：．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求证：
若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，为直角，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．
求证：
求平面与平面夹角的余弦值
在内不含边界是否存在点，使直线与直线、所成的角均为，若存在，求点到点的距离若不存在，请说明理由．
19.本小题分
双曲线过点，离心率，，为双曲线的左右焦点．
双曲线上一动点到右焦点的距离和点到直线的距离的比为定值，求的值
当点在双曲线右支上时，求内切圆的标准方程
作直线与的左支交于点，得到，然后作直线交双曲的右支于，得到，再作直线与的左支交于点，得到，再作直线交双曲的右支于，得到，依此方法一直继续下去设的内切圆为，的内切圆为，的内切圆为，的内切圆为，，证明圆，，，，的周长和小于．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.，
15.解：由题意知，样本中五个地区的回访用户的总数是，
满意的用户人数，
故所求概率为．
，，设事件为“从区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，
事件为“从Ⅱ区所有使用该软件的用户中随机抽取的人满意”，且、为独立事件．
根据题意，估计为，估计为．
则
．
的分布列为
的期望．
16.解：因为，则且，
因为在点处的切线斜率为，则，
即，则，
所以，
所以，
故在处的切线方程为；
由，知，
要证：，即证，
即，
设，，
得，
设，
则，
因为，故，
所以在上单调递增，
又，
所以时，，得单调递减，
时，，得单调递增，
则的最小值为，
所以，
即．
17.解：证明：由得，
由正弦定理得A.
，
得，
即．
因为，为三角形内角，
所以，或舍去，
．
，
由正弦定理，得，，
．
又，，
得．
因为为锐角三角形，则，且，
则，，解得，、
所以周长的取值范围为
18.解：证明：底面为直角梯形，，为直角，
，，
，，得，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，
又平面，
，
又侧面为等腰直角三角形，，
，，平面，
平面，
又平面，
所以
平面平面，平面平面，
可过点作垂足为，
由题意知为等腰直角三角形，
故点为线段的中点，且，
分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴，以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
得，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，即
可取，
设平面的一个法向量为，
则，即，可取，
设平面与平面的夹角为，
则，，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
因点在内不含边界，
可设，
由知，，，，
则，
，
且直线与直线、均成角，
则，
又由题意知，
所以，
即，得
，
整理得，
即或，
又由，得，
即，
当时，，解得或，
当时，，
因为点在内不含边界，得，，，
故，舍去；
当时，，此时符合题意，，
当时，，
得，解得，此时，
因为点在内不含边界，得，，，
故，舍去．
综上存在点在内不含边界，使得直线与直线、均成角，
且点到点的距离为．
19.解：由题意可知，解得，，，
所以双曲线的方程为
动点到右焦点的距离和点到直线的距离的比为定值，
得，
两边平方得，
又代入，得，
则，解得．
的圆心记为，分别过点作垂直于于点，
垂直于于点，垂直于于点，
由题意可知，，，
所以，
，即是双曲线的右顶点，
可知的内切圆圆心横坐标均为，
由知到右焦点的距离和点到直线的距离的比为定值，
，则，
设的内切圆半径为，
由等面积法得，
得，
所以的内切圆圆心为，半径为，
圆的方程为；
由知的内切圆方程为，
且右支上的点与，构成的三角形内切圆圆心横坐标均为，
则由双曲线对称性，得左支上的点与，构成的三角形内切圆圆心横坐标均为，
设为奇数，如图：
设，为按题意中方法依次所作两个三角形，的内切圆圆心，
设圆，的半径分别为，，
可得，，且，与点共线，均在的角平分线上，
所以，
由双曲线的对称性，为偶数时，同样得到，
又，
所以，，，，的半径构成以为首项，为公比的等比数列，
即，
则圆，，，，的周长和为：
．
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