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2025年湖北省武汉市华大新高考联盟高考模拟
数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知某机械在生产正常的情况下，生产出的产品的指标参数符合正态分布现从该机械生产出的所有产品中随机抽取件，则这件产品的质量指标分别在和的概率为运算结果保留小数点后两位( )
参考数据：若服从正态分布，则，，．
A. B. C. D.
4.已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知在四面体中，为等边三角形，，的面积为，点在平面上的投影为点，点，分别为，的中点，则( )
A. 与相交
B. 与异面
C.
D.
6.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满十进一就是十进制，满八进一就是八进制，即“满几进一”就是几进制，不同进制的数可以相互转换，如十进制下，，用八进制表示这个数就是现用八进制表示十进制的，则这个八进制数的最后一位为( )
A. B. C. D.
7.已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在平面上不含三棱柱的顶点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且
，若的内心为，且与共线，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，其中，则( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 在上单调递减
D. 在上有个零点
10.已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B.
C. D.
11.世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，用标准差表达并论证了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计切比雪夫不等式定义为：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，不等式成立已知某试验田对一种新型作物进行种植实验，现抽取部分作物的高度进行调研，所得数据统计如下表所示：
作物类别 数量 作物平均高度 作物高度的方差
雄性作物
雌性作物
由本次的试种可知，该新型作物的高度受到环境、肥料等一系列因素的影响，每株作物成长到达标高度的概率为，则下列说法正确的是( )
A. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的平均值为
B. 本次种植实验中被调研的所有作物的高度的方差为
C. 为了保证下一次种植实验中至少有的作物的高度达到预定达标高度的频率大于且小于，则根据切比雪夫不等式可以估计下一次最少种植株
D. 经过几次实验之后，作物最终成长的高度到达及以上的频率为，若种植株此类作物，则作物存活株的概率最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，则 ______．
13.已知在梯形中，若为边上靠近的三等分点，且，则 ______．
14.已知，则，的最大公约数为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了了解某地岁居民的工资情况，研究人员随机抽取了部分居民进行调查，所得数据统计如下表所示：
工资超过 工资不超过 合计
男性居民
女性居民
合计
完善上述表格并依据小概率值的独立性检验，能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性？
以频率估计概率，若在该地所有居民中随机抽取人，求至少人工资超过的概率．
附：，
16.本小题分
已知数列的首项为，前项和为，且．
求数列的通项公式；
求满足的的最小值；
已知，记数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数已知函数．
若在上为凹函数，求实数的取值范围；
已知，且在上存在零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆过点，，过点的直线与交于，两点，其中．
求椭圆的方程；
若直线的斜率为，求的值；
已知，直线交轴于点，若四边形为等腰梯形，求直线的方程．
19.本小题分
已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，，．
求三棱锥外接球的表面积．
设为线段上的点．
若，求直线与平面所成角的正弦值．
平面过点，，且平面，探究：是否存在点，使得平面与平面之间所成角的正切值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：完善表格如下表所示：
工资超过 工资不超过 合计
男性居民
女性居民
合计
零假设：依据小概率值的独立性检验，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性，
则，
故依据小概率值的独立性检验，假设成立，不能认为工资的多少与居民的性别具有相关性；
记至少人工资超过为事件，
则．
16.解：数列的首项为，前项和为，且，
可得，即有，
则时，，
上式对也成立，
则，；
由，即，化为，
解得，由于，可得的最小值为；
证明：，
数列的前项和，
由数列是递增数列，可得，
所以．
17.解：，
则，
依题意知，对任意的恒成立，则恒成立，
令，，
则，
故在上单调递增，故，
则实数的取值范围为；
依题意得，，
若，当时，，，
所以，在上无零点，舍去；
若，则，令，
则，则在上单调递减，且，
若，即，此时，
则存在，使得，即，
故F在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，
令，解得，
因为，且，
所以存在唯一的，使得满足条件；
若，即，此时，在上单调递减，
又，所以，不合题意，舍去．
综上所述，实数的取值范围为．
18.解：因为椭圆过点，，则，
解得，所以椭圆的方程为．
直线的斜率为，则直线的方程为，
联立，消去并整理得，
故，
故．
因为四边形为等腰梯形，则必有，即．
不妨设点的坐标为，的中点为，则必有．
要求直线的斜率，只需要转化为求点的坐标，则有．
而，则直线的方程为，
令，则有．
不妨设直线的方程为，
则有，即．
联立方程，消去得，
则有，则有，
则有，所以，
所以，
所以，故所求直线的方程为．
19.解：因为，，，
故AC，
故为直角三角形，即，
而，，，平面，
则平面又因为平面，
所以平面平面，
过的外接圆圆心作直线垂直于平面，过线段的中点作直线垂直于平面，其中，
则即为三棱锥的外接球球心，
则，
故，
故三棱锥外接球的表面积；
以的中点为原点，直线为轴，平行方向为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
而，故，，．
设为平面的法向量，
则，则，
令，则为平面的一个法向量，
而，
故直线与平面所成角的正弦值．
Ⅱ由可知，，
设平面的法向量为，
则，
令，则．
如图，建立空间直角坐标系，记直线平面，直线平面，连接，
因为平面，平面平面，所以，
不妨设，则，，
则，故，
同理可得，，
则有，，
设平面的法向量为，
则，则
解得，设，则，
故，
所以，
化简得，
解得或，
设，则，则，
解得，
故．
当时，，
因为，所以，
化简得，解得，满足要求；
当时，．
因为，所以，
化简得，解得，满足要求．
综上所述，的值为或．
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