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2025年山西省太原市高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知的三条边长分别为，，，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得的图象经过点，则( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为，且，是以为公差的等差数列，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有三个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知样本数据，，，的平均数为，方差为，样本数据，，，的平均数为，方差为，则下列结论正确的是( )
A. 数据，，，的平均数为
B. 数据，，，的方差为
C. 数据，，，，，，，的平均数为
D. 数据，，，，，，，的方差为
10.已知函数，若，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知动点到点和直线的距离和为，记其轨迹为曲线点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是( )
A. 曲线的方程为
B. 对于任意，都存在点，，使得成立
C. 当时，若点，关于点对称，则
D. 若点，关于点对称，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是______用数字作答
13.已知圆台的上、下底面的半径分别为和，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为______．
14.对于数列称为数列的阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，已知数列，，且为数列的阶商分数列，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
求；
若是边上一点，且，，求的值．
16.本小题分
已知函数，．
讨论函数的单调性；
当时，若恒成立，求的值．
17.本小题分
如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形．
求证：；
若，点是线段上一点，二面角的余弦值为，求的长．
18.本小题分
已知圆：，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
设点，，直线，分别与曲线交于点，点异于点．
求证：直线过定点；
若，为垂足，求点的轨迹方程．
19.本小题分
某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
顾客在该商场内的消费额每满元，可获得张奖券；
每张奖券可以进行次抽奖活动，即从装有个白球、个红球的盒子中，随机摸取个球每个球被摸到的可能性相同奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会该抽奖机会无需使用新的奖券，继续从当前盒子中随机摸取个球，其奖励规则不变；
从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
若顾客获得份礼品即该顾客将个红球都摸出或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第张奖券抽奖，中奖”的概率；
顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第份礼品时，共使用了张奖券”的概率；
顾客丙消费了元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求的分布列及其期望．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由得，
由余弦定理得，
所以，
在中，，
所以；
设，，所以，
所以，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，
所以，
即，
所以．
16.解：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得，单调递减；由，得，单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
令，，
则，
当时，恒成立，得，恒成立，而，因此是函数的最小值，
又在可导，则是的极小值点，，解得，
当时，，，
令，，求导得，
由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
因此，当且仅当时取等号，
所以．
17.解：证明：设是的中点，连结，，
平面，，
是等边三角形，，
平面平面，
平面，
，，，，共面，
四边形边长为的菱形，，，
在中，，
，，
四边形为菱形，，，
，平面，．
由得，，平面，
，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图，所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则，，
设是平面的一个法向量，
则，
取，则，，，
二面角的余弦值为，
，
或舍去，
．
18.解：设是的中点，，连接，，
因为以为直径的圆与圆相外切，
可得且，
，
故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的右支曲线，
则，
所以，，
曲线的方程为．
证明：设，，直线的方程为，
由
得，
，，
直线的方程为，令，则，
直线的方程为，令，则，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
或，
当时，直线的方程为，令，即，，
直线过定点；
当时，直线的方程为，令，即，，
直线经过点，即点与重合，与题意不符．
由知直线过定点，记其为点，
由可知垂足在以为直径的圆上，
，，
点的轨迹方程为．
19.解：设事件为“甲使用第张奖券抽奖，中次奖”，
所以“甲使用第张奖券抽奖，中奖”的概率
；
设事件为“乙使用第张奖券抽奖，中次奖”，
所以“乙获得第份礼品时，共使用了张奖券”的概率
；
因为表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，
所以的所有可能取值为，，，，
当时，表示顾客丙使用张奖券将个红球全部摸出；
当时，表示顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有个或个红球，
设事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有个红球”的概率为，
事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有个红球”的概率为，，，，，
此时，，，，
所以，，
，，，，，，
此时，，，，，
所以，
则
，
设，
所以，
可得，，
设，
可得，．
则
．
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