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2025年北京市石景山区高考数学一模试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的点坐标为，则实数( )
A. B. C. D.
3.在的二项展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
4.在中，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线：的焦点为，点在上，若，则( )
A. B. C. D.
7.等比数列中，，设甲：，乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数为常数来描述，其中单位：克代表分钟末未溶解糖块的质量现将一块质量为克的糖块放入到一定量的水中，在第分钟末测得未溶解糖块的质量为克，则( )
A. B. C. D.
9.已知点，为圆上两点，且，点在直线上，点为线段中点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点，是线段上的动点不包含端点，给出下列三个命题：
对任意点，都有；
存在点，使得平面；
过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为．
其中正确的命题个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若，则 ______．
12.如图，角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则 ______．
13.设，则 ______．
14.已知双曲线，若，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点，，，使得四边形为正方形，则的一个取值为______．
15.高斯取整函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，有如下四个结论：
若，则；
函数与函数无公共点；
；
所有满足的点组成区域的面积为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数其中，从条件、条件、条件这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定．
Ⅰ求函数的解析式；
Ⅱ求函数在上的最大值和最小值．
条件：；
条件：是的对称中心；
条件：可以由函数平移得到．
17.本小题分
某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动现从参赛学生中随机抽取了男、女各名学生，将他们的成绩单位：分按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数
女生人数
Ⅰ在抽取的名学生中，从成绩在分及以上的学生中随机抽取人，求恰好男、女生各人，且人分数段不同的概率；
Ⅱ从该市参赛的男生中随机抽取人，设成绩在分及以上的人数为，用频率估计概率，求的分布列和数学期望；
Ⅲ试确定，的值，使得抽取的女生成绩方差最小结论不要求证明
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆：过点，短轴长为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ椭圆与轴的交点为，点位于点的上方，直线：与椭圆交于不同的两点，设直线与直线相交于点试问点是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
20.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，
求曲线在点处的切线方程；
(ⅱ)证明：函数在区间上有且只有一个零点．
Ⅱ若实数使得对恒成立，求的取值范围．
21.本小题分
已知有穷数列：，，，经过一次变换后得到数列
：，，，，，
其中，表示，中的最小者记数列的所有项之和为．
Ⅰ若：，，，，写出数列并求；
Ⅱ若：，，，是，，，，的一个排列，例如，当时，，，，可以为，，，的一个排列．
当时，求的最小值；
(ⅱ)若经过一次变换后得到数列，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. 答案不唯一
15.
16.解：Ⅰ若选条件，由，可得；
若选条件，由是的对称中心，可得，则；
若选条件，根据，
且可以由函数平移得到，可得，．
由以上的分析，可知要使函数唯一确定，则必须要选．
若选，则，，，
可得，故或，
即或，，结合，可知，即．
若选，则，，，
即，可得，结合，可得，即．
Ⅱ由，得，
可得，．
所以函数在上的最大值为，最小值为．
17.解：Ⅰ易知男生中成绩在的有人，在的有人，
所以男生成绩成绩在分及以上的共有人；
女生中成绩在的有人，在的有人，
所以女生成绩成绩在分及以上的共有人，
所以成绩在分及以上的学生共有人，
从这人中随机抽取人的总组合数为种，
要满足恰好男、女生各人且分数段不同此时共有两种情况，
第一种情况是男生从选，女生从选，有种选法；
第二种情况是男生从选，女生从选，有种选法，
所以满足条件的选法共有种，
则恰好男、女生各人，且人分数段不同的概率；
Ⅱ因为从男生中随机抽取人，成绩在分及以上的概率为．
从该市参赛的男生中随机抽取人，
设成绩在分及以上的人数为，
因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，
所以服从参数为，的二项分布，
即，
易知，
，
，
，
，
则的分布列为：
故；
Ⅲ因为抽取的女生共人，
所以，
即，
当数据越集中时方差越小．
所以当，时，抽取的女生成绩方差最小．
18.解：Ⅰ证明：设的中点为，连接，，
因为为的中点，所以，且，
又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面．
Ⅱ记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
设平面的一个法向量为，
则，所以，
令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
Ⅲ依题意，设，则，
又由Ⅱ得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，
解得负值舍去，
所以，则，
而由Ⅱ得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19.解：Ⅰ依题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为；
Ⅱ在定直线上，理由如下：
设点，，
由，
得，
由，
且，
所以，
易知，，
则，，
两式作商得，解得，
故G在定直线上．
20.解：由题意函数，
当时，则，
又，则，
所以函数在点处的切线方程为；
证明：令，，
则，
当时，，，所以，所以即在上单调递减，
又，所以，所以在上单调递增，
又，当时，，所以，
所以在区间上有且只有一个零点；
由对恒成立，
即对恒成立，
令，，则，
所以，
令，
则，
当时，对任意，，，则，
所以在单调递减，所以，满足题意；
当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，，
当，即时，恒成立，所以在单调递减，
所以，满足题意；
当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得．
当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意；
当时，即时，对任意，，单调递增，所以，不满足题意．
综上，的取值范围为．
21.解：Ⅰ由题意，：，，，，即，，，所以．
Ⅱ由题意知，中元素两两互异，故A中的任一元素，
如，在中至多在和中出现两次规定，
且若出现两次则这两个数处于邻位和也视为邻位所以的所有项中至多有两个和两个．
所以当为，，，，时等号能取到，所以的最小值为．
同可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次；
若在中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在中至多出现三次．
若，则，当满足时等号能取到．
若，则，当满足时等号能取到．
若，则，当满足时等号能取到．
综上．
．
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