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专题强化3　静电场中功能关系及图像问题
[学习目标]　1.会用等分法确定等势线和电场方向(重难点)。2.能运用功能关系分析电场综合问题(重点)。3.理解Ep－x、E－x、φ－x图像的意义，并会分析有关问题(重难点)。
一、等分法确定等势面和电场线
在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的。
(1)如图甲所示，匀强电场中A、B、C是匀强电场某一直线上的三个点且AC＝CB＝l，已知A、B两点电势分别为φA、φB，求B点的电势。
(2)如图乙所示，匀强电场中AB∥CD，且AB＝CD，求UAB与UCD的关系。
(3)如图丙所示，除垂直电场方向外的任一方向上，线上有A、B、C三点且BC＝nAB，求UAB与UBC的关系。
例1　(2023·广州市高二期末)如图所示，在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为8 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为(　　)
A．150 V/m B．75 V/m
C．225 V/m D．75 V/m
1．等分法计算匀强电场的电场强度
(1)确定电场方向：先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势线垂直画出电场线，且电场线由高等势线指向低等势线。
(2)由几何关系确定两点沿电场方向的距离。
(3)根据E＝计算场强。
2．矢量合成求匀强电场的电场强度。
(1)找两个互相垂直的方向，求出Ex、Ey。
(2)然后根据矢量合成求E。
二、电场中的功能关系
1．电场力做功的计算
2．电场中常见的几种功能关系
(1)电场力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
(2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功。
(3)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk＝－ΔEp。
(4)如果只有重力和电场力做功，则机械能和电势能之间转化，二者总和不变，即ΔE＝－ΔEp。
例2　(2023·湛江市高二期末)如图所示，竖直平面内光滑绝缘直杆ABC与水平面的夹角θ＝30°，在O点处固定一正点电荷(电荷量未知)，O点到B、C两点的距离相等。现将质量m＝0.08 kg、电量q＝－5×10－3 C、套在杆上的带负电小球从A点由静止开始释放。已知A、C两点间的距离d＝2.0 m，B、C两点间的距离x＝1.6 m，小球沿杆下滑到B点时的速度大小为3 m/s，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球下滑到C点时的速度大小vC；
(2)若规定A点的电势为零，求B点的电势φB。
三、电场中的图像问题
1．φ－x图像
如图甲所示，两点电荷q1、q2固定在x轴上，O为坐标原点。在x轴正方向上每一点的电势φ随x变化的关系图像如图乙所示。
(1)φ－x图像反映了电势φ随位置x变化的规律。如何根据电势的变化规律得到场强的大小和方向？
(2)若上面只有乙图的φ－x图像，能判断出场强方向吗？
2．E－x图像
(1)x1、－x1两点场强有何特点。
(2)O→x1及O→－x1区间场强如何变化。
(3)E－x图像中图线OA与x轴围成的“面积”表示什么物理量。
(4)O、x1与－x1三点电势大小关系。
3．Ep－x图像
(1)粒子从a到b电势能如何变化。
(2)图像切线的斜率表示的意义。
(3)xb点处的电场力有什么特点。
例3　(2023·揭阳市高二期末)一学习小组对电鳗进行研究，如图甲所示，以电鳗头部上某点O为原点，以指向其尾部的方向为x轴正方向建立x轴，该小组测得x轴上的电势φ在x轴上的分布如图乙所示。已知该静电场可视为由x轴上两个静止的点电荷产生的，x2处的电势为0。取无穷远处的电势为0，下列说法正确的是(　　)
A．两个点电荷可能为同种点电荷
B．x2处电场强度为0
C．x2、x3处电场强度方向相同
D．一负的试探电荷在x2处的电势能大于其在x3处的电势能
例4　(多选)(2023·深圳市高二期末)沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置x3的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．粒子先加速运动后减速运动
B．粒子的电势能一直减小
C．坐标原点O和位置x2间的电势差U＝
D．粒子动能的增加量等于电势能的减小量
例5　(2024·汕头市高二期末)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线。则下列说法正确的是(　　)
A．x1处电场强度最大
B．粒子经过x1处时动能最小
C．x2～x3段粒子做匀加速直线运动
D．在x＝0到x＝x3区间运动时粒子的动能先增大后减小
专题强化3　静电场中功能关系及图像问题
一、
(1)UAC＝UCB＝Elcos θ
φA－φC＝φC－φB
φC＝
(2)UAB＝UCD
(3)＝＝。
三、
1．(1)根据E＝＝，故φ-x图像斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的大小，斜率不变，E不变，斜率绝对值变大，E变大，斜率绝对值变小，E变小，x1位置斜率为零，说明此处场强为零。
(2)由φ-x图像可知，沿x轴方向电势降低，而电势降低的方向不一定是场强方向，但场强方向一定与x方向夹角小于90°，此时φ-x图像的斜率绝对值表示E沿x轴方向的分场强。
2．(1)A、B两点场强大小相等，方向相反。
(2)场强均变大，只是方向相反。
(3)O、x1两点之间的电势差。
(4)s1＝s2，φO>φx1＝φ－x1。
3．(1)电势能减小。
(2)斜率的正负表示电场力的方向，斜率绝对值的大小表示电场力的大小。
(3)Fb＝0，即xb点处场强为零。
例1　B　[方法一：过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，如图所示，
由几何知识可知N、O间的距离NO＝4 cm，M、O间的距离MO＝12 cm，由匀强电场的特点得O点的电势为φO＝12 V
即O、P在同一等势面上，由电场线与等势面的关系和几何关系知
E＝＝＝75 V/m
故B正确，A、C、D错误。
方法二：建立坐标系如图所示
Ex＝＝＝＝×102 V/m
Ey＝＝＝＝×102 V/m
E＝＝75 V/m
设场强方向与y轴正方向的夹角为θ，如图所示，
tan θ＝＝
θ为60°，即场强方向为由N指向M，故B正确。]
例2　(1)5 m/s　(2)40 V
解析　(1)小球从B运动到C的过程中，根据动能定理有
WBC＋mgxsin θ＝mvC2－mvB2
又WBC＝qUBC
根据点电荷电场的特点可知
UBC＝0，解得vC＝5 m/s。
(2)小球从A运动到B的过程中，根据动能定理有mg(d－x)sin θ＋WAB＝mvB2－0
又WAB＝qUAB，UAB＝φA－φB
解得φB＝40 V。
例3　C　[由图像可知左侧的点电荷为正电荷，右侧的点电荷为负电荷，故A错误；φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，可知x2处电场强度不为0，故B错误；φ－x图像的斜率正负表示电场强度的方向，x2、x3处电场强度方向相同，故C正确；根据电势能公式W＝φ·(－q)＝－φq，可知一负的试探电荷在x2处的电势能小于其在x3处的电势能，故D错误。]
例4　BCD　[由坐标原点O运动到位置x3的过程中，电场方向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电势能一直减小，粒子动能的增加量等于电势能的减小量，A错误，B、D正确；坐标原点O和位置x2间的电势差为图像与x轴所围成的面积，即U＝，C正确。]
例5　D　[电势能Ep随位移x变化的图像斜率绝对值表示电场力大小，x1处图像斜率为0，电场力为0，所以x1处电场强度为0，故A错误；
由题意知，带电粒子仅在电场力的作用下运动，则电势能和动能相互转化，两者和不变。粒子经过x1处时电势能最小，则粒子经过x1处时动能最大。在x＝0到x＝x3区间运动时，粒子的电势能先减小后增大，则动能先增大后减小，故B错误，D正确；
x2～x3段电势能增加，则动能减小，又因为x2～x3段斜率不变，所以x2～x3段粒子做匀减速运动，故C错误。](共54张PPT)
DIYIZHANG
第一章
专题强化3　静电场中功能关系及
图像问题
1.会用等分法确定等势线和电场方向(重难点)。
2.能运用功能关系分析电场综合问题(重点)。
3.理解Ep－x、E－x、φ－x图像的意义，并会分析有关问题(重难点)。
学习目标
一、等分法确定等势面和电场线
二、电场中的功能关系
专题强化练
三、电场中的图像问题
内容索引
等分法确定等势面和电场线
一
在匀强电场中，沿任意一个方向电势降落都是均匀的。
(1)如图甲所示，匀强电场中A、B、C是匀强电场某一直线上的三个点且AC＝CB＝l，已知A、B两点电势分别为φA、φB，求B点的电势。
答案　UAC＝UCB＝Elcos θ
φA－φC＝φC－φB
(2)如图乙所示，匀强电场中AB∥CD，且AB＝CD，求UAB与UCD的关系。
答案　UAB＝UCD
(3)如图丙所示，除垂直电场方向外的任一方向上，线上有A、B、C三点且BC＝nAB，求UAB与UBC的关系。
　(2023·广州市高二期末)如图所示，在某匀强电场中有M、N、P三点，在以它们为顶点的三角形中，∠M＝30°、∠P＝90°，直角边NP的长度为8 cm。电场方向与三角形所在平面平行。已知M、N和P点的电势分别为3 V、15 V和12 V，则电场强度的大小为
例1
√
方法一：过P点作斜边MN的垂线交MN于O点，如图所示
由几何知识可知N、O间的距离NO＝4 cm
M、O间的距离MO＝12 cm
由匀强电场的特点得O点的电势为
φO＝12 V
即O、P在同一等势面上，由电场线与等势面的关系和几何关系知
故B正确，A、C、D错误。
方法二：建立坐标系如图所示
设场强方向与y轴正方向的夹角为θ，如图所示
θ为60°，即场强方向为由N指向M，故B正确。
1.等分法计算匀强电场的电场强度
(1)确定电场方向：先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势线垂直画出电场线，且电场线由高等势线指向低等势线。
(2)由几何关系确定两点沿电场方向的距离。
总结提升
2.矢量合成求匀强电场的电场强度。
(1)找两个互相垂直的方向，求出Ex、Ey。
(2)然后根据矢量合成求E。
总结提升
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电场中的功能关系
二
1.电场力做功的计算
2.电场中常见的几种功能关系
(1)电场力做功等于带电体电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
(2)合外力做功等于带电体动能的变化量，即W合＝ΔEk，这里的W合指合外力做的功。
(3)如果只有电场力做功，则动能和电势能之间相互转化，二者总和不变，即ΔEk＝－ΔEp。
(4)如果只有重力和电场力做功，则机械能和电势能之间转化，二者总和不变，即ΔE＝－ΔEp。
　(2023·湛江市高二期末)如图所示，竖直平面内光滑绝缘直杆ABC与水平面的夹角θ＝30°，在O点处固定一正点电荷(电荷量未知)，O点到B、C两点的距离相等。现将质量m＝0.08 kg、电量q＝－5×10－3 C、套在杆上的带负电小球从A点由静止开始释放。已知A、C两点间的距离d＝2.0 m，B、C两点间的距离x＝1.6 m，小球沿杆下滑到B点时的速度大小为3 m/s，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。
(1)求小球下滑到C点时的速度大小vC；
例2
答案　5 m/s　
小球从B运动到C的过程中，根据动能定理有
又WBC＝qUBC
根据点电荷电场的特点可知
UBC＝0
解得vC＝5 m/s。
(2)若规定A点的电势为零，求B点的电势φB。
答案　40 V
小球从A运动到B的过程中，根据动能定理有
又WAB＝qUAB
UAB＝φA－φB
解得φB＝40 V。
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电场中的图像问题
三
1.φ－x图像
如图甲所示，两点电荷q1、q2固定在x轴上，O为坐标原点。在x轴正方向上每一点的电势φ随x变化的关系图像如图乙所示。
(1)φ－x图像反映了电势φ随位置x变化的规律。
如何根据电势的变化规律得到场强的大小和
方向？
答案　根据 故φ－x图像斜率绝对值表示沿x轴方向电场强度的
大小，斜率不变，E不变，斜率绝对值变大，E变大，斜率绝对值变小，E变小，x1位置斜率为零，说明此处场强为零。
(2)若上面只有乙图的φ－x图像，能判断出场强方向吗？
答案　由φ－x图像可知，沿x轴方向电势降低，而电势降低的方向不一定是场强方向，但场强方向一定与x方向夹角小于90°，此时φ－x图像的斜率绝对值表示E沿x轴方向的分场强。
2.E－x图像
(1)x1、－x1两点场强有何特点。
答案　A、B两点场强大小相等，方向相反。
(2)O→x1及O→－x1区间场强如何变化。
答案　场强均变大，只是方向相反。
(3)E－x图像中图线OA与x轴围成的“面积”表示什么物理量。
答案　O、x1两点之间的电势差。
(4)O、x1与－x1三点电势大小关系。
答案　s1＝s2，φO>φx1＝φ－x1。
3.Ep－x图像
(1)粒子从a到b电势能如何变化。
答案　电势能减小。
(2)图像切线的斜率表示的意义。
答案　斜率的正负表示电场力的方向，斜率绝对值的大小表示电场力的大小。
(3)xb点处的电场力有什么特点。
答案　Fb＝0，即xb点处场强为零。
　(2023·揭阳市高二期末)一学习小组对电鳗进行研究，如图甲所示，以电鳗头部上某点O为原点，以指向其尾部的方向为x轴正方向建立x轴，该小组测得x轴上的电势φ在x轴上的分布如图乙所示。已知该静电场可视为由x轴上两个静止的点电荷产生的，x2处的电势为0。取无穷远处的电势为0，下列说法正确的是
A.两个点电荷可能为同种点电荷
B.x2处电场强度为0
C.x2、x3处电场强度方向相同
D.一负的试探电荷在x2处的电势能大于其在x3处的电势能
例3
√
由图像可知左侧的点电荷为正电
荷，右侧的点电荷为负电荷，故
A错误；
φ－x图像的斜率绝对值表示电场强度的大小，可知x2处电场强度不为0，故B错误；
φ－x图像的斜率正负表示电场强度的方向，x2、x3处电场强度方向相同，故C正确；
根据电势能公式W＝φ·(－q)＝－φq，可知一负的试探电荷在x2处的电势能小于其在x3处的电势能，故D错误。
　(多选)(2023·深圳市高二期末)沿电场中某条直线电场线方向建立x轴，该电场线上各点的电场强度E随x的变化规律如图所示。将一个带正电的粒子从O点由静止释放，粒子仅在电场力的作用下，由坐标原点O运动到位置x3的过程中，下列说法正确的是
A.粒子先加速运动后减速运动
B.粒子的电势能一直减小
C.坐标原点O和位置x2间的电势差U＝
D.粒子动能的增加量等于电势能的减小量
例4
√
√
√
由坐标原点O运动到位置x3的过程中，电场方
向一直为正方向，电场力方向与速度方向相同，
电场力对粒子做正功，粒子速度一直增大，电
势能一直减小，粒子动能的增加量等于电势能的减小量，A错误，B、D正确；
坐标原点O和位置x2间的电势差为图像与x轴所围成的面积，即U＝
C正确。
　(2024·汕头市高二期末)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图所示，其中0～x2段是关于直线x＝x1对称的曲线，x2～x3段是直线。则下列说法正确的是
A.x1处电场强度最大
B.粒子经过x1处时动能最小
C.x2～x3段粒子做匀加速直线运动
D.在x＝0到x＝x3区间运动时粒子的动能先增大后减小
例5
√
电势能Ep随位移x变化的图像斜率绝对值表示电场
力大小，x1处图像斜率为0，电场力为0，所以x1处
电场强度为0，故A错误；
由题意知，带电粒子仅在电场力的作用下运动，则
电势能和动能相互转化，两者和不变。粒子经过x1处时电势能最小，则粒子经过x1处时动能最大。在x＝0到x＝x3区间运动时，粒子的电势能先减小后增大，则动能先增大后减小，故B错误，D正确；
x2～x3段电势能增加，则动能减小，又因为x2～x3段斜率不变，所以x2～x3段粒子做匀减速运动，故C错误。
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专题强化练
四
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基础对点练
√
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2.(2023·广州市高二期末)如图甲所示，两点电荷q1、q2固定在x轴上，O为坐标原点。在x轴正方向上每一点的电势φ随x变化的关系图像如图乙所示，其中x0处的电势为零，x1处的电势最低。下列说法正确的是
A.x0处的电场强度为零
B.q1、q2带异种电荷
C.q1的电量比q2的电量小
D.正点电荷从O开始运动到x1处的过程中，其电势能先减小后增大
√
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电势φ随x变化的关系图线上每点切线
斜率的绝对值表示电场强度的大小，
即E＝ 所以由题图乙知，x0处的
电场强度不为零，故A错误；
由φ－x图线斜率知x1处的电场强度为零，所以两点电荷在x1点产生的场强大小相等，方向相反，两点电荷为异种电荷，根据E＝ 可知，由于q1到x1距离大，所以q1的电量大于q2的电量，故B正确，C错误；
根据Ep＝qφ，结合题图乙，可知正点电荷从O开始运动到x1处的过程中，其电势能Ep一直在减小，故D错误。
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3.(多选)(2024·梅州市高二月考)匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、16 V、22 V，下列说法正确的是
A.O点的电势φO＝16 V
B.电场强度的大小为E＝2 V/m
C.电子在a点的电势能比在b点的低6 eV
D.将一正电荷从c移至a电场力做功是将此电荷从b移至a电场力做功的2倍
√
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√
根据匀强电场中，平行同向且间距相等的两点间电势差相等可得φa－φO＝φb－φc，解得φO＝16 V，选项A正确；
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根据Ep＝qφ可知，电子在a点的电势能比在b点的高，ΔEp＝－e×10 V－(－e×16 V)＝6 eV，选项C错误；
将一正电荷从c移至a，电场力做功为W1＝qUca，
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其中Uca＝φc－φa＝22 V－10 V＝12 V，将此电荷从b移至a电场力做功为W2＝qUba，其中Uba＝φb－φa＝16 V－10 V＝6 V，所以W1＝2W2，选项D正确。
4.(2023·广东省执信中学高二月考)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系如图所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则
A.A、B的电势相等
B.从N到O的过程中，电势一直升高
C.电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小
D.电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等
√
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根据U＝Ed可知E－x图像与坐标轴围成的面积表
示某两点间的电势差，由于A和B之间图线与坐标
轴围成的面积不为零，则A和B点的电势不相等，
故A错误；
由题意知，电场强度E的方向为x轴正方向，根据沿电场线方向电势降低可知，从N到O的过程中，电势一直降低，故B错误；
从N到P电场线方向一直是沿x轴正方向，电子从N移到P的过程中静电力方向一直沿x轴负方向，静电力一直做负功，电势能一直增大，故C错误；
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E－x图线与坐标轴围成的面积表示某两点间的电势差，从N到O和从O到P电势差相等，根据W＝qU可知，电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等，故D正确。
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5.(2024·广州市高二期中)如图所示，在倾角为θ的光滑绝缘斜面底端O固定一带正电物体甲，将另一带电体乙从斜面上的B点由静止释放，沿斜面下滑距离s到达A点时达到最大速度v。已知带电体乙的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，甲、乙均可视为点电荷。求：
(1)乙带何种电荷；
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答案　正电　
由于带电体乙到达A点时达到最大速度，可知此时加速度为0，受到甲的库仑力沿斜面向上，又因为甲带正电，所以乙带正电
(2)物体甲在A点产生电场强度大小；
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(3)A、B两点间的电势差UAB
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6.(2023·阳江市高二开学考试)空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是
A.E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B.E＝5 V/m，方向指向第一象限
C.E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D.E＝500 V/m，方向指向第三象限
√
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能力综合练
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7.(多选)两个等量同种正点电荷固定于光滑水平绝缘桌面上，在水平桌面内两电荷连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个带电荷量大小为2 C、质量为1 kg的小物块(可看作质点，且不影响点电荷形成的电场)从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置。则下列说法正确的是
A.B点为中垂线上电场强度最大的点
B.由C点到A点的过程中物块的电势能
先减小后变大
C.该小物块带负电
D.A、B两点间的电势差UAB＝－5 V
√
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√
物块水平方向上只受电场力的作用，
而从C向A方向运动，说明电场力方
向是由C指向A的，则中垂线上CBA
段电场方向是由C指向A的，说明物
块带正电，故C错误；
由v－t图像可知，物块经过B点时，图线斜率最大，即加速度最大，说明此时所受电场力达到最大值，即电场强度最大，故A正确；
由v－t图像可知，物块由C点到A点的过程中动能变大，说明电场力做正功，所以电势能一直减小，故B错误；
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8.(多选)(2024·深圳市高二期末)利用带电粒子探测电场的分布情况是一种重要的技术手段。如图所示，某圆形区域(圆心为O)内存在平行于纸面的匀强电场(未画出)，圆上P点处有一粒子源，可向圆形区域内发射初动能相同的同种带电粒子，其中分别落在圆上A、B两点的粒子动能仍然相同，不计粒子重力、粒子间相互作用及带电粒子对原电场分布的影响，则
A.直线AB为电场中的一条等势线
B.A、B两点的电势大小关系为φA<φB
C.P、O两点间和P、B两点间的电势差关系为UPB＝2UPO
D.落在劣弧AB中点的粒子获得的动能最大
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由动能定理可知，电场力对落在A、B两点的粒子做
功相等，由W＝qU可知UPA＝UPB，故A、B两点的电
势相等，故过AB且垂直于圆环的面为等势面，A正
确，B错误；
UPA＝2UPO，故UPB＝2UPO，C正确；
电场线与直线AB垂直，但不知电场线的指向和粒子的正负，故落在劣弧AB中点的粒子获得的动能可能最大也可能最小，D错误。
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9.(2024·广东省广州市实验外语学校高二期中)一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位置x的关系如图所示，下列
图像中电场强度与位置关系、动能与位移关系、速
度与位移关系、加速度与位移关系可能正确的是
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带电粒子在电场中仅受静电力作用，则由ΔEp＝
－F电Δx可知Ep－x图像的切线斜率绝对值表示静
电力大小，根据题图可知，带电粒子受到的静电
力逐渐减小，则电场强度逐渐减小，带电粒子的
加速度逐渐减小，故A错误，D正确；
根据动能定理可得ΔEk＝F电Δx可知Ek－x图像的切线斜率表示静电力，由于静电力逐渐减小，则Ek－x图像的切线斜率逐渐减小，故B错误；由于静电力逐渐减小，可知粒子做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大值，故速度与位移一定不是线性关系，故C错误。
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10.(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
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尖子生选练
√
因等势面间距相等，由电势差与电场强度的关系得相邻虚线之间电势差相等，由a到d，(－e)Uad＝－6 eV，故Uad＝6 V；因电场力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，又φb＝2 V，则φc＝0，各等势面电势如图所示，故A正确；
因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，
如图中实线所示，电子可能到达不了平面f，
故B正确；
电子经过平面d时，电势能Ep＝(－e)φd＝2 eV，故C错误；
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返回作业10　静电场中功能关系及图像问题
[分值：90分]
1～4题每题7分，5题16分，共44分
1.(2024·东莞市高二联考)如图所示，在与纸面平行的匀强电场中有A、B、C三个点，其电势分别为8 V、2 V、－4 V，△ABC是等腰直角三角形，斜边AC＝ m，D是AC的中点，则匀强电场的大小与方向是(　　)
A．6 V/m，由A指向B
B．6 V/m，由B指向C
C．6 V/m、由A指向C
D．2 V/m、由D指向B
2．(2023·广州市高二期末)如图甲所示，两点电荷q1、q2固定在x轴上，O为坐标原点。在x轴正方向上每一点的电势φ随x变化的关系图像如图乙所示，其中x0处的电势为零，x1处的电势最低。下列说法正确的是(　　)
A．x0处的电场强度为零
B．q1、q2带异种电荷
C．q1的电量比q2的电量小
D．正点电荷从O开始运动到x1处的过程中，其电势能先减小后增大
3．(多选)(2024·梅州市高二月考)匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、16 V、22 V，下列说法正确的是(　　)
A．O点的电势φO＝16 V
B．电场强度的大小为E＝2 V/m
C．电子在a点的电势能比在b点的低6 eV
D．将一正电荷从c移至a电场力做功是将此电荷从b移至a电场力做功的2倍
4.(2023·广东省执信中学高二月考)某半导体PN结中存在电场，取电场强度E的方向为x轴正方向，其E－x关系如图所示，ON＝OP，OA＝OB。取O点的电势为零，则(　　)
A．A、B的电势相等
B．从N到O的过程中，电势一直升高
C．电子从N移到P的过程中，电势能先增大后减小
D．电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等
5．(16分)(2024·广州市高二期中)如图所示，在倾角为θ的光滑绝缘斜面底端O固定一带正电物体甲，将另一带电体乙从斜面上的B点由静止释放，沿斜面下滑距离s到达A点时达到最大速度v。已知带电体乙的质量为m，电荷量为q，重力加速度为g，甲、乙均可视为点电荷。求：
(1)(4分)乙带何种电荷；
(2)(6分)物体甲在A点产生电场强度大小；
(3)(6分)A、B两点间的电势差UAB
6～9题每题9分，共36分
6．(2023·阳江市高二开学考试)空间存在着平行纸面的匀强电场，但电场的具体方向未知，现在纸面内建立直角坐标系xOy，用仪器沿Ox、Oy两个方向探测该静电场中各点电势，得到各点电势φ与横、纵坐标的函数关系如图所示。关于该电场的电场强度E，下列说法正确的是(　　)
A．E＝3 V/m，方向沿x轴正方向
B．E＝5 V/m，方向指向第一象限
C．E＝400 V/m，方向沿y轴负方向
D．E＝500 V/m，方向指向第三象限
7．(多选)两个等量同种正点电荷固定于光滑水平绝缘桌面上，在水平桌面内两电荷连线中垂线上有A、B、C三点，如图甲所示，一个带电荷量大小为2 C、质量为1 kg的小物块(可看作质点，且不影响点电荷形成的电场)从C点由静止释放，其运动的v－t图像如图乙所示，其中B点处为整条图线切线斜率最大的位置。则下列说法正确的是(　　)
A．B点为中垂线上电场强度最大的点
B．由C点到A点的过程中物块的电势能先减小后变大
C．该小物块带负电
D．A、B两点间的电势差UAB＝－5 V
8.(多选)(2024·深圳市高二期末)利用带电粒子探测电场的分布情况是一种重要的技术手段。如图所示，某圆形区域(圆心为O)内存在平行于纸面的匀强电场(未画出)，圆上P点处有一粒子源，可向圆形区域内发射初动能相同的同种带电粒子，其中分别落在圆上A、B两点的粒子动能仍然相同，不计粒子重力、粒子间相互作用及带电粒子对原电场分布的影响，则(　　)
A．直线AB为电场中的一条等势线
B．A、B两点的电势大小关系为φA<φB
C．P、O两点间和P、B两点间的电势差关系为UPB＝2UPO
D．落在劣弧AB中点的粒子获得的动能最大
9.(2024·广东省广州市实验外语学校高二期中)一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动。取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位置x的关系如图所示，下列图像中电场强度与位置关系、动能与位移关系、速度与位移关系、加速度与位移关系可能正确的是(　　)
(10分)
10．(多选)图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是(　　)
A．平面c上的电势为零
B．该电子可能到达不了平面f
C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV
D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
作业10　静电场中功能关系及图像问题
1．C
2．B　[电势φ随x变化的关系图线上每点切线斜率的绝对值表示电场强度的大小，即E＝，所以由题图乙知，x0处的电场强度不为零，故A错误；由φ－x图线斜率知x1处的电场强度为零，所以两点电荷在x1点产生的场强大小相等，方向相反，两点电荷为异种电荷，根据E＝k可知，由于q1到x1距离大，所以q1的电量大于q2的电量，故B正确，C错误；根据Ep＝qφ，结合题图乙，可知正点电荷从O开始运动到x1处的过程中，其电势能Ep一直在减小，故D错误。]
3．AD　[根据匀强电场中，平行同向且间距相等的两点间电势差相等可得φa－φO＝φb－φc，解得φO＝16 V，选项A正确；
由于O点的电势为16 V，所以Ob所在的垂直电场的面为等势面，根据几何知识可得，a到Ob的距离为d＝6cos 45° m＝3 m，则电场强度的大小为E＝＝ V/m＝ V/m，选项B错误；
根据Ep＝qφ可知，电子在a点的电势能比在b点的高，ΔEp＝－e×10 V－(－e×16 V)＝6 eV，选项C错误；
将一正电荷从c移至a，电场力做功为W1＝qUca，其中Uca＝φc－φa＝22 V－10 V＝12 V，将此电荷从b移至a电场力做功为W2＝qUba，其中Uba＝φb－φa＝16 V－10 V＝6 V，所以W1＝2W2，选项D正确。]
4．D　[根据U＝Ed可知E－x图像与坐标轴围成的面积表示某两点间的电势差，由于A和B之间图线与坐标轴围成的面积不为零，则A和B点的电势不相等，故A错误；由题意知，电场强度E的方向为x轴正方向，根据沿电场线方向电势降低可知，从N到O的过程中，电势一直降低，故B错误；从N到P电场线方向一直是沿x轴正方向，电子从N移到P的过程中静电力方向一直沿x轴负方向，静电力一直做负功，电势能一直增大，故C错误；E－x图线与坐标轴围成的面积表示某两点间的电势差，从N到O和从O到P电势差相等，根据W＝qU可知，电子从N移到O和从O移到P的过程中，静电力做功相等，故D正确。]
5．(1)正电　(2)　(3)
解析　(1)由于带电体乙到达A点时达到最大速度，可知此时加速度为0，受到甲的库仑力沿斜面向上，又因为甲带正电，所以乙带正电
(2)速度最大时，合外力为零，设甲在A点的电场强度大小为E，则有mgsinθ＝qE解得E＝
(3)从B到A由动能定理有
qUBA＋mgssin θ＝mv2－0
解得UBA＝，则
UAB＝－UBA＝。
6．D　[从题中的图像可以得到，坐标为(，0)和(0,10)的A、B两点为等势点，φA＝φB＝40 V，如图所示，
则电场强度的方向垂直于AB且指向第三象限，由几何关系可知CO＝＝8 cm，E＝＝＝500 V/m，故选D。]
7．AD　[物块水平方向上只受电场力的作用，而从C向A方向运动，说明电场力方向是由C指向A的，则中垂线上CBA段电场方向是由C指向A的，说明物块带正电，故C错误；由v－t图像可知，物块经过B点时，图线斜率最大，即加速度最大，说明此时所受电场力达到最大值，即电场强度最大，故A正确；由v－t图像可知，物块由C点到A点的过程中动能变大，说明电场力做正功，所以电势能一直减小，故B错误；由动能定理qUAB＝mvB2－mvA2，可得UAB＝＝ V＝－5 V，故D正确。]
8．AC　[由动能定理可知，电场力对落在A、B两点的粒子做功相等，由W＝qU可知UPA＝UPB，故A、B两点的电势相等，故过AB且垂直于圆环的面为等势面，A正确，B错误；
UPA＝2UPO，故UPB＝2UPO，C正确；
电场线与直线AB垂直，但不知电场线的指向和粒子的正负，故落在劣弧AB中点的粒子获得的动能可能最大也可能最小，D错误。]
9．D　[带电粒子在电场中仅受静电力作用，则由ΔEp＝－F电Δx可知Ep－x图像的切线斜率绝对值表示静电力大小，根据题图可知，带电粒子受到的静电力逐渐减小，则电场强度逐渐减小，带电粒子的加速度逐渐减小，故A错误，D正确；根据动能定理可得ΔEk＝F电Δx可知Ek－x图像的切线斜率表示静电力，由于静电力逐渐减小，则Ek－x图像的切线斜率逐渐减小，故B错误；由于静电力逐渐减小，可知粒子做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度为零时，速度达到最大值，故速度与位移一定不是线性关系，故C错误。]
10．AB　[因等势面间距相等，由电势差与电场强度的关系得相邻虚线之间电势差相等，由a到d，(－e)Uad＝－6 eV，故Uad＝6 V；因电场力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，又φb＝2 V，则φc＝0，各等势面电势如图所示，故A正确；
因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，如图中实线所示，电子可能到达不了平面f，故B正确；电子经过平面d时，电势能Ep＝(－e)φd＝2 eV，故C错误；由a到b，Wab＝Ekb－Eka＝－2 eV，所以Ekb＝8 eV；由a到d，Wad＝Ekd－Eka＝－6 eV，所以Ekd＝4 eV；则Ekb＝2Ekd，根据Ek＝mv2知vb＝vd，故D错误。]

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