资源简介

湖南省高考普通高中名校联考 2025 年高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { | 2 4 5 ≤ 0}， = { | 4 ≤ ≤ 2}，则 ∪ =( )
A. [ 4,5] B. [ 1,3] C. [ 4,2] D. [ 1,2]
1+ 1
2.若复数 = ，则 的虚部为( )
3
A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
3.甲同学每次投篮命中的概率为 ，在投篮6次的实验中，命中次数 的均值为2.4，则 的方差为( )
A. 1.24 B. 1.44 C. 1.2 D. 0.96

4.若函数 ( ) = 在区间(2,+∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. [ 2,0) B. ( ∞, 2] C. ( ∞, 0) D. [2,+∞)
2 2
5.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 在 上， 为 2的中点，且 1 ⊥ 2，
| 1 | = ，则 的离心率为( )
√ 3 1 1 √ 2
A. B. C. D.
3 3 2 2
6.已知正四面体的高等于球 的直径，则正四面体的体积与球 的体积之比为( )
3√ 3 3√ 2 3√ 2 3√ 3
A. B. C. D.
4 2 4 2
√ 3
7.在△ 中，sin( ) + = ，且 边上的高为 ，则( )
2
√ 3
A. △ 的面积有最大值，且最大值为
2
√ 3
B. △ 的面积有最大值，且最大值为
4
√ 3
C. △ 的面积有最小值，且最小值为
2
√ 3
D. △ 的面积有最小值，且最小值为
4
8.已知函数 ( )的定义域为 ，函数 ( ) = (1 + ) (1 + )为偶函数，函数 ( ) = (2 + 3 ) 1为奇函
数，则下列说法错误的是( )
A. 函数 ( )的一个对称中心为(2,1) B. (0) = 1
C. 函数 ( )为周期函数，且一个周期为4 D. (1) + (2) + (3) + (4) = 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1 页，共 10 页
9.设公比为 的等比数列{ }的前 项和为 ，若数列{ }满足 1 = 1，且 ∈
， +2 > ，则下列结
论正确的是( )
1
A. 2 > 0 B. 0 < < 1 C. +1 > D. < 1
1
10.将函数 ( ) = 2 ( + )图象的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 ( )的图象，则( )
6 2

A. ( + )为偶函数
3
B. ( )的最小正周期为4
2
C. ( )与 ( )在( , )上均单调递减
3 3
D. 函数 = ( ) ( )在[0,2 ]上有5个零点
11.若函数 ( ) = 3 + 2 + + ，则( )
A. ( )可能只有1个极值点
B. 当 ( )有极值点时， 2 > 3
C. 存在 ，使得点(0, (0))为曲线 = ( )的对称中心
4
D. 当不等式 ( ) < 0的解集为( ∞, 1) ∪ (1,2)时， ( )的极小值为
27
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知{ + 3}是等比数列， 1 = 2， 2 = 1，则数列{ }的前 项和为______．
13.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，6的6个大小质地完全相同
的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的
数字，数字更大者得1分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的
概率为______．
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为1，若在该正方体的棱上恰有4个点 ，满足| | + | 1| = ，
则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：
第 2 页，共 10 页
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 35 35 70
不喜欢跳绳 10 20 30
合计 45 55 100
(1)依据 = 0.1的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？
(2)已知该校学生每分钟的跳绳个数 (170,100)，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步.假设经
过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在
[170,200]内的人数(结果精确到整数)．
2
2 ( )附： = ，其中 = + + + ．
( + )( + )( + )( + )
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
若 ( , 2)，则 ( + ) ≈ 0.6827， ( 2 + 2 ) ≈ 0.9545， ( 3
+ 3 ) ≈ 0.9973．
16.(本小题12分)

如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，∠ = ∠ = ， 为棱 的中点，点 在棱 上，
6
⊥ ，且 = 2 ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若 = ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( + ) + 2，且曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线斜率为2 2 ．
(1)比较 和 的大小；
第 3 页，共 10 页
(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( )有最小值，且最小值为 ( )，求 ( )的最大值．
18.(本小题12分)
2
已知双曲线 ： 2 = 1与直线 ： = + 1交于 、 两点( 在 左侧)，过点 的两条关于 对称的直线
4 1
、
2分别交双曲线 于 、 两点( 在右支， 在左支)．
(1)设直线 1的斜率为 1，直线 2的斜率为 2，求 1 2的值；
(2)若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点 ，求△ 的面积．
19.(本小题12分)
若数列{ }满足
2
+1 + +2 ≤ + +2，且 > 0，则称数列{ }为“稳定数列”．
(1)若数列 ， ，2为“稳定数列”，求 的取值范围；
1
(2)若数列{ }的前 项和
2
= ( + )，判断数列{ }是否为“稳定数列”，并说明理由； 8
(3)若无穷数列{ }为“稳定数列”，且{ }的前 项和为 ，证明：当 ≥ 2时， + 2 ≤ 2 + ．
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2 3 1
1
13.【答案】
8
14.【答案】[2,√ 4 + 2√ 2)
15.【答案】解：(1) 0：学生的性别和是否喜欢运动无关，
2
2 100×(35×20 35×10) = ≈ 2.357 < 2.706，
45×55×70×30
所以根据 = 0.1的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关．
(2)训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数 ～ (170,100)，
则 = 170， 2 = 100， = 10，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在[160.190]，160 = ，190 = + 2 ， ( ≤ ≤ + 2 ) =
( ≤ ≤ + ) ( 2 ≤ ≤ +2 ) 0.6827 0.9545
+ ≈ + = 0.34135 + 0.47725 = 0.8186，
2 2 2 2
由1000 × 0.8186 = 818.6 = 819(人)，
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在[160,190]内的人数为819，
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在[170,200]内的人数为819人．
16.【答案】解：(1)证明：如图，取棱 靠近 的三等分点 ，连结 ， ，则 是 的中点，
因为 为棱 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 // ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
第 5 页，共 10 页

设 = √ 3 ，因为∠ = ∠ = ，所以 ，作 ⊥ ，连接 ， 6 = √ 3
则 = 2 ∠ = 3 ，因为 = 2 ，所以 = 2 ．
在△ 中，由余弦定理得： = √ (√ 3 )2 + (2 )2 2 × (√ 3 ) × (2 ) × cos∠ = ，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
又因为 ∩ = ， ， 面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 面 ，所以 ⊥ ．
又因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)由(1)知， ⊥ ， ⊥ .以 为原点， 的方向为 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系 ．
√ 3 1
令 = = √ 3，所以 (√ 3, 0,0), (0,0, √ 3), (0,1,0), ( , , 0)，
2 2
设平面 的法向量为 1 = ( , , )，
1 = 0, √ 3 √ 3 = 0,则{ 即{ 令 = 1，可得 = 1, = √ 3，所以 1 = (1, √ 3, 1)．
1 = 0, √ 3 = 0,
连接 ，此时 = √ 3， = 2，由余弦定理得： = 1，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 面 ， ∩ = ，
所以 ⊥面 ，所以平面 的一个法向量为
√ 3 1
= ( , , 0)．
2 2
第 6 页，共 10 页
| | √ 3 √ 15
设平面 和平面 的夹角为 ，则 = 1 = = ，
| 1 | | | √ 5 5
所以平面 和平面 夹角的余弦值为√ 15．
5
17.【答案】解：(1) ′( ) = 2 2 ( + )，由题知 ′(0) = 2 ( + ) = 2 2 ，
整理得 = ．
(2)由(1)知， ′( ) = 2 2 2 ，
当 ≤ 0时， ′( ) > 0恒成立，此时 ( )在 上单调递增；
1
当 > 0时，令 ′( ) = 2 2 2 = 0，解得 = ，
2
1 1
当 < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
2 2
1 1
所以 ( )在( ∞, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增．
2 2
综上，当 ≤ 0时， ( )在 上单调递增；
1 1
当 > 0时，在( ∞, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增．
2 2
(3)由(2)知，当 ≤ 0时， ( )无最小值，
1
当 > 0时， ( )在 = 处取得最小值，所以 ( ) = + 2 = + 2，
2
记 ( ) = + 2， > 0，则 ′( ) = 2 ，
当0 < < 2时， ′( ) > 0，当 > 2时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, 2)上单调递增，在( 2, +∞)单调递减，
所以当 = 2时， ( )取得最大值 ( 2) = 2 2 2 + 2 = 2 2，
即 ( )的最大值为2 2．

18.【答案】解：(1)由题意知直线 斜率为1，所以直线 的倾斜角 = ，
4
设直线 1、 2的倾斜角分别为 1、 2( 1、 2 ∈ (0, ))，

直线 1、 2关于直线 对称，则 1 + 2 = 2 = ， 2

sin( 1)
所以 1 2 = 1 2 = 1 tan( ) =
1 2
2 1
= 1；
cos 1 cos( )2 1
5
2
2 =
(2)联立方程{ = 14 ，解得{ 3，
8
= + 1 =
3
5 8
所以 ( , )，
3 3
5 2
所以双曲线 在点 处的切线方程为 = 1，
3 3
第 7 页，共 10 页
不妨设直线 为 ( + 1) + = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
2
= 1 4( + 1 1)2 2 4 = 0
联立{ 4 得{ ，
( + 1) + = 1 ( + 1) + = 1
4( + 1)2 8( + 1)[ ( + 1) + ] 2 = 0，
2
整理得 2 + 8 + 8 4 = 0，将等式看作关于 的方程：两根之和
1 + 2 = 8 ，两根之
( +1) +1 +1 1+1 2+1
1 积 2 = 8 4，
1+1 2+1

而其中 1
1 2
2 = = = 8 4， 1+1 2+1
由(1)得 1 2 = 1，
5
所以 = ，
8
5 3
所以直线 为 ( + 1) + = 1，过定点( , 0)，
8 5
5 2 3
又因为双曲线 在点 处的切线方程为 = 1，过点( , 0)，
3 3 5
3
所以 ( , 0)，
5
3
1 1 8 | 0+1|5 32所以 △ = | | 2 = √ 2 = ． 2 3 √ 2 15
19.【答案】解：(1)由“稳定数列”的定义可知， 2 + 2 ≤ + 2，
解得 2 ≤ ≤ 1，又因为 > 0，所以0 < ≤ 1，即 ∈ (0,1]．
解：(2)数列{ }不是“稳定数列”，理由如下：
1
令 = 1，得 1 = 1 = ， 4
1 1
当 ≥ 2时， =
2
1 = ( + ) [( 1)
2 + ( 1)] = ，
8 8 4
1
检验，当 = 1时， 1 = ， 4
+1 +2
故 = ，所以 +1 = ， +2 = ， 4 4 4
要使{ }为“稳定数列”，则需
2
+1 + +2 ≤ + +2，
即 2 +1 + +2 +2 ≤ 0恒成立；
2 +1 2 +2 +2 2
2 4 7
所以有 +1 + +2 +2 = ( ) + × = ， 4 4 4 4 4 16
2 2 4 7
显然 不可能恒小于等于零，
16
故 2 +1 + +2 ≤ + +2不能恒成立，
第 8 页，共 10 页
所以数列{ }不是“稳定数列”；
证明：(3)由题可知 2 +1 + +2 ≤ + +2，且 > 0，
则 2 +2 + +1 +3 ≤ +1 + +3，
2 +1 + +2 ≤ + +2，
两式相加，得 2 2 +1 + +2 + +2 + +1 +3 ≤ +1 + +3 + + +2，
+1( +1 + +3) + +2( + +2) ≤ ( +1 + +3) + ( + +2)，
( +1 1)( +1 + +3) + ( +2 1)( + +2) ≤ 0，
+1 1 1 + +2 ≤ 0，
+ +2 +1+ +3

令 = +1
1
， + +2
则有 + +1 ≤ 0，
分类讨论，
第一类， ≤ 0， +1 ≤ 0，
+1 1 1 = ≤ 0， =
+2
+1 ≤ 0， + +2 +1+ +3
因为 > 0，所以有0 < ≤ 1，
所以有0 < 3 + + ≤ 2 0 < 2 ≤ 2，
得 + 2 ≤ 2 + ，
第二类， ≥ 0， +1 ≤ 0，
则有 +2 ≥ 0， +3 ≤ 0 ，
1 1
则有 = +1 ≥ 0， = +2 ≤ 0， = +3
1 +4 1
+1 +2 ≥ 0 +3 = ≤ 0， + +2 +1+ +3 +2+ +4 +3+ +4
得到， +1 ≥ 1， +2 ≤ 1， +3 ≥ 1， +4 ≤ 1 0 < + +2 ≤ 2， +1 + +3 ≥ 2， + +2 ≥ 2，
因为( +1 1)( +1 + +3) + ( +2 1)( + +2) ≤ 0，
所以| +1 1| ≤ | +2 1|，
因为 +1 ≥ 1， +2 ≤ 1，
所以 +1 1 ≤ 1 +2 +1 + +2 ≤ 2，
所以当 为偶数时，0 < 3 + + ≤ 2 0 < 2 ≤ 2，得 + 2 ≤ 2 + ，
当 为奇数时，0 < 4 + + ≤ 3 0 < 2 3 ≤ 3 2 ≤ 3 + 3，
又因为 +1 ≥ 1， +2 ≤ 1，
所以 2 ≥ 1， 3 ≤ 1，
第 9 页，共 10 页
所以 2 ≤ 3 + 3 ≤ 3 + 1 = 2，
所以得 + 2 ≤ 2 + ．
第 10 页，共 10 页

展开更多......

收起↑