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期中测试培优卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：人教版八年级数学下册第16~18章（二次根式+勾股定理+平行四边形）
考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，15 D．5，12，17
2．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
6．如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式有意义，则的取值范围为 ．
12．已知，则的平方根为 ．
13．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为 ．
14．如图，在△ABC中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ．
15．如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则 ．
16．如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)
(2)
18．（8分）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
19．（8分）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，平分，若，求的长度．
20．（8分）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
21．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中画一个等腰直角△ABC，使其面积为．
(2)在图②中画一个等腰锐角，使其面积为．
(3)在图③中画一个，使其面积为，且．
22．（10分）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____；
（2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知，求的值；
（4）已知实数、满足，求的最值．
【实际应用】（5）已知△ABC的三边长、、满足，求△ABC的周长．
23．（10分）（1）发现：如图1，△ABC和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现△ACD≌△BCE．请证明△ACD≌△BCE．
（2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．
（3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
24．（12分）如图1，在正方形中，E是边上的一点，在的右上方作正方形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，记、的面积分别为、，求的值；
(3)如图3，当点E在边的延长线上时，连接，交线段于点M，当时，试判断与的数量关系，并加以证明．中小学教育资源及组卷应用平台
期中测试培优卷
班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________
考试范围：人教版八年级数学下册第16~18章（二次根式+勾股定理+平行四边形）
考试时间：120分钟； 总分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，15 D．5，12，17
【答案】B
【解析】解：A．，，
，
不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B．，，
，
能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C．，
不能构成三角形，故选项不符合题意；
D．，
不能构成三角形，故选项不符合题意；
故选B．
2．在平行四边形中，，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选C．
4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题意得：，，，
∴ ，，
∴
．
故选D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】解：
．
故选B．
6．如图，大正方形面积为，小正方形的面积为，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵大正方形面积为，小正方形的面积为，
∴大正方形边长为，小正方形的边长为，
∴，
．
故选C．
7．如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴解得，
故选．
8．如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，连结，若，则正方形的边长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
∵由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴．
故选A
9．如图，正方形的边长为1，与点O相对的顶点B坐标为，以对角线为边作第二个正方形，与点O相对的顶点D的坐标为，再以对角线为边作第三个正方形，与点O相对的顶点F的坐标为，如此下去，则第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：由题知，，
∴每变换8次，点O相对顶点所在的方向线位置重复，
又∵余2，
∴第个正方形中与点O相对的顶点在上，即在y轴上，
又∴每次变换后，对角线的长变为上一次的倍，
∴第个正方形中含点O的对角线长为，
∴第个正方形中与点O相对的顶点的坐标为，
故选
10．如图，在矩形中，的平分线交于点E，且，于点H，连接并延长，交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
③；角平分线的性质，得到，根据线段的和差关系，推出，判断④即可．
【解析】解：∵矩形，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，；故①正确；
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故②正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，；故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；故④正确；
故选D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若代数式有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12．已知，则的平方根为 ．
【答案】
【解析】
，
，
，
把代入中
的平方根为，
∴的平方根为，
故答案为：．
13．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为 ．
【答案】/
【解析】解：由题意可得，三角板直角边的边长为，
故结合图形可得数轴上点A所表示的数为，
故答案为：．
14．如图，在△ABC中，，以为边向外作等边三角形和，连接、，则的长为 ．
【答案】
【解析】解：∵和都是等边三角形，，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
15．如图，在长方形中，点E是的中点，连接，将沿翻折得到，交于点H，延长、相交于点G，若，，则 ．
【答案】
【解析】解：如图所示，连接，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是长方形，
∴，
∵将沿翻折得到，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，根据勾股定理得，，
∴，
解得，
故答案为：．
16．如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ．
【答案】10
【解析】如图所示，在上方作，使，连接，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴当点C，D，E三点共线时，有最大值10
∴对角线的最大值为10．
故答案为：10．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：
(1)
(2)
【解析】（1）解：
（4分）
（2）解：
．（4分）
18．（8分）如图，已知在中，平分交于点，过点作交于点，并延长到点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【解析】（1）解： ，
，（1分）
平分
，（1分）
，
，
；（1分）
（2）解：，
，（1分）
，
，（1分）
设，则，
，，（1分）
则，（1分）
，
，
．（1分）
19．（8分）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)已知，平分，若，求的长度．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，，（1分）
∵，
∴且
∴四边形是平行四边形，（1分）
又∵，
∴四边形是矩形；（1分）
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，（1分）
∴，（1分）
∵四边形是矩形
∴，，（1分）
∵是的平分线，，
∴，且，
∴，（1分）
∴，
∴．（1分）
20．（8分）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时．
(1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间；
(2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？
【解析】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上
∴，
∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里
（海里），（1分）
∵货船的航行速度为10海里/小时
（小时），
答：货船从A港口到B港口需要5小时；（1分）
（2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下：
如图：过C作交于D，
在上取两点M，N使得海里
∵，（1分）
∴（海里），（1分）
∴（海里），（1分）
∵，
∴是等腰三角形（1分）
∵
∴海里，（1分）
∴（小时）
∵，
∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准．（1分）
21．（8分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
(1)在图①中画一个等腰直角△ABC，使其面积为．
(2)在图②中画一个等腰锐角，使其面积为．
(3)在图③中画一个，使其面积为，且．
【解析】（1）解：如图①中，作一个腰为的等腰直角三角形，即为所求；
（3分）
（2）如图②中，取格点，连接，取的中点，连接，，即为所求；
理由如下：由图可知，，
故与同底等高；
，（1分）
，
∴根据全等的性质可知，（1分）
故即为所求；
（3）如图③中，在上取点，使得，连接即可，即为所求．（1分）
理由如下：在小问（1）的基础上，结合网格特征由比例的性质可得，（1分）
∵与同高，
∴的面积的面积．（1分）
22．（10分）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”．
【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____；
（2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由．
【探究问题】（3）已知，求的值；
（4）已知实数、满足，求的最值．
【实际应用】（5）已知△ABC的三边长、、满足，求△ABC的周长．
【解析】解：（1）∵10是“完美数”
∴；
故答案为：；（1分）
（2）
（1分）
要使S为“完美数”，
则，即．（1分）
（3）∵，
∴（1分）
∴，
∴， ，（1分）
解得， ，
则．（1分）
（4），
，（1分）
，
，
无论x取何值，，
当时，的值最大，为.（1分）
（5），
∴，（1分）
，，，
，，，
．（1分）
23．（10分）（1）发现：如图1，△ABC和均为等边三角形，连结，且点A、D、E在同一直线上，连结，发现△ACD≌△BCE．请证明△ACD≌△BCE．
（2）拓展：如图2，和均为等腰直角三角形，，，，且点A、D、E在同一直线上，若，，求的长度．
（3）应用：如图3，P为等边三角形内一点，且，，，，，求的长．
【解析】解：（1）和均为等边三角形，
，（1分）
，
即，
在和中，（1分）
；（1分）
（2），
即，
，
在和中，
，（1分）
，
，（1分）
，，
，
，（1分）
，
，
在中，
，
的长为；（1分）
（3）把绕点逆时针旋转得，连接，如图所示，
，
则，
，，（1分）
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，（1分）
，
即D、P、E在同一条直线上，
，
在中，
，（1分）
的长为：．
24．（12分）如图1，在正方形中，E是边上的一点，在的右上方作正方形，连接．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，记、的面积分别为、，求的值；
(3)如图3，当点E在边的延长线上时，连接，交线段于点M，当时，试判断与的数量关系，并加以证明．
【解析】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，，
∴．（1分）
在和中，
，
∴．
∴；（1分）
（2）解：如图2，由（1）得，
∴，即，
∴C、D、G三点共线．（1分）
如图，连接，过点F作，交的延长线于点H．
∴．
∵，，
∴．（1分）
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，．
在和中，，
∴，（1分）
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是等腰直角三角形，（1分）
∴，
．
∴．（1分）
∵，
∴，
∴，．（1分）
（3）解：．理由如下：
如图3，同（1）（2）可证得，C、D、G三点共线．
如图，连接，
设正方形的边长为a，，则，，，（1分）
∴，
∴，（1分）
由正方形的轴对称性，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，整理得，（1分）
，解得．
∴，，
∴．
∴，即．（1分）

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