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分课时教学设计
《※问题解决策略：特殊化》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时是本章最后一节内容，特殊化思想是一种重要的数学思维方式，广泛运用于各种数学活动中，能够培养学生的数学逻辑推理能力，开阔学生的视野，发展发散思维，在数学及其他学科的学习中都是十分重要的。
学习者分析 通过之前的学习，学生已经掌握了数学归纳法，直观分析等数学思想，为特殊化思想的学习奠定了基础；七年级的学生好奇心重，求知欲强，具备分析问题的能力，教师通过合适的方法讲解有助于他们更好地理解特殊化思想.
教学目标 1.理解特殊化策略的含义. 2.会用特殊化策略解决实际问题.
教学重点 理解特殊化策略的含义.
教学难点 会用特殊化策略解决实际问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 按一定规律排列的一列数:3，32，3-1，33，3-4，37，3-11，318，…， 若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是 a=bc .学生活动1： 学生动脑思考，积极举手回答.活动意图说明： 通过设置问题，激发学生的学习兴趣，提高课堂活跃性，进而进入新课的学习。环节二：特殊化策略教师活动2： 特殊化策略： 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。 特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决;同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。 问题： 如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少 理解问题： (1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形 (2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积 你遇到的困难是什么 前两种情况直接计算重叠部分的面积即可； 第三种情况需要转化成前两种情况之后，再求面积。 困难是如何将第三种情况转化成前两种情况。 拟定计划： (1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出 (2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗 （1）前两种情况，两个正方形重叠部分的面积容易求出。 （2）其他情形也可以转化为容易求解的特殊情形。 实施计划： 写出你的解决方案，并说明道理。 小明的思考过程如下。 (1)先考虑特殊情形。如图，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是。 (2)将一般情形转化为特殊情形。如图，连接 EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM。 可以发现，△BEM≌△CEN，这时，左图的情形就转化为右图的情形，S重叠=S△BEC=。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。 回顾反思： (1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟 (2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手 如何寻找特殊情形 与同伴进行交流。 （1）在解决困难问题时，要先想都有什么情况，特殊情况下是否容易计算，之后再将一般情况转化成特殊情况进行求解。 （2）涉及一般原理、公式或定理的问题，通常可以从特殊情形入手。 1.赋特殊值:对于某些有关一般值都成立的问题，有时可以避免考虑一般值，而直接利用特殊值去求解问题. 2.由特殊化得出一般化结论:若问题的一般结论为真，则它在特殊时的结论也为真，所以我们在解题时，可先考察其特殊情形的结论. 3.以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法:有些问题，情景比较复杂，造成计算量大，或要考虑的情况较多，此时可退到特殊，简单的情况，它们的特殊简单情形的求解中的关键性步骤，再回到原问题中求解. 4.利用特殊化，奠定解题基础:某些数学问题的解决，可以依赖于某种特殊情形，于是特殊情形的解决，是进一步求解一般情形的很恰当的基础. 5.特殊化探求某些问题的结论，寻求解题突破口:可以先取问题的特殊情形探究问题的特殊情形，探求“定值”的表达形式，这样就使求解目标明确，容易使问题获解. 6.用特殊化，引起特殊联想:在解题过程中，有时要把注意力倾注在对象的某些特殊方面，由特殊结构引起特殊联想，从而找到解题途径.学生活动2： 学生理解特殊化策略的概念。 学生了解问题，并回答问题。 学生思考回答。 活动意图说明： 通过讲解特殊化的概念，让学生了解特殊化思想，之后出示实际案例，引导学生分析，了解特殊法思想在解决实际问题中的便利之处，培养学生的思维能力.环节三：特殊化策略的应用教师活动3： 请用特殊化策略解答下列问题。 1.如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周长的。你知道她是怎么做的吗 证明：过点A作AH⊥BC于H，连接PA、PB、PC． ∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC， 即BC·AH=AB·PF+BC·PD+AC·PE． 又∵AB=BC=AC， ∴AH=PD＋PE＋PF． ∴PD＋PE＋PF的值是等边△ABC的高，是不变的值． 由于△ABC是等边三角形，故它的三边AB=BC=AC，而PD、PE、PF恰好是这三边上的高，因此本题可想到用三角形的面积法解题．连接PA、PB、PC，把△ABC分成了三个三角形△PAB、△PBC、△PAC，这三个三角形面积的和正好等于等边△ABC的面积，由面积之间的关系即可说明PD＋PE＋PF等于△ABC的高，即为定值． 证明：假设P为△ABC三条角平分线的交点， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠FAP=∠FBP 在△AFP和△BFP中，∠FAP=∠FBP，∠AFP=∠BFP，FP=FP ∴△AFP≌△BFP ∴AF=BF=AB 同理BD=CD=BC，AE=CE=AC ∴AF+BD+CE等于△ABC周长的. 2.如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。 解：∵四边形ABCD的面积是16，点M，N，P，Q分别为各边的中点， 所以四边形QMNP为平行四边形， 所以S△QMO=S△QPO=S△MNO=S△NPO 所以S△AMQ=S△ABD，S△CNP=S△BCD， 相加得S△AMQ+S△CNP=SABCD， 同理，S△BMN+S△DPQ=SABCD， 所以SMNPQ=SABCD。 所以S△QMO+S△NPO=SABCD 所以S△AMQ+S△CNP+S△QMO+S△NPO=SABCD=16=8。 3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗 解：甲先把一枚硬币放在圆桌面的圆心处。 以后无论乙将硬币放在何处，甲都总能在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。按照上述方法，甲就能保证获胜。 4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少 解：设这个三位数为abc=100a+10b+C， 可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+ （90a-9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a-c）÷（a+b+c）； 要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0， 此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100。 特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象，也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题.学生活动3： 学生小组合作，利用特殊化策略解决实际问题. 活动意图说明： 通过解决实际问题，检验学生对特殊化策略的掌握程度，加深对特殊化策略的理解，培养学生发散的思维方式。
板书设计 课题：※问题解决策略：特殊化 特殊化策略： 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.用字母a表示任意一个有理数，下列四个代数式中，值不可能为0的是( ) A.1+a2 B.|a+1| C.a2 D.a3+1 2.有80粒珠子甲乙两人轮流从中取，取珠规则为每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输，若甲先取，怎样取能保证获胜？ 解：首先，因为每人每次至少取1粒，至多取4粒，所以两人一轮取的珠子数量之和可以控制。我们要保证每轮两人取的珠子总数为固定值，这个值就是1+4=5粒。 甲先取，先计算80÷5=16，没有余数。甲先取44粒珠子，此时剩下 80 4=76粒珠子。之后乙取，无论乙取1粒、2粒、3粒还是44粒，甲都取5减去乙取的粒数。 例如乙取1粒，甲就取5 1=4粒；乙取2粒，甲就取5 2=3粒等。这样经过若干轮后，最后一定剩下11粒珠子留给乙取，从而乙取到最后一粒珠子输掉游戏。这种策略的核心在于甲先取后，通过控制每轮取珠数量之和为55，来掌握游戏的节奏，确保最后一粒珠子留给乙。 如图，已知 AB ∥ CD ，∠ C ＝75°，∠ AEC ＝30°，求∠ A 的度数. 解:过点E向左作 EF ∥ CD ， 则∠FEC＝∠C＝75°. ∵∠AEC＝30°， ∴∠FEA＝∠FEC－∠AEC＝75°－30°＝45°. 又∵ AB ∥ CD ， ∴ EF∥AB ， ∴∠A＝∠FEA＝45°. 选做题： 4.观察下列各式: (x-1)(x+1)=x -1; (x-1)(x +x+1)=x -1; (x-1)(x +x +x+1)=x4-1; ...... (1)根据以上规律，则(x-1)(x6+x5+x4+x +x +x+1)= x7 1 ; (2)你能否由此归纳出一般性规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= xn+1 1 ; (3)根据以上规律求1+3+32+…+334+335的结果. 解:原式=x(3-1)×(1+3+32+…+334+335)=， 5.已知对任意大于2的正整数n，n5-5n +4n都是正整数m的倍数，求m的最大值. 解:n5-5n +4n=n(n4-5n2+4)=n(n -4)(n -1) =n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1). 因为n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5的倍数，又当n=3时，原式=120 ，故m的最大值是120. 【综合拓展类作业】 6.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P. 如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由； （2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图2和图3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由. 解：（1）当P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD，关系不发生变化. 理由：过点P向左作PE∥l1， ∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1. ∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE， ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD. （2）当点P在C，D两点的外侧运动时， 在l2下方时，则∠PAC＝∠PBD＋∠APB； 在l1上方时，则∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
课堂总结 特殊化策略： 面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.有一个两位数，减去它各位数上的数字之和的三倍，得23；除以它各位数上的数字之和，商是5余数是1，则这个两位数（ B ） A．不存在　　 B．有唯一的一个　　　　　　　　 C．有两个　　 D．有无数多个 2.如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直于ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为( B ) A.0.4 cm2 B.0.5 cm C.0.6 cm D.0.7 cm2 3.用简便方法计算:2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69. 解:原式=(2一3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69) =0+0+…+0 =0. 选做题： 4.对于任意正整数n，整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数，试说明理由. 解：（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）＝16n2－1－（16－n2）＝16n2－1－16＋n2＝17n2－17＝17（n2－1）. 因为n为正整数，所以n2－1是整数， 所以整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数. 5.求（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1的个位数字. 解：原式＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1 ＝（24－1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1 ＝264－1＋1＝264. 因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64…… 个位数字按照2，4，8，6依次循环.， 而64＝16×4， 所以原式的个位数字为6. 【综合拓展类作业】 6.直线AB //CD，点P在两平行线之间，点E，F 分别在AB，CD 上，连接PE，PF.尝试探究并解答: (1)若图①中∠1=36°，∠2=60°，则∠3= 24 °. (2)探究图①中∠1，∠2 与∠3 之间的数量关系，并说明理由。 (3)如图②，∠1与∠3的平分线交于点P'，若∠2=α，试求∠EP'F的度数(用含α的代数式表示). 解:(2)结论:∠2=∠1+∠3.理由如下: 如图①，过点P 向左作 PM // AB. 因为 AB // CD ，AB // PM ，所以 PM //CD. 所以∠1=∠MPE，∠3=∠MPF. 所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=∠1+∠3， 即∠2=∠1+∠3. (3)因为∠1与∠3的平分线交于点Pˊ， 所以∠BEP'=∠BEP，∠DFP'=∠DFP. 因为∠BEP+∠DFP=∠2=α， 所以 ∠EP'F=∠BEP'+∠DFP'=(∠BEP+∠DFP)=α.
教学反思 本节课先讲解概念，之后通过出示问题，引导学生分析解决，激发起学生获取知识的求知欲，发现特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。之后让学生尝试利用该思想去解决实际问题，从而深刻理解特殊化思想。在教学中要充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率，让学生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性。
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（北师大版）七年级
下
※问题解决策略：特殊化
三角形
第4章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.理解特殊化策略的含义.
2.会用特殊化策略解决实际问题.
新知导入
按一定规律排列的一列数:3，32，3-1，33，3-4，37，3-11，318，…，
若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是
.
a=bc
新知讲解
特殊化策略：
特殊情形下，问题变得具体、简单、易于解决;同时，它与一般性问题关系密切，特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此，从特殊情形出发，有助于我们发现解决问题的思路。
探究一
特殊化策略
面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
问题：
新知讲解
如图，有两个边长为1的正方形，其中正方形EFGH的顶点E与正方形ABCD的中心重合。在正方形EFGH绕点E旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积是多少
理解问题：
新知讲解
(1)在旋转过程中，两个正方形的重叠部分会呈现出哪些情形
理解问题：
新知讲解
(2)对于这些不同情形，如何求两个正方形重叠部分的面积 你遇到的困难是什么
前两种情况直接计算重叠部分的面积即可；
第三种情况需要转化成前两种情况之后，再求面积。
困难是如何将第三种情况转化成前两种情况。
拟定计划：
新知讲解
(1)哪些特殊情形下，两个正方形重叠部分的面积容易求出
(2)其他情形能转化为容易求解的特殊情形吗
（1）前两种情况，两个正方形重叠部分的面积容易求出。
（2）其他情形也可以转化为容易求解的特殊情形。
实施计划：
新知讲解
写出你的解决方案，并说明道理。
小明的思考过程如下。
(1)先考虑特殊情形。如图，这两种情形下，重叠部分的面积容易求出，都是。
新知讲解
(2)将一般情形转化为特殊情形。如图，连接 EB，EC，两个正方形重叠部分的面积记作S重叠，则S重叠=S△BEC+S△CEN-S△BEM。
可以发现，△BEM≌△CEN，这时，左图的情形就转化为右图的情形，S重叠=S△BEC=。因此，一般情形下，重叠部分的面积也是。
回顾反思：
新知讲解
(1)回顾本题的解决过程，你有哪些感悟
(2)具有什么特点的问题，可以从特殊情形入手 如何寻找特殊情形 与同伴进行交流。
（1）在解决困难问题时，要先想都有什么情况，特殊情况下是否容易计算，之后再将一般情况转化成特殊情况进行求解。
（2）涉及一般原理、公式或定理的问题，通常可以从特殊情形入手。
新知讲解
1.赋特殊值:对于某些有关一般值都成立的问题，有时可以避免考虑一般值，而直接利用特殊值去求解问题.
2.由特殊化得出一般化结论:若问题的一般结论为真，则它在特殊时的结论也为真，所以我们在解题时，可先考察其特殊情形的结论.
3.以特殊情形为起点，进而发现一般问题的解法:有些问题，情景比较复杂，造成计算量大，或要考虑的情况较多，此时可退到特殊，简单的情况，它们的特殊简单情形的求解中的关键性步骤，再回到原问题中求解.
新知讲解
4.利用特殊化，奠定解题基础:某些数学问题的解决，可以依赖于某种特殊情形，于是特殊情形的解决，是进一步求解一般情形的很恰当的基础.
5.特殊化探求某些问题的结论，寻求解题突破口:可以先取问题的特殊情形探究问题的特殊情形，探求“定值”的表达形式，这样就使求解目标明确，容易使问题获解.
6.用特殊化，引起特殊联想:在解题过程中，有时要把注意力倾注在对象的某些特殊方面，由特殊结构引起特殊联想，从而找到解题途径.
新知讲解
请用特殊化策略解答下列问题。
1.如图，点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F。小颖从特殊情形入手，认为PD+PE+PF等于△ABC的高，AF+BD+CE等于△ABC周长的。你知道她是怎么做的吗
探究二
特殊化策略的应用
新知讲解
证明：过点A作AH⊥BC于H，连接PA、PB、PC．
∵S△ABC=S△PAB+S△PAC+S△PBC，
即BC·AH=AB·PF+BC·PD+AC·PE．
又∵AB=BC=AC，
∴AH=PD＋PE＋PF．
∴PD＋PE＋PF的值是等边△ABC的高，是不变的值．
H
新知讲解
由于△ABC是等边三角形，故它的三边AB=BC=AC，而PD、PE、PF恰好是这三边上的高，因此本题可想到用三角形的面积法解题．连接PA、PB、PC，把△ABC分成了三个三角形△PAB、△PBC、△PAC，这三个三角形面积的和正好等于等边△ABC的面积，由面积之间的关系即可说明PD＋PE＋PF等于△ABC的高，即为定值．
新知讲解
证明：假设P为△ABC三条角平分线的交点，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠FAP=∠FBP
在△AFP和△BFP中，∠FAP=∠FBP，∠AFP=∠BFP，FP=FP
∴△AFP≌△BFP
∴AF=BF=AB
同理BD=CD=BC，AE=CE=AC
∴AF+BD+CE等于△ABC周长的
A
B
C
P
F
E
D
新知讲解
2.如图，四边形ABCD的面积是16，各边中点分别为M，N，P，Q，MP与NQ相交于点O，求图中阴影部分的面积。
新知讲解
解：∵四边形ABCD的面积是16，点M，N，P，Q分别为各边的中点，
所以四边形QMNP为平行四边形，
所以S△QMO=S△QPO=S△MNO=S△NPO
所以S△AMQ=S△ABD，S△CNP=S△BCD，
相加得S△AMQ+S△CNP=SABCD，
同理，S△BMN+S△DPQ=SABCD，
所以SMNPQ=SABCD。
所以S△QMO+S△NPO=SABCD
所以S△AMQ+S△CNP+S△QMO+S△NPO
=SABCD=16=8。
新知讲解
3.甲、乙两人轮流在一张圆桌上放置同样大小的硬币，每人每次只能放置一枚硬币，且放置过程中不允许重叠与倾斜，硬币不能超出桌面的边界。规定谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜。你知道获胜的策略吗
解：甲先把一枚硬币放在圆桌面的圆心处。
以后无论乙将硬币放在何处，甲都总能在乙上次放的硬币的对称点放置硬币。按照上述方法，甲就能保证获胜。
新知讲解
4.一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少
解：设这个三位数为abc=100a+10b+C，
可得（100a+10b+c）÷（a+b+c）=[（10a+10b+10c）+
（90a-9c）]÷（a+b+c）=10+9（10a-c）÷（a+b+c）；
要使商最大，那么被除数应最大，除数应最小，可得c=0，b=0，
此时商的最大值为：10+9×10a÷a=10+90=100。
新知讲解
特殊化的方法就是在求解一般数学命题的解答时，从考虑一组给定的对象转向考虑其中的部分对象或仅仅一个对象，也就是为了解答一般问题，先求解特例，然后应用特殊的方法或结论再来求解一般问题.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.用字母a表示任意一个有理数，下列四个代数式中，值不可能为0的是( )
A.1+a2 B.|a+1| C.a2 D.a3+1
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.有80粒珠子甲乙两人轮流从中取,取珠规则为每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输，若甲先取,怎样取能保证获胜？
解：首先，因为每人每次至少取1粒，至多取4粒，所以两人一轮取的珠子数量之和可以控制。我们要保证每轮两人取的珠子总数为固定值，这个值就是1+4=5粒。
甲先取，先计算80÷5=16，没有余数。甲先取44粒珠子，此时剩下
80 4=76粒珠子。之后乙取，无论乙取1粒、2粒、3粒还是44粒，甲都取5减去乙取的粒数。
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2.有80粒珠子甲乙两人轮流从中取,取珠规则为每人至少取1粒，至多取4粒，谁取到最后一粒谁就输，若甲先取,怎样取能保证获胜？
例如乙取1粒，甲就取5 1=4粒；乙取2粒，甲就取5 2=3粒等。这样经过若干轮后，最后一定剩下11粒珠子留给乙取，从而乙取到最后一粒珠子输掉游戏。这种策略的核心在于甲先取后，通过控制每轮取珠数量之和为55，来掌握游戏的节奏，确保最后一粒珠子留给乙。
3．如图，已知 AB ∥ CD ，∠ C ＝75°，∠ AEC ＝30°，求∠ A 的度数.
解:过点E向左作 EF ∥ CD ，
则∠FEC＝∠C＝75°.
∵∠AEC＝30°，
∴∠FEA＝∠FEC－∠AEC＝75°－30°＝45°.
又∵ AB ∥ CD ，
∴ EF∥AB ，
∴∠A＝∠FEA＝45°.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.观察下列各式:
(x-1)(x+1)=x -1;
(x-1)(x +x+1)=x -1;
(x-1)(x +x +x+1)=x4-1;
......
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
(1)根据以上规律,则(x-1)(x6+x5+x4+x +x +x+1)= ;
(2)你能否由此归纳出一般性规律:(x-1)(xn+xn-1+…+x+1)= ;
(3)根据以上规律求1+3+32+…+334+335的结果.
解:原式=x(3-1)×(1+3+32+…+334+335)=，
5.已知对任意大于2的正整数n，n5-5n +4n都是正整数m的倍数，求m的最大值.
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
解:n5-5n +4n=n(n4-5n2+4)=n(n -4)(n -1)
=n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1).
因为n(n-2)(n+2)(n-1)(n+1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5的倍数，又当n=3时，原式=120 ，故m的最大值是120.
6.如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，直线l3上有一点P.
【综合拓展类作业】
课堂练习
（1）如图1，若P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由；
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：（1）当P点在C，D之间运动时，∠APB＝∠PAC＋∠PBD，关系不发生变化.
理由：过点P向左作PE∥l1，
∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1.
∴∠PAC＝∠APE，∠PBD＝∠BPE，
∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠PAC＋∠PBD.
（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与点C，D不重合，如图2和图3），试直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，不必写理由.
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：（2）当点P在C，D两点的外侧运动时，
在l2下方时，则∠PAC＝∠PBD＋∠APB；
在l1上方时，则∠PBD＝∠PAC＋∠APB.
课堂总结
特殊化策略：
面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
板书设计
特殊化策略：
面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略。
课题：※问题解决策略：特殊化
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．有一个两位数，减去它各位数上的数字之和的三倍，得23；除以它各位数上的数字之和，商是5余数是1，则这个两位数（ 　 ）
A．不存在　　 B．有唯一的一个　　　　　　　　
C．有两个　　 D．有无数多个
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2.如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直于ABC的平分线BP于点P,则△PBC的面积为( )
A.0.4 cm2 B.0.5 cm C.0.6 cm D.0.7 cm2
B
3.用简便方法计算:2-3-4+5+6-7-8+9+…+66-67-68+69.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
解:原式=(2一3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)
=0+0+…+0
=0.
4．对于任意正整数n，整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数，试说明理由.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
解：（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）＝16n2－1－（16－n2）＝16n2－1－16＋n2＝17n2－17＝17（n2－1）.
因为n为正整数，所以n2－1是整数，
所以整式（4n＋1）（4n－1）－（4－n）（4＋n）的值一定是17的倍数.
5.求（2－1）（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1的个位数字.
作业布置
解：原式＝（22－1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1
＝（24－1）（24＋1）（28＋1）…（232＋1）＋1
＝264－1＋1＝264.
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64……
个位数字按照2，4，8，6依次循环.，
而64＝16×4，
所以原式的个位数字为6.
【知识技能类作业】选做题：
6.直线AB //CD,点P在两平行线之间,点E，F 分别在AB,CD 上,连接
PE,PF.尝试探究并解答:
(1)若图①中∠1=36°，∠2=60°,则∠3= °.
24
作业布置
【综合拓展类作业】
6.直线AB //CD,点P在两平行线之间,点E，F 分别在AB,CD 上,连接
PE,PF.尝试探究并解答:
(2)探究图①中∠1,∠2 与∠3 之间的数量关系，并说明理由。
解:(2)结论:∠2=∠1+∠3.理由如下:
如图①,过点P 向左作 PM // AB.
因为 AB // CD ,AB // PM ,所以 PM //CD.
所以∠1=∠MPE,∠3=∠MPF.
所以∠EPF=∠EPM+∠FPM=∠1+∠3，
即∠2=∠1+∠3.
作业布置
【综合拓展类作业】
6.直线AB //CD,点P在两平行线之间,点E，F 分别在AB,CD 上,连接
PE,PF.尝试探究并解答:
(3)如图②,∠1与∠3的平分线交于点P'，若∠2=α,试求∠EP'F的度数
(用含α的代数式表示).
解:(3)因为∠1与∠3的平分线交于点Pˊ，
所以∠BEP'=∠BEP,∠DFP'=∠DFP.
因为∠BEP+∠DFP=∠2=α，
所以 ∠EP'F=∠BEP'+∠DFP'=(∠BEP+∠DFP)=α.
作业布置
【综合拓展类作业】
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 北师大版 册、章 下册、第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。2.探索并证明三角形的内角和定理。3.证明三角形的任意两边之和大于第三边。4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。9.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余。10.了解三角形重心的概念。11.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。
内容分析 本章共安排了5节内容.第1节认识三角形，介绍三角形的有关概念、符号表示、三角形的重要线段，以及三角形三边之间的关系、内角和等基本性质。第2节图形的全等、第3节探索三角形全等的条件”，在认识全等图形的基础上，理解全等三角形的概念和性质，通过所设计的一系列的实践活动，探索三角形全等的条件。第4节利用三角形全等测距离，体现全等三角形的应用。第5节问题解决策略——特殊化。三角形是最简单的多边形，也是研究其它多边形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用。全等三角形是学生进一步学习几何图形的基础。三角形全等的条件使用方便，但要让学生确信这些事实，还需要进行充分的探索。因此，在教学时重心应落在“探索”二字上。在探索图形性质过程中，使学生经历画图、观察、比较、推理、交流等活动，给学生充分的实践和探究的空间，目的是使学生通过自己的探索和与同伴的交流发现三角形的有关结论，积累了数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力，增强了动手操作与说理的相互结合，逐步培养学生逻辑思考能力和有条理的表达。
学情分析 七年级学生在学习了“相交线与平行线”过程中，学生已经积累了一些几何学习和活动经验，具有一定的说理能力，能就简单问题进行有条理的思考与表达。同时，七年级学生正处于求知欲、探索欲强烈的年龄，他们对身边的事物充满了好奇，他们非常喜欢动手操作，有较强的表现欲。因此，教学时可充分调动学生的探索欲望，激发他们的求知欲，使学生积极探索，同时学生也具备了一定的归纳总结的表达能力，基本上能在教师的引导下就某一探索展开讨论。
单元目标 教学目标1.理解三角形及其内角、中线、高线、角平分线等概念，探索并掌握三角形的内角和及三角形三边之间的关系，了解三角形的稳定性。2.了解图形的全等，理解全等三角形的概念，经历探索三角形全等条件的过程，掌握两个三角形全等的条件，能应用三角形的全等解决一些实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的小组合作意识和合作能力；3.在分别给出两角一夹边、两边一夹角和三边的条件下，能够利用尺规作出三角形。4.掌握特殊化策略，并会应用其解决实际问题。5.在探索图形性质的过程中，经历观察、操作(包括拼、折、画)、想象、推理、交流等活动，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和推理能力(合情推理能力和演绎推理能力)。6.培养学生合作意识，进一步提高分析的实际问题，领会数学的应用价值，培养学习数学的兴趣；解决问题的能力，让学生感受到数学来源于生活，又服务于生活的意识，提高审题能力，理解数学的应用价值，培养学习数学的兴趣。(二)教学重点、难点教学重点：对三角形基本概念的了解及三角形全等条件的探索。教学难点：在不同情况下对全等三角形的证明及其实际应用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架

（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形3课时4.2全等三角形1课时4.3探索三角形全等的条件4课时4.4利用三角形全等测距离1课时※问题解决策略：特殊化1课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1.1三角形的概念及内角和1.了解三角形及相关概念，能正确识别和表示三角形；2.会按角的大小对三角形进行分类；3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题；4.知道直角三角形两锐角互余.1.了解三角形及相关概念，会正确识别和表示三角形2.会按角的大小对三角形进行分类3.掌握三角形的内角和等于180°，并会据此解决简单的问题4.掌握直角三角形两锐角互余任务一：观察图片，引出新课任务二：三角形的有关概念任务三：三角形的内角和任务四：三角形按角的大小分类任务五：直角三角形两锐角互余4.1.2三角形的三边关系1.掌握三角形按边分类的方法，能够判定三角形是否为特殊三角形； 2.掌握三角形的三边关系，能运用三角形三边关系解决有关的问题.1.会按边将三角形进行分类2.掌握三角形的三边关系，能运用三角形三边关系解决有关的问题任务一：回忆三角形的相关知识，引出新课任务二：三角形按边分类任务三：三角形三边关系4.1.3三角形的高、中线、角平分线1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义，并能熟练地画出线段；2.能理解三角形的高、中线及角平分线的性质，并应用于解决简单的数学问题.1.了解三角形的高、中线和角平分线的定义，并能熟练地画出线段2.掌握三角形的高、中线及角平分线的性质，并应用于解决简单的数学问题任务一：设置问题，引出新课任务二：三角形的高、中线、角平分线任务三：三角形的重心4.2全等三角形1.了解全等形及全等三角形的概念，掌握全等三角形的表示方法，理解和掌握全等三角形的性质； 2.了解对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形对应边和对应角；3.学生通过观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验，在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣．1.掌握全等形的定义及性质2.掌握全等三角形的概念，表示方法，性质；3.了解对应边和对应角的概念，能准确找到全等三角形对应边和对应角3.会运用全等三角形的性质解决问题任务一：观察图形，引出新课任务二：全等图形的定义及性质任务三：全等三角形的定义及性质4.3.1利用“边边边”判定三角形全等1.理解三边分别相等的两个三角形全等；2.能用“边边边”判定两个三角形相等，解决相关几何问题；3.理解三角形的稳定性，并会运用三角形的稳定性去解决实际问题.1.掌握三边分别相等的两个三角形全等2.能用“边边边”判定两个三角形相等，解决相关几何问题3.理解三角形的稳定性，并会运用三角形的稳定性去解决实际问题任务一：回忆全等三角形的定义及性质任务二：三角形全等的判定（SSS）任务三：三角形的稳定性4.3.2利用“角边角”“角角边”判定三角形全等1.掌握全等三角形的判定方法（ASA）及（AAS）；2.通过类比的方法继续探究对于给定的两角及一边的三角形是否唯一确定；3.经历动手操作（已知两角及一边能确定唯一三角形）这一过程，培养学生直观想象的思维能力；4.通过探究对给定的两角及一边来确定三角形的形状和大小是否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。1.掌握全等三角形的判定方法（ASA）及（AAS）2.会通过类比的方法探究对于给定的两角及一边的三角形是否唯一确定3.会运用全等三角形的判定方法（ASA）及（AAS）解决问题任务一：回忆三角形全等的判定（SSS）任务二：三角形全等的判定（ASA）任务三：三角形全等的判定（AAS）4.3.3利用“边角边”判定三角形全等1．探索发现和掌握三角形全等的判定定理“边角边”定理．2．能应用“边角边”定理和全等三角形性质，解决有关线段相等、角相等的计算与推理问题．3．培养用已学知识分析、解决新问题的创新意识和情趣，增强自信．1．掌握三角形全等的判定定理“边角边”定理2．能应用“边角边”定理和全等三角形性质，解决有关线段相等、角相等的计算与推理问题任务一：复习学过的全等三角形判定定理任务二：三角形全等的判定（SAS）4.3.4三角形全等判定定理的综合应用1.掌握三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；2.通过解决实际问题，理解几何学的应用价值．1.掌握三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题2.通过解决实际问题，理解几何学的应用价值任务一：复习学过的全等三角形判定定理任务二：三角形全等判定定理的综合应用4.4利用三角形全等测距离1.能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学源于生活，服务于生活.2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达.1.能利用三角形的全等解决实际问题2.能在解决问题的过程中进行有条理的思考和表达任务一：复习全等三角形的判定定理及性质定理任务二：利用三角形全等测距离※问题解决策略：特殊化1.理解特殊化策略的含义.2.会用特殊化策略解决实际问题.1.理解特殊化策略的含义2.会用特殊化策略解决实际问题任务一：通过设置问题，引出新课任务二：特殊化策略任务三：特殊化策略的应用
《第4章 》三角形 单元教学设计
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