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7.3.2 离散型随机变量的方差
人教A版（2019）选择性必修三
素养目标
1.理解离散型随机变量的方差与标准差的概念（重点）
2.计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题，提升数学运算素养（重难点）
3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，提升逻辑推理能力（难点）
新课导入
随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.
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思考一下：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X 和Y 的分布列如表1和表2所示.如何评价这两名同学的射击水平？
X 6 7 8 9 10
P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07
Y 6 7 8 9 10
P 0.07 0.22 0.38 0.3 0.03
表1
表2
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通过计算可得
E(X)=8，E(Y)=8
由于两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
评价射击水平，除要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度.图1和图2分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定.
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思考一下：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？
我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
设离散型随机变量X的分布列如表所示
考虑X的所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2，(x2-E(X))2， (xn-E(X))2.因为X 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X 取值与其均值E(X)的偏离程度.
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离散随机变量的方差的概念
我们称
为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为 .
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思考一下：随机变量的方差与标准差的性质？
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.
方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；
方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.
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思考一下：上面问题中，甲同学和乙同学的方差和标准差各是多少？
可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性.由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为
因为D(Y)新课学习
方差的其他计算公式
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方差的性质
离散型随机变量X加上一个常数b，仅仅使X的值产生一个平移，不改变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即
D(X+b)=D(X)
而离散型随机变量X乘以一个常数a，其方差变为原方差的a2倍，即
D(aX)=a2 D(X)
一般地，可以证明下面的结论成立：
D(aX+b)=a2 D(X)
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拓展：方差性质的证明
设离散随机变量X的分布列为
X x1 x2 ....... xi ....... xn
p p1 p2 ....... pi ...... pn
由Y=aX+b（a,b为常数）知Y也是离散随机变量，Y的分布列为
Y ax1+b ax2+b ....... axi+b ....... axn+b
p p1 p2 ....... pi ...... pn
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拓展：方差性质的证明
由均值的性质得E(Y)=aE(X)+b,于是
D(aX+b)=D(X)
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例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X的方差.
随机变量X的分布列为
因为
所以
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例2 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表(1)和表(2)所示.
收益X/元 -1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
表（1）
表（2）
问题：(1)投资哪种股票的期望收益大？
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分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值.投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低.
股票A和股票B投资收益的期望分别为
E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1.
因为E(X)>E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大.
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(2)投资哪种股票的风险较高？
股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1)2×0.1+02×0.3+22×0.6-1.12=1.29，
D(Y)=02×0.3+12×0.4+22×0.3-12=0.6.
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高.
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思考一下：随机变量的方差在不同实际问题中代表的意义相同吗？
随机变量的方差是一个重要的数字特征，它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度，或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中，方差可以有不同的解释.例如，如果随机变量是某相关技能的测试成绩，那么方差的大小反映了技能的稳定性；如果随机变量是加工某种产品的误差，那么方差的大小反映了加工的精度；如果随机变量是风险投资的收益，那么方差的大小反映了投资风险的高低；等等.
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D
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C
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A
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C
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B
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总结一下
1.离散随机变量的方差的概念
2.方差的性质

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