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贵阳市观山湖区美的中学2024-2025学年度第二学期3月质量监测
九年级数学
(时间：120分钟　　满分：150分)
姓名：________　　　班级：________　　　分数：________
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，每小题3分，共36分．
1．如图所示的几何体的左视图是 （ ）
2．10名学生的身高如下(单位：cm)：159，169，163，170，166，165，156，172，165，162，从中任选一名学生，其身高超过165 cm的概率是 （ ）
A. B. C. D.
3．如果一个正多边形的中心角为72°，那么它的边数是 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．关于x的方程x2＋kx－2＝0(k为实数)根的情况是 （ ）
A．有两个不等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定
5．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是 （ ）
A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
第5题图　　 第7题图　　 第10题图
下列说法：①四边相等的四边形一定是菱形；②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形；③对角线相等的四边形一定是矩形．其中正确的有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是 （ ）
A．25° B．35° C．40° D．50°
8．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为 （ ）
A．32 B．8 C．4 D．16
甲、乙、丙三个梯子斜靠在一堵墙上(梯子顶端靠墙)，小明测得：甲与地面的夹角为60°；乙的底端距离墙脚 m，且顶端距离墙脚3 m；丙的坡度为 .那么，这三个梯子的倾斜程度为 （ ）
A．甲较陡 B．乙较陡 C．丙较陡 D．一样陡
10．如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝－ 和y＝ 的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．14
11．如图，△AOB与△COD是位似图形，以原点O为位似中心，若AC＝2OA，B点坐标为(4，2)，则点D的坐标为 （ ）
A．(8，4) B．(8，6) C．(12，4) D．(12，6)
第11题图　　 第14题图　　 第16题图
12．关于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤2时，y随x的增大而减小，则m＝2；③如果将它的图象向左平移3个单位长度后过原点，则m＝－1；④如果当x＝1时的函数值与x＝2 023时的函数值相等，则当x＝2 024时的函数值为－3.其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．已知一个斜坡的坡度i＝1∶，则该斜坡的坡角度数为 .
14．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，＝，则AE的长为 .
15．将抛物线y＝3x2－2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的解析式为 .
16．如图， BC是半圆O的直径， AO⊥BC交半圆O于点A，D是 的中点，CD分别交AO, AB于点E，F.若BD＝1，则DE的长为 , EF的长为 .
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分12分)解下列方程：
(1)x2－2＝7；　　　　　　　　
(2)x2－8x－20＝0.
18．(本题满分10分)小明和小刚做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4的4个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．求小明获胜的概率．
19．(本题满分10分)一种太阳能路灯由灯杆和灯管支架两部分构成．如图，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC＝60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE＝3 m，EF＝8 m(A，E，F在同一条直线上)．求灯管支架CD的长度(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.73)．
20．(本题满分10分)某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20 kg.
(1)现该商场要保证每天盈利6 080元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克水果应涨价多少元？
(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
21．(本题满分10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，DE与BC相交于点F，连接BE.
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由．
22．(本题满分10分)如图，在直角坐标系中，直线y1＝ax＋b与双曲线y2＝(k≠0)分别相交于第二、四象限内的A(m，4)，B(6，n)两点，与x轴相交于C点，与y轴交于D点．已知OC＝3，tan∠ACO＝.
(1)求y1，y2对应的函数解析式；
(2)△AOB的面积为 ；
(3)当x<0时，不等式ax＋b>的解集为 .
23．(本题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D.
(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB＝4，求图中阴影部分的面积．
24．(本题满分12分)在直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x＋c(c为常数)．
(1)当c＝－3时，求抛物线y＝x2－2x＋c的对称轴和顶点坐标；
(2)若抛物线与x轴有两个交点，自左向右分别为点A，B，且OA＝OB，求抛物线的解析式；
(3)当－1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则c的取值范围为 .
25．(本题满分12分)【问题发现】
(1)如图①，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC上任意一点，在AD的右侧作等腰直角△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE，则∠ABC和∠ACE的数量关系为 ；
【拓展延伸】
(2)如图②，在等腰△ABC中，AB＝BC，点D是BC边上任意一点(不与点B，C重合)，在AD的右侧作等腰△ADE，使AD＝DE，∠ABC＝∠ADE，连接CE，则(1)中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
(3)在(2)的条件下，若AB＝BC＝6，AC＝4，点D是射线BC上任意一点，请直接写出当CD＝3时CE的长．答案：
1． （B）
2． （B）
3． （B）
4．（A）
5．（D）
6. （C）
7．（C）
8．（C）
9（D）
10．（B）
11． （D）
12．（B）
13．30°.
14．1.
15．y＝3(x＋2)2－5.
16．2－.
17．(1)　　　　　　　　
(2)解：(x－10)(x＋2)＝0，
x－10＝0或x＋2＝0，
x1＝10，x2＝－2.
18．
解：画树状图如图所示，
差的绝对值为：0，1，2，3，1，0，1，2，2，1，0，1，3，2，1，0，共16种等可能结果，小于2的有10种，∴小明获胜的概率为.
19.
解：延长FC交AB于点G，
∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，
∴∠DGC＝60°，
∵∠GDC＝60°，∴∠DCG＝60°，
∴△DGC是等边三角形，∴DC＝DG，
∵AE＝3 m，EF＝8 m，∴AF＝AE＋EF＝11 m，
在Rt△AFG中，AG＝AF·tan 30°＝11×＝(m)，
在Rt△ADE中，AD＝AE·tan 60°＝3 m，
∴CD＝DG＝AG－AD＝－3＝≈1.2(m)．
答：灯管支架CD的长度约为1.2 m.
20．解：(1)设每千克水果应涨价x元，则(10＋x)(500－20x)＝6 080，
解得x1＝6，x2＝9.∵要顾客得到实惠，∴x取6.
答：每千克水果应涨价6元．
(2)设总利润为y，则
y＝(10＋x)(500－20x)＝－20x2＋300x＋5 000＝－20(x－7.5)2＋6 125.
∴当x＝7.5时，y最大为6 125.
答：每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
21．
(1)证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA＝CD，∠A＝∠CDE，
∴∠A＝∠CDA，∴∠CDA＝∠CDE，
∴CD平分∠ADE.
(2)解：BE⊥AB，
理由：由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE，
∵CA＝CD，CB＝CE，∴∠CAD＝∠CDA＝∠CBE＝∠CEB，
∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ABC＝∠CBE＋∠ABC＝90°，
即∠ABE＝90°，∴BE⊥AB.
22．(2)9；
(3)x<3.
解：(1)∵在Rt△OCD中，OC＝3，
tan∠ACO＝，∴OD＝2，即点D(0，2)，
又∵C(3，0)，∴y1＝－x＋2.
∴A(－3，4)，B(6，－2)，∴k＝－3×4＝－12，∴y2＝－.
23．(1)
(2)解：(1)直线AC与⊙O相切，
理由：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠BAC＝90°，
∴BA⊥AC，∵AB是⊙O的直径，
∴直线AC与⊙O相切．
(2)连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD＝90°，
∵AO＝OB，AB＝4，∴S△ABD＝AB·OD＝×4×2＝4，
∴S阴影＝S△ABC－S△BOD－ S扇形OAD＝×4×4－×4－＝6－π.
24．
(3)－3＜c＜0.
解：(1)对称轴为x＝1，顶点坐标为(1，－4)．
(2)①当点A，B都在原点的右侧时，设A(m，0)，则B(2m，0)，
∴1－m＝2m－1，解得m＝，∴c＝，∴y＝x2－2x＋；
②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时，设A(－n，0)，
则B(2n，0)，∴n＋1＝2n－1，解得n＝2，∴c＝－8，∴y＝x2－2x－8，
综上，抛物线的解析式为y＝x2－2x＋或y＝x2－2x－8.
25．(1)相等；
解：(2)成立，理由：
∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝×( 180°－∠ABC )，
∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×( 180°－∠ADE)，
∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，＝，
∴△ABD∽△ACE，∴∠ABC＝∠ACE.
(3)如图③， ∵AB＝ BC，∴∠BAC＝∠ACB＝×(180°－∠ABC)，
∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×( 180°－∠ADE )，
∵∠ABC＝∠ADE，∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE，＝，
∴△ABD∽△ACE，＝，∴CE＝6

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