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河北省2025届高三模拟预测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. 或 D. 或
3.已知等差数列的前项和为，对任意，“数列为递增数列”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知某篮球运动员每次在罚球线上罚球命中的概率为，该篮球运动员某次练习中共罚球次，已知该运动员没有全部命中，则他恰好命中两次的概率为( )
A. B. C. D.
5.下列函数是奇函数且在上单调递增的为( )
A. B.
C. D.
6.若函数在上恰有两个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8.已知分别为椭圆的左、右焦点，过点向圆引切线交椭圆于点在轴上方，若的面积为，则椭圆的离心率( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于顶点的两点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则抛物线的准线方程为
B. 若是正三角形，则
C. 若点是的垂心，则直线的方程为
D. 点可以是的外心
11.已知函数，当时，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线斜截式方程为 ．
13.若甲、乙等人随机排一排照相，则甲、乙不在两端也不相邻的概率为 ．
14.已知均为锐角，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某初级中学为了响应国家提倡的素质教育，积极组织学生参加体育锻炼，并定期进行成绩测试在某次测试中，该校随机抽取了初二年级名男生的立定跳远成绩和米短跑成绩，在立定跳远成绩大于等于的名男生中，米短跑成绩小于等于的有人，在立定跳远成绩小于的男生中，米短跑成绩大于的有人
单位：人
立定跳远成绩 米短跑成绩 合计
小于等于 大于
大于等于
小于
合计
完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与米短跑成绩有关；
“立定跳远成绩小于”且“米短跑成绩小于等于”的人数为，已知这人中有人喜爱运动，若从中任取人进行调研，设表示取出的喜爱运动的人数，求的分布列和数学期望．
下面附临界值表及参考公式：
16.本小题分
如图，在梯形中，分别是的中点，以为折痕将折起使到达的位置，得到四棱锥是的重心．
证明：平面；
当在底面上的射影落在上时，求平面和平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且．
当的面积时，求的长；
当时，求边上的高．
18.本小题分
求导是研究函数性质的一种方法，特别是利用导数的几何意义来研究切线的斜率，这种方法也适用于圆锥曲线，我们可以将圆锥曲线方程视为复合函数，仿照复合函数的求导法则来进行，例如：圆的方程，为了求对的导数，可将看作的复合函数，将上式两边逐项对求导，则有：，于是得已知直线与双曲线相切于点的右焦点为，直线与直线交于点．
证明：直线的方程为；
证明：以为直径的圆过点；
若，直线与两条渐近线交于两点，求的面积．
19.本小题分
洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响洛必达法则：给定两个函数，当时，已知函数，．
证明：在区间上单调递减；
对于恒成立，求实数的取值范围；
，证明：附：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.列联表如图．
单位：人
立定跳远成绩 米短跑成绩 合计
小于等于 大于
大于等于
小于
合计
零假设为：立定跳远成绩与米短跑成绩无关，
计算得，
根据小概率的独立性检验，推断不成立，
即认为立定跳远成绩与米短跑成绩有关，此推断犯错误的概率不大于．
由可知的可能取值为，
则，
，
，
其分布列为：
所以数学期望为．

16.是的中点，
是正三角形，四边形与是菱形，
连接，则，
延长交于点是的重心，是的中点，
连接是的中点，，
又不在平面内，平面平面．
取的中点，连接，由题可知点在底面上的射影为的中点，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面和平面的夹角为，
则，
平面和平面夹角的余弦值为．

17.，
由余弦定理得，
由，得，
解得或，
由题知，
当时，由余弦定理得，
则，即；
同理当时，，
综上所述，或．
，
，
即，
联立，可得，即，
解得边上的高为．

18.因点在双曲线上，可得即．
对双曲线的方程两边求导得，解得
则在点处的切线斜率为，其切线方程为，
整理得，即直线的方程为．
如图，因直线与直线交于点．
故，，
则，，
，
，
以为直径的圆过点．
由知直线的方程为，即，
直线，
．
如图，设，
直线和渐近线联立消元得
，
，
又原点到直线的距离，
的面积．

19.，
令，则，
令，则，
若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，
若，则单调递增，，即
存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，
且，
在区间上单调递减，且在上连续，
综上，在区间上单调递减．
当时，，成立当时，由可得，
令，
由可知在上单调递减，．
由洛必达法则：，
．
当且时，，令，
则，令，则，
在上单调递增，，
即在上单调递增，当时取等号，
，
，
，
，
即．

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