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陕西省咸阳市2025年高考模拟检测(二)
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.若是虚数单位，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，则为( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.已知，则函数的最大值是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，则( )
A. B. C. D.
8.年有双春年之寓意，双春年是指在一个农历年中出现两个立春节气的现象这是由于农历和阳历之间的差异造成的，为了使农历与季节变化相适应，农历中会设置闰月，年有闰六月，从而导致一年中出现两个立春在传统文化中，双春年通常被认为是非常吉利的年份，双字寓意着好事成双，在这一年做任何事都会有好兆头那么，用，，，，，组成不同的位数的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )
A. 若，，，则的最大值为
B. 若，，，则的最小值为
C. 若，，则
D. 若，，，则的最小值为
10.已知圆的方程为，点是圆上任意一点，为坐标原点，则下列结论正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 满足的点有个
C. 的最大值为
D. 若点在轴上，则满足的点有两个
11.若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是( )
A. ，
B.
C. ，使得，，成等比数列
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直三棱柱中，，，则三棱锥的体积为 ．
13.已知为坐标原点，过双曲线的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点，若，，，则双曲线的离心率为 ．
14.已知方程的两根为，，若，不等式对任意的，恒成立，则正实数的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，若．
求角；
已知，，为边上一点，且，求．
16.本小题分
为增强学生的法制意识，打造平安校园，某高中学校组织全体学生开展了“智慧法治，平安校园”知识竞赛，根据成绩，制成如下统计图．
估算成绩的中位数；
以频率估计概率，从该校学生中随机抽取人，用表示成绩在的人数，求的分布列和方差；
用分层抽样的方法从成绩在的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中至少一人成绩落在的人数，求的数学期望．
17.本小题分
在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为其中，该方程称为平面的一般式方程如图，直三棱柱中，，点，分别为棱，的中点，．
求证：平面平面；
若．
求平面的点法式方程和一般式方程；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
18.本小题分
已知，是椭圆：的左，右焦点，焦距为，离心率，过左焦点的直线交椭圆于两点．
求椭圆的方程；
求证为定值；
求内切圆的面积的最大值．
19.本小题分
已知，．
当时，求函数在的最小值；
若函数为增函数，求实数的取值范围；
若时，，，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以由余弦定理可得，
整理得，所以，所以，
所以，因为，所以；
因为，所以，又，
两边平方得，又，，，
所以，
所以．
16.解：由图知，解得，
设中位数为，则，解得．
由题知成绩在内的概率为，，
的可能取值为，
又，，
，，
所以的分布列为
．
因为，则抽取的人中，有个成绩在个在，
由题知的可能取值为，
又，，，
所以的数学期望为．
17.解：由四边形是正方形，所以
，
由于，，故，
所以，即，
由题得平面，又平面，所以，
因为，且，平面，
所以平面，又平面，所以．
因为，且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面．
由于，且平面，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
因为平面过定点，
所以平面的点法式方程为，
即平面的一般式方程为；
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
所以，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．
18.解：由题意知，则，，则，，
椭圆的方程：．
由题意可知，
当直线斜率不存在时，即直线方程为，，
即；
当直线斜率存在时，设直线方程为：，，，假设，
则联立方程组整理得，
，，
，，
，
综上所述：是定值．
的周长，
设的内切圆的半径为，则，
当面积最大时，的内切圆的半径最大，即内切圆面积最大．
，
由可知，当直线斜率不存在时，，
当直线斜率存在且不为时，
，
令，
，
综上所述：，当直线斜率不存在时取得最大值，
此时圆的半径，圆的面积．
19.解：当时，，则，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号，则在上单调递增，
所以函数在的最小值为．
因为，则，
因为函数为增函数，则恒成立，
由，当且仅当，即时取等号，
所以．
因为时，，即，得到，
令，则，
令，则，
所以，即，
所以，
即．

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