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2025 年湖南长沙市数学中考模拟练习卷答案
1-5DBDCC 6-10BBBCC
11．【答案】15
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】丁
16．【答案】
17．【答案】解：
18．【答案】，
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在△DOE和△BOF中，
，
∴ ．
（2）解：由（1）可得， ， ，
∴四边形BFDE是平行四边形，
在△EBO和△EDO中，
，
∴ ，
∴ ，
∴四边形BFDE是菱形，
根据 ，设 ，可得 ，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴四边形 的周长= ．
20．【答案】（1）50；30；6
（2）解：混动的人数为：50-27-3-5=15（人）
如图所示，
（3）解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为：360°x30%=108°；
（4）解：4000x(54%+30%+6%)=3600(人).
答：估计喜欢新能源(纯电、混动、氢燃料)汽车的有3600人.
21．【答案】（1）解： ，
，
，
，
平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
.
22．【答案】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件B种器材，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∵
，
∵，
，；
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
．

24．【答案】解：【探究】成立，
证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【应用】
过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，
∴，
设，则，
∴，，
∴
25．【答案】（1）焦点坐标为，准线的方程为
（2）或
（3）2025 年湖南长沙市数学中考模拟练习卷
注意事项:
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号;
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效;
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示;
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸;
6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分.
选择题(在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分)
1．下列四个城市的地铁标志中，既是中心对称又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则（　　）
A． B． C． D．
4．是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．我国人工智能技术在近年得到了蓬勃发展，其中Deepseek（深度求索）在2025年以各项性能在全球排名前列，成为了各大国家争相学习的对象．据统计，某校七个班了解并使用过人工智能AI软件的同学人数分别为：27，25，29，30，26，28，30．那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
6．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠ACD＝32°，则∠BAD的度数是（　　）
A．48° B．58° C．60° D．64°
7．在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．如下图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把焦脆而不糊的豆腐块数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸的时间t（单位：分钟）近似满足函数关系式： （ a，b，c为常数），如图纪录了三次实验数据，根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）
A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟
10．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点，分别为，的中点，若恰好经过点，则的值为（　　）
A． B．3 C． D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．一个不透明的袋子中装有黑球和白球共25个，它们除颜色不同外，其余均相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋子中摇匀，重复300次，其中摸出白球有180次，由此估计袋子中白球的个数为　 　
12．若一个扇形的圆心角为，半径是，则这个扇形的面积是　 　．（结果保留）
13．《哪吒2：魔童闹海》在春节档上映后票房火爆，在2025年2月17日突破了120亿元票房，进入全球票房榜前10名．其数据12000000000用科学记数法表示为　 　．
14．如图，过反比例函数（）的图象上一点作轴于点，连接，若，则反比例函数的表达式为　 　．
15．甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是125分，方差分别是，则成绩最稳定的是 　 　．
16．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点分别在边上，过点E作于点H．当，，时，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题，每小题6分；第20、21小题，每小题8分，第22、23题，每小题9分；第24、25小题，每小题10分，共72分）
17．计算：．
先化简再求值：，其中．
19．如图，在矩形 中，过对角线 的中点O作 的垂线 ，分别交 于点 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，连接 ，求四边形 的周长．
20．中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了　 　人；表中　 　，　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；
（4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料)汽车的有多少人
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作 ， ，垂足分别为E，F.AC平分 .
（1）若 ，求 的度数；
（2）求证： .
22．卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
（1）求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
（2）若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？
23．如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点，交于点，且满足．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
24．【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
25．某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，．
（1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________；
（2）如图2，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式；
（3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值．

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