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2024-2025学年第二学期九年级模拟考试
数 学 试 题
（时间：120分钟, 满分：120分）
一、选择题(共10小题，每小题选对得3分)
1．﹣2025的倒数是（　　）
A．2025 B． C．- 2025 D．
2．下列运算结果正确的是（　　）
A．m6+m3＝m2 B．﹣m（n﹣m）＝﹣mn﹣m2 C．﹣（3m）2＝﹣9m2 D．（m﹣1）2＝m2﹣2m﹣1
3．如图，将直尺与含30°角的直角三角尺叠放在一起，若∠1＝50°，则∠2的大小为 （　　）
A．16° B．18° C．20° D．22°
4. 四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．1
5. 如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒AB与它的物像A′B′平行，已知玻璃棒AB＝12厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像A′B′的长是（ ）厘米．
A．5 B．6 C．8 D．4
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（　　）
A．12π B．15π C．18π D．24π
斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，以AB长为半径作弧，交AD于点F；②分别以B、F为圆心，以大于BF的长为半径作弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交边BC于点E．若BF＝8，AB＝5，则AE的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．12
9. 如图（1），已知扇形AOB，点P从点O出发，沿O→A→B→O，以1cm/s的速度运动．设点P的运动时间为x s，OP的长为y cm．y随x变化的关系图象如图（2）所示，则扇形AOB的面积为（　　）
A．3πcm2 B．2.5πcm2 C．2πcm2 D．πcm2
10.如图，Rt△ABE中，∠B＝90°，AB＝BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O．下列结论：
①DE平分∠HDC；②DO＝OE；③H是BF的中点；④BC﹣CF＝2CE；⑤CD＝HF，其中正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（本大题共8小题，其中11--14每小题3分，15--18每小题3分，共28分．）
华为Mate20系列搭载了麒麟980芯片，这个被华为称之为全球首个7纳米工艺的AI芯片，拥有8个全球第一，7纳米就是0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法表示为 　．
12．因式分解3x2+6x+3= 　．
13．小聪同学收集了自家小吃店“五一”期间5月1日至5月5日每天的用水量（单位：吨），整理并绘制成折线图，则这5天用水量的中位数是 　 　吨．
14．若a，b是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两根，则a+b﹣ab的值为 　．
15．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于 　 　海里．
16．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，作AF⊥DE于点F，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形GBCH．若DE＝4，AF＝3，则四边形DBCE的面积为 　 　．
17．如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，点P是BC边上的动点，连接AP，DP，E是AD的中点，F是PD的中点，则EF的最小值是 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰直角三角形AOB．∠OAB＝90°．直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再将Rt△A1OB1，绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A2OB2，且A2O＝2A1O 依此规律，得到等腰直角三角形A2025OB2025，则点B2025的坐标为 　 　．
三、解答题(本大题共7小题，共62分. 解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（本题满分7分）（1）计算：|2﹣|+（）0+3tan30°+（﹣1）2025﹣（）﹣1
先化简，再求值：，其中x满足x2﹣2x﹣2＝0．
20．（本题满分8分）“校园安全”越来越受到人们的关注，近日市教育局印发了《学校日常安全教育基本内容》的通知，某中学就学生对安全教育基本内容的了解程度，随机调查了本校的部分学生．根据调查统计后，绘制成如图所示的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 　 　人，其中“了解较多”的占 　 　%；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1000名学生，根据上述调查，估计此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共
有 　 　人；
（4）“校园安全无小事，安全知识学起来”．某校宣传小组为了进一步宣传学习《学校日常安全教育基本内容》，收集到如下相应的图片，将其制成卡片（除内容外，其余完全相同，将防溺水安全、交通安全、消防安全、食品安全图片分别记为A，B，C，D）．他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张，不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率．
（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式 的解集；
（3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
22.（本题满分8分） 如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D＝30°，⊙O的半径为6cm．求圆中阴影部分的面积．
23．（本题满分8分）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润．
24. （本题满分11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，点D为BC的中点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若GA+GC有最小值，求此时点G的坐标；
（3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求△BDP面积的最大值．
25．（本题满分12分）【问题发现】（1）如图1，已知正方形ABCD，点E为对角线AC上一动点，将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，得到△BEF，连接CF．则＝　 　；∠ACF的度数为 　 　．
【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD和Rt△BEF中，∠EBF＝90°，∠ACB＝∠EFB＝60°，点E在对角线AC上，连接CF．请分别求出的值及∠ACF的度数；
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将点E改为直线AC上一动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM，若，则当△CBM是直角三角形时，请直接写出线段CF的长．
2024-2025学年第二学期九年级模拟考试数学试题答案
一、选择题(共10小题，每小题选对得3分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C D B B B A B
二、填空题(本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分)
11. 7×10﹣9　 12. 　3（x+1）2　 13. 7 14. 2025
15. 6　 16. 　 18　 17. 　 18. （22025，﹣22025）
三、解答题(本大题共7小题，共62分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
19.（本题满分7分）计算
解：（1）原式＝2﹣+1+3×﹣1﹣2
＝2﹣+1+﹣1﹣2
＝0； ……………………………………（3分）
（2）原式＝
＝
＝
＝， ……………………………………（6分）
∵x2﹣2x﹣2＝0．
∴x2＝2x+2，
∴原式＝＝＝． ……………………………………（7分）
（本题满分8分）
解：（1）本次抽取调查的学生共有：4÷8%＝50（人），
其中“了解较多”的占：15÷50×100%＝30%，
故答案为：50，30； …………………………………（2分）
（2）“基本了解”的学生人数为：50﹣24﹣15﹣4＝7（人），
补全条形统计图如下：
…………………………………（4分）
（3）此校对安全教育基本内容“非常了解”和“了解较多”的学生共有：1000×＝780（人），
故答案为：780； …………………………………（5分）
（4）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的结果有2种，
∴抽到的两张卡片恰好是A（防溺水安全）和C（消防安全）的概率为＝． …………………………………（8分）
（本题满分8分）
解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3），
∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6，
解得m＝6，n＝2，
∴A（﹣1，6），B（2，﹣3），
把A、B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． ……………………………………（2分）
（2）观察图象，不等式的解集为：x≤﹣1或0＜x≤2． ……………………………………（4分）
（3）连接OA，OB，由题意C（0，3），
S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×2＝，
设P（m，0），
由题意 |m| 3＝×2，
解得m＝±6，
∴P（6，0）或（﹣6，0）． ……………………………………（8分）
（本题满分8分）
（1）证明：如图，连接CO．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线； ……………………………………（4分）
（2）解：如图，过C作CE⊥AB于E，
∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝∠D+∠OCD＝120°，
∵CE⊥AB于E，
∴CE＝OD＝3cm，
∴cm2，S扇形OAC＝＝12π cm2，
∴圆中阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△AOC＝（12π﹣9）cm2．
……………………………………（8分）
（本题满分8分）
解：（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，
，
得，
答：甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元； ……………………………………（4分）
（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60﹣m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元，
则w＝（20﹣10）m+（50﹣30）（60﹣m）＝﹣10m+1200，
∵m≥4（60﹣m），
解得，m≥48，
∴当m＝48时，w取得最大值，最大利润为：﹣10×48+1200＝720元，60﹣m＝12，
答：当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元．
……………………………………（8分）
（本题满分11分）
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为； ……………………………………（3分）
（2）解：点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴GA＝GB，
∴GA+GC＝GB+GC，
∴当点G在直线BC与抛物线对称轴的交点上时，GA+GC最小，
令x＝0得，y＝﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣4（k≠0），
把B（4，0）代入得，0＝4k﹣4，
解得：k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
联立得：，
解得：，
∴此时点G的坐标为（1，﹣3）； ……………………………………（7分）
（3）如图，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，
∵B（4，0），（0，﹣4），点D为BC的中点，
∴D（2，﹣2），
设P（0＜m＜4），则Q（m，m﹣4），
∴PQ＝m﹣4﹣＝，
∴
＝
＝
＝，
∵，0＜m＜4，
∴当m＝2时，S△BDP有最大值为2． ……………………………………（11分）
（本题满分12分）
解：（1）∵将BE绕点B顺时针旋转90°到BF处，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴AE＝CF，
∴＝1；
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵△ABE≌△CBF，
∴∠BAE＝∠BCF＝45°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝45°+45°＝90°．
故答案为：1，90°； ……………………………………（2分）
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴，
同理，在Rt△EBF中，∠EFB＝60°，
∴，
∴，
∵∠ABC＝∠EBF，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠EBF﹣∠EBC，
即∠ABE＝∠CBF，
∴△ABE∽△CBF，
∴，
∴∠BCF＝∠BAE＝30°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠BCF＝60°+30°＝90°． ……………………………………（8分）
（3）分两种情况讨论：
①如图所示，当点E在AC上时，过B作BG⊥AC于G，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝2，
∴BG＝，AG＝3，
∵点M是EF的中点，∠ECF＝∠EBF＝90°，
∴CM＝EF＝BM，
当△CBM是直角三角形时，∠CMB＝90°，
又∵EM＝CM＝BM，
∴∠BEC＝45°，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝，
∴AE＝AG﹣EG＝3﹣，
由（2）可得，＝，
∴CF＝（3﹣）＝；
②如图所示，当点E在AC的延长线上时，过B作BH⊥AC于H，
同理可得，BH＝，AH＝3，CM＝BM，
当△CBM是直角三角形时，∠CMB＝90°，
∴∠CME+∠BMF＝90°，
又∵BM＝EM，CM＝EM，
∴∠KEM＝∠BMF，∠KFE＝∠CME，
∴∠KFE+∠KEF＝（∠CME+∠BMF）＝45°，
∴∠EKF＝135°，
∴∠HEB＝130°﹣∠KCE＝45°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴HE＝BH＝，
∴AE＝AH+HE＝3+，
由（2）可得，＝，
∴CF＝（3+）＝+1；
综上所述，CF的长为或．
……………………………………（12分）

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