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2024-2025学年天津市静海区第一中学高一下学期3月学生学业能力调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、，若向量是与方向相同的单位向量，则( )
A. B. C. D.
2.已知，均为单位向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.在中，若，，，则等于( )
A. B. 或 C. D. 或
4.设，是非零向量，“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值( )
A. B. C. D.
7.在平行四边形中，与交于点，，的延长线与交于点若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确个数是( )
若，则定为等腰三角形
若，则一定是锐角三角形
若点是边上的点，且，则的面积是面积的
若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
若，则点是的内心
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
9.已知向量，则在方向上的投影向量为 ．
10.在中，若，，，则 ．
11.已知向量，若为锐角，则的取值范围是 ．
12.如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为 ．
13.在平面四边形中，，则 ； ．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知平面向量，，其中，．
求与的夹角；
若与共线，求实数的值．
15.本小题分
在中，内角所对的边分别为已知，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
在三角形中，已知内角，，所对的边分别为，，，，，．
求边的长；
若为直线上的一点，且，求．
17.本小题分
如图，在边长为的正方形中，是对角线上一点，且，则
求；
若点为线段含端点上的动点，求的最小值；
求数量积是向量中常见常考的问题，根据本题试总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，已知．
求角的大小．
若，的面积为，求的周长．
若为锐角三角形，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.因为，，
所以，，
，，
，
，．
，，
与共线，，
解得．
即实数的值为．

15.Ⅰ解：由，及，得．
由，及余弦定理，得．
Ⅱ解：由Ⅰ，可得，代入，得．
由Ⅰ知，为钝角，所以于是，
，故
．
16.方法一：，，
又 ，所以与平方相加得，
即，或．
又，为锐角，，，．
，，所以为等腰直角三角形，．
方法二：，为锐角，，，．
，
也可以直接由得，即
由正弦定理与余弦定理得：，
又，，，即．
解法一：当时，
，
；
当时，
，
．
解法二：当时，在中，，，，
；
当时，在中，，，，
．
17.因为四边形是边长为的正方形，所以，．
已知，且，则．
那么．
．
所以
根据向量数量积的分配律展开可得：
．
由于，且，，则：
．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．
则，，，，．
因为，所以，则．
设，因为点在直线上，直线的方程为，即，所以．
则，．
所以
展开可得．
进一步展开得，令．
所以在处取得最小值，，即的最小值为．
总结常用的求数量积的方法以及每个方法适用范围：
定义法：为与的夹角适用范围：已知向量的模长和夹角时，可直接使用定义求数量积．
坐标法：若，，则适用范围：当向量的起点在坐标原点，或者可以通过建立平面直角坐标系方便地得到向量的坐标时，使用坐标法较为简便．
基底法：将所求向量用已知向量表示出来，然后根据向量数量积的运算律进行计算适用范围：在一些几何图形中，已知一些向量的关系，通过向量的加减法、数乘等线性运算将未知向量转化为已知向量，进而求数量积．
其他方法：极化恒等式，适用于共点的数量积问题，求最值小题使用比较快；投影法，对于几何问题，投影固定或者模长固定，比较好用．

18.，，即，
，，
，故．
由得，，
的面积为，，即，解得，
由余弦定理得，，
，故的周长为．
由得，则，
．
为锐角三角形，，故，
，故，
，即的取值范围是．

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