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第二节　第1课时　探究影响向心力大小的因素
(分值：40分)
温馨提示：此系列题卡，非选择题每空2分，分值不同题空另行标注
1.(10分)(2024·广东湛江高一期中)下列说法中正确的是(　　)
匀速圆周运动是一种匀变速运动
物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动
所有做圆周运动的物体，它所受的合外力一定是指向圆心的
因为物体做圆周运动，所以产生了向心力
2.(4分)如图为“感受向心力”的实验装置图：用长短不同、承受最大拉力相同的两根轻质细绳各拴着一个质量相同的小球，在光滑水平桌面上抡动细绳使小球做匀速圆周运动。
(1)若两个小球以相同的周期转动，则________绳容易断(选填“长”或“短”)。
(2)若两个小球以相同的线速度转动，则________绳容易断(选填“长”或“短”)。
3.(6分)如图所示，探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，采用了________。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法
(2)若变速塔轮半径相同，两小钢球质量相同，是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量m 　B.半径r 　C.角速度ω
(3)在探究F与ω关系时，图中标尺上红白相间的等分格显示出两个相同小球所受向心力的比值为1∶9，与皮带连接的两个变速轮塔的半径之比为________。
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.3∶1
4.(6分)某同学利用图甲中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素。实验时，砝码随旋臂一起做圆周运动，其受到的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光时间Δt，换算生成角速度ω。保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速得到多组F、ω的数据后，作出了F－ω2图线如图乙所示。牵引杆的质量和一切摩擦可忽略。
　　
甲　　　　　　　　　乙
(1)该同学采用的主要实验方法为________。
A.等效替代法
B.控制变量法
C.理想化模型法
(2)实验中，某次挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，已知挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，则可得挡光杆转动的角速度ω的表达式为ω＝________。
(3)根据图乙，得到的实验结论是______________________________________
___________________________________________________________________。
5.(6分)用图甲所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1。
(1)探究向心力与角速度之间的关系时，选择半径________(1分)(选填“相同”或“不同”)的两个塔轮，同时应将质量相同的小球分别放在________(1分)(选填字母)处。
A.挡板A与挡板B
B.挡板A与挡板C
C.挡板B与挡板C
(2)探究向心力与角速度之间的关系时，若图中标尺上红白相同的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为________。
A.1∶9 B.3∶1
C.1∶3 D.1∶1
(3)图乙是某同学用DIS实验装置研究向心力与哪些因素有关的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力传感器测定的是圆柱体所受的向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，表格中记录了向心力与线速度对应的数据，为了简单明了地观察出向心力与线速度的关系，最好是选择下列选项图中的图________(填字母)。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
6.(8分)一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小F与半径r的数据，记录到表1中。
表1　向心力F与半径r的测量数据
次数 1 2 3 4 5
半径r/mm 50 60 70 80 90
向心力F/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小F和角速度ω的数据，记录到表2中。
表2　向心力F与角速度ω的测量数据
次数 1 2 3 4 5
角速度ω/(rad·s－1) 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8
向心力F/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81
(1)根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出F－r图线和F－ω图线(2分)。
(2)若作出的F－ω图线不是直线，可以尝试作F－ω2图线，试在图丙中作出F－ω2图线(2分)。
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________。
第二节　第1课时　探究影响向心力大小的因素
1．B　[匀速圆周运动的加速度在不断变化，不是匀变速运动，A错误；匀速圆周运动所需向心力指向圆心，即所受合外力方向需不断变化，物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动，B正确；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力指向圆心，变速圆周运动所受合外力不指向圆心，C错误；因为物体受到指向圆心的力提供向心力所以做圆周运动，不是因为物体做圆周运动，所以产生了向心力，D错误。]
2．(1)长　(2)短　[(1)根据拉力提供向心力，有F＝ml，可知，当小球以相同的周期转动时，长绳需要的向心力大，所以长绳容易断。(2)根据拉力提供向心力，有F＝m，可知，当小球以相同的线速度转动时，短绳需要的向心力大，所以短绳容易断。]
3．(1)B　(2)B　(3)D　[(1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，采用了控制变量法，故B正确。(2)若变速塔轮半径相同，则角速度相同，两小钢球质量相同，则是在研究向心力的大小F与半径r的关系，故B正确。(3)在探究F与ω关系时，图中标尺上红白相间的等分格显示出两个相同小球所受向心力的比值为1∶9，则与皮带连接的两个变速轮塔的角速度之比为1∶3，因塔轮边缘的线速度相同，根据v＝ωr，知两变速塔轮的半径之比为3∶1，故D正确。]
4．(1)B　(2)　(3)在m、r一定的情况下，向心力F的大小与角速度ω的平方成正比　[(1)实验中保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速，所以采用的是控制变量法，故B正确。(2)挡光杆处的线速度为v＝，又v＝ωd，所以角速度为ω＝。(3)在m、r一定的情况下，向心力F的大小与角速度ω的平方成正比。]
5．(1)不同　B　(2)B　(3)B　[(1)探究向心力与角速度之间的关系时，由于两个塔轮通过皮带相连，所以线速度大小相等，为了使塔轮转动的角速度不同，应选择半径不同的两个塔轮，同时将质量相同的小球分别放在挡板A与挡板C处，故选B。(2)由题意可知，F1∶F2＝1∶9，根据向心力公式F＝mω2r可得两小球的角速度之比为＝＝，根据线速度公式v＝ωr可得与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为＝＝，故选B。(3)A和C图像均为曲线，并不能直观地反映F和v之间的关系，B图像为直线，可以直观地反映F和v2成正比，故选B。]
6．(1)
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(2)
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(3)正比　正比第二节　向心力与向心加速度
第1课时　探究影响向心力大小的因素
学习目标　1.能根据生活中的圆周运动体会影响向心力大小的相关因素。2.会测量实验数据，通过分析数据推导向心力的表达式。3.理解控制变量法在探究影响向心力大小的因素的实验中起到的关键作用。
一、向心力
1.定义：物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的________称为向心力。
2.方向：始终指向________，总是与线速度方向________。
3.效果：只改变物体线速度的________，不改变线速度的大小。
4.来源：向心力是根据力的作用________来命名的，它可以由不同性质的力如重力、弹力、摩擦力等提供，也可以由某一力的________或某些力的________提供。
二、探究影响向心力大小的因素
方案一　用绳子和小球定性探究
1.实验思路
如图所示，绳子的一端系一小球，另一端用手固定，让小球在近似光滑的桌面上做匀速圆周运动，此时小球所受的向心力近似等于________________________。通过牵绳的手感受绳子拉力的变化，定性探究影响匀速圆周运动向心力大小的因素。
2.实验步骤
(1)在小球的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，增大或减小小球旋转的角速度进行实验，探究向心力的大小与________的关系。
(2)在小球的质量和旋转的角速度不变的条件下，增大或减小小球旋转的半径(改变绳长)进行实验，探究向心力的大小与________的关系。
(3)在小球旋转的半径和角速度不变的条件下，换一个质量较大的小球进行实验，探究向心力的大小与________的关系。
方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验目的：探究影响向心力大小的因素。
2.实验仪器：向心力演示器(如图甲所示)
3.实验思路
转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球随之做匀速圆周运动，长槽和短槽的挡板为小球的运动提供向心力。小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测力筒下降，露出标尺(如图乙所示)，通过标尺上红白相间等分格的数量，即可求得两个小球所受向心力的大小之比。
可以调整塔轮上的皮带，使其套到半径大小不同的塔轮上，改变长短槽旋转角速度之比。也可以将小球放在长槽不同的卡位上，改变小球做圆周运动的半径。
4.实验步骤
探究1：保持两个小球质量m、转动半径r相同，探究两个小球所受向心力F与角速度ω之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 角速度之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：____________________________________________________
_______________________________________________________________。
探究2：保持__________________________相同，探究________与质量m之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 质量之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：_______________________________________________________
__________________________________________________________________。
探究3：保持质量m和角速度ω相同，探究____________与____________之间的关系。
参考前面的探究实验，采用控制变量法，自主完成向心力和第三个物理量之间的关系探究实验。
实验结论：_________________________________________________________。
方案三　利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力的大小，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω。实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示重物所受向心力的大小。光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度。
实验时采用____________法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系。
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序号 1 2 3 4 5 6
F
ω
ω2
②m、ω一定(表二)
序号 1 2 3 4 5 6
F
r
③r、ω一定(表三)
序号 1 2 3 4 5 6
F
m
(2)数据处理
分别作出F－ω、F－r、F－m的图像，若F－ω图像不是直线，可以作F－ω2图像。
(3)实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与____________成正比。
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与________成正比。
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与________成正比。
探究一　对向心力的理解
例1 (多选)关于圆周运动的向心力，下列说法正确的是(　　)
A.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的
B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C.对匀速圆周运动，向心力是一个恒力
D.向心力的效果是改变物体线速度的大小和方向
1.向心力的方向时刻指向圆心，不断发生改变，故向心力为变力。
2.不是质点做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的存在，才使质点不断改变其速度方向而做圆周运动。　　
探究二　定性探究影响向心力大小的因素
例2 如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素。用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使纸杯在水平面内做圆周运动。
(1)下列说法中正确的是________。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙所示，绳离纸杯重心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使纸杯在水平面内每秒运动两周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向纸杯中添加30 mL的水，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
则：①操作二与操作一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与操作一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与操作一相比较：________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫__________法。
③小组总结阶段，在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
__________________________________________________________________
探究三　定量研究影响向心力大小的因素
例3 如图所示为“探究向心力大小的表达式”的实验装置—向心力演示器，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过与挡板相连的横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺露出的等分格，可以计算出两小球所受向心力大小的比值。左、右变速塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处的层来改变左、右塔轮的角速度之比。实验时，将两个小球分别放在短槽C处和长槽的A(或B)处，已知A、C分别到塔轮中心的距离相等，B到塔轮中心的距离是A到塔轮中心的距离的2倍。
(1)在该实验中，主要利用了________来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系。
A.理想实验法 B.微元法
C.控制变量法 D.等效替代法
(2)在某次实验中，一组同学把两个完全相同的小球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上。匀速转动手柄时，左边标尺露出4个分格，右边标尺露出1个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为________，皮带连接的左、右塔轮半径之比为1∶2，则两球的角速度之比为________，此次实验说明___________________________________________________________________
___________________________________________________________________。
第1课时　探究影响向心力大小的因素
实验基础梳理
一、1.合外力　2.圆心　垂直　3.方向　4.效果　分力　合力
二、方案一：1.绳对小球的拉力　2.(1)角速度　(2)半径　(3)质量
方案二：4.在质量和运动半径一定时，向心力与角速度的平方成正比　运动半径r和角速度ω　向心力F　在运动半径和角速度一定时，向心力与质量成正比　向心力F　运动半径r　在质量和角速度一定时，向心力与运动半径成正比
方案三：1.控制变量　2.(3)①角速度的平方　②半径　③质量
典例探究分析
探究一
例1 AB　[物体做匀速圆周运动时的向心力是物体所受的合力，而做变速圆周运动时的向心力则不是物体所受的合力，而是指向圆心方向的合力，向心力是根据作用效果命名的，故A正确；向心力是物体受到的指向圆心方向的合力，可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，故B正确；向心力的方向总是指向圆心，故方向不断变化，即向心力是一个变力，故C错误；向心力的方向总是与线速度方向垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，故D错误。]
探究二
例2 (1)BD　(2)①角速度、半径　质量　②控制变量
③说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心。
探究三
例3 (1)C　(2)4∶1　2∶1　见解析
解析　(1)在该实验中，试验时采用了控制其中两个量不变，研究第三个量与向心力的关系，故主要利用了控制变量法来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系，故C正确。
(2)由题意可知，左右两侧的向心力大小之比等于标尺露出的格数之比，所以FA∶FC＝4∶1；由于皮带传动处线速度相等，根据v＝ωr可知ωA∶ωC＝r右∶r左＝2∶1；由于此次实验控制了物体的质量和转动半径相等，故说明了当质量和转动半径相等时，所需的向心力与转动的角速度平方成正比。(共51张PPT)
第二节　向心力与向心加速度
第1课时　探究影响向心力大小的因素
第二章　圆周运动
1.能根据生活中的圆周运动体会影响向心力大小的相关因素。
2.会测量实验数据，通过分析数据推导向心力的表达式。
3.理解控制变量法在探究影响向心力大小的因素的实验中起到的关键作用。
学习目标
目 录
CONTENTS
实验基础梳理
01
典例探究分析
02
实验能力自测
03
1
实验基础梳理
一、向心力
1.定义：物体做匀速圆周运动时所受合外力的方向始终指向轨迹的圆心，这个指向圆心的________称为向心力。
2.方向：始终指向______，总是与线速度方向______。
3.效果：只改变物体线速度的______，不改变线速度的大小。
4.来源：向心力是根据力的作用______来命名的，它可以由不同性质的力如重力、弹力、摩擦力等提供，也可以由某一力的______或某些力的______提供。
合外力
圆心
垂直
方向
效果
分力
合力
二、探究影响向心力大小的因素
方案一　用绳子和小球定性探究
1.实验思路
如图所示，绳子的一端系一小球，另一端用手固定，让小球在近似光滑的桌面上做匀速圆周运动，此时小球所受的向心力近似等于________________。通过牵绳的手感受绳子拉力的变化，定性探究影响匀速圆周运动向心力大小的因素。
绳对小球的拉力
2.实验步骤
(1)在小球的质量和做圆周运动的半径不变的条件下，增大或减小小球旋转的角速度进行实验，探究向心力的大小与________的关系。
(2)在小球的质量和旋转的角速度不变的条件下，增大或减小小球旋转的半径(改变绳长)进行实验，探究向心力的大小与______的关系。
(3)在小球旋转的半径和角速度不变的条件下，换一个质量较大的小球进行实验,探究向心力的大小与______的关系。
角速度
半径
质量
方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验目的：探究影响向心力大小的因素。
2.实验仪器：向心力演示器(如图甲所示)
3.实验思路
转动手柄可以使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的小球随之做匀速圆周运动，长槽和短槽的挡板为小球的运动提供向心力。小球对挡板的作用力通过杠杆结构使弹簧测力筒下降，露出标尺(如图乙所示)，通过标尺上红白相间等分格的数量，即可求得两个小球所受向心力的大小之比。
可以调整塔轮上的皮带，使其套到半径大小不同的塔轮上，改变长短槽旋转角速度之比。也可以将小球放在长槽不同的卡位上，改变小球做圆周运动的半径。
4.实验步骤
探究1：保持两个小球质量m、转动半径r相同，探究两个小球所受向心力F与角速度ω之间的关系。
在表中记录实验数据
实验次数 角速度之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：____________________________________________________。
探究2：保持____________________相同，探究__________与质量m之间的关系。
在质量和运动半径一定时，向心力与角速度的平方成正比
运动半径r和角速度ω
向心力F
在表中记录实验数据
实验次数 质量之比 标尺格子数之比(向心力之比)
1
2
3
实验结论：______________________________________________。
在运动半径和角速度一定时，向心力与质量成正比
探究3：保持质量m和角速度ω相同，探究__________与____________之间的关系。
参考前面的探究实验，采用控制变量法，自主完成向心力和第三个物理量之间的关系探究实验。
实验结论：______________________________________________。
向心力F
运动半径r
在质量和角速度一定时，向心力与运动半径成正比
方案三　利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力的大小，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω。实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示重物所受向心力的大小。光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度。
实验时采用__________法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系。
控制变量
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序号 1 2 3 4 5 6
F
ω
ω2
②m、ω一定(表二)
序号 1 2 3 4 5 6
F
r
③r、ω一定(表三)
序号5 1 2 3 4 5 6
F
m
(2)数据处理
分别作出F－ω、F－r、F－m的图像，若F－ω图像不是直线，可以作F－ω2图像。
(3)实验结论
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与______________成正比。
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与______成正比。
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与______成正比。
角速度的平方
半径
质量
2
典例探究分析
探究二　定性探究影响向心力大小的因素
探究一　对向心力的理解
探究三　定量研究影响向心力大小的因素
探究一　对向心力的理解
例1 (多选)关于圆周运动的向心力，下列说法正确的是(　　)
A.向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的
B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C.对匀速圆周运动，向心力是一个恒力
D.向心力的效果是改变物体线速度的大小和方向
AB
解析　物体做匀速圆周运动时的向心力是物体所受的合力，而做变速圆周运动时的向心力则不是物体所受的合力，而是指向圆心方向的合力，向心力是根据作用效果命名的，故A正确；向心力是物体受到的指向圆心方向的合力，可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，故B正确；向心力的方向总是指向圆心，故方向不断变化，即向心力是一个变力，故C错误；向心力的方向总是与线速度方向垂直，不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，故D错误。
1.向心力的方向时刻指向圆心，不断发生改变，故向心力为变力。
2.不是质点做圆周运动才产生向心力，而是由于向心力的存在，才使质点不断改变其速度方向而做圆周运动。
探究二　定性探究影响向心力大小的因素
例2 如图甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素。用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使纸杯在水平面内做圆周运动。
(1)下列说法中正确的是________。
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙所示，绳离纸杯重心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学用手表计时，另一位同学操作。
操作一：手握绳结A，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使纸杯在水平面内每秒运动两周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向纸杯中添加30 mL的水，使纸杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小。
则：①操作二与操作一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与操作一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与操作一相比较：________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫__________法。
③小组总结阶段，在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案　(1)BD　(2)①角速度、半径　质量　②控制变量
③说法不正确。该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心。细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心。
探究三　定量研究影响向心力大小的因素
例3 如图所示为“探究向心力大小的表达式”的实验装置—向心力演示器，转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动。槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过与挡板相连的横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，根据标尺露出的等分格，可以计算出两小球所受向心力大小的比值。左、右变速塔轮通过皮带连接，并可通过改变皮带所处的层来改变左、右塔轮的角速度之比。实验时，将两个小球分别放在短槽C处和长槽的A(或B)处，已知A、C分别到塔轮中心的距离相等，B到塔轮中心的距离是A到塔轮中心的距离的2倍。
(1)在该实验中，主要利用了________来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系。
A.理想实验法 B.微元法 C.控制变量法 D.等效替代法
(2)在某次实验中，一组同学把两个完全相同的小球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上。匀速转动手柄时，左边标尺露出4个分格，右边标尺露出1个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为________，皮带连接的左、右塔轮半径之比为1∶2，则两球的角速度之比为________，此次实验说明_______________________________________________。
答案　(1)C　(2)4∶1　2∶1　见解析
解析　(1)在该实验中，试验时采用了控制其中两个量不变，研究第三个量与向心力的关系，故主要利用了控制变量法来探究向心力与质量、半径、角速度之间的关系，故C正确。
(2)由题意可知，左右两侧的向心力大小之比等于标尺露出的格数之比，所以FA∶FC＝4∶1；由于皮带传动处线速度相等，根据v＝ωr可知ωA∶ωC＝r右∶r左＝2∶1；由于此次实验控制了物体的质量和转动半径相等，故说明了当质量和转动半径相等时，所需的向心力与转动的角速度平方成正比。
实验能力自测
3
B
1.(2024·广东湛江高一期中)下列说法中正确的是(　　)
A.匀速圆周运动是一种匀变速运动
B.物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动
C.所有做圆周运动的物体，它所受的合外力一定是指向圆心的
D.因为物体做圆周运动，所以产生了向心力
解析　匀速圆周运动的加速度在不断变化，不是匀变速运动，A错误；匀速圆周运动所需向心力指向圆心，即所受合外力方向需不断变化，物体受到恒定的合外力，不可能做匀速圆周运动，B正确；做匀速圆周运动的物体，所受的合外力指向圆心，变速圆周运动所受合外力不指向圆心，C错误；因为物体受到指向圆心的力提供向心力所以做圆周运动，不是因为物体做圆周运动，所以产生了向心力，D错误。
2.如图为“感受向心力”的实验装置图：用长短不同、承受最大拉力相同的两根轻质细绳各拴着一个质量相同的小球，在光滑水平桌面上抡动细绳使小球做匀速圆周运动。
(1)若两个小球以相同的周期转动，则________绳容易断(选填“长”或“短”)。
(2)若两个小球以相同的线速度转动，则________绳容易断(选填“长”或“短”)。
答案　(1)长　(2)短
3.如图所示，探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，采用了________。
A.理想实验法 B.控制变量法
C.等效替代法
(2)若变速塔轮半径相同，两小钢球质量相同，是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量m 　B.半径r 　C.角速度ω
(3)在探究F与ω关系时，图中标尺上红白相间的等分格显示出两个相同小球所受向心力的比值为1∶9，与皮带连接的两个变速轮塔的半径之比为________。
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.3∶1
答案　(1)B　(2)B　(3)D
解析　(1)在这个探究向心力大小与质量、角速度和半径之间的关系的实验中，采用了控制变量法，故B正确。
(2)若变速塔轮半径相同，则角速度相同，两小钢球质量相同，则是在研究向心力的大小F与半径r的关系，故B正确。
(3)在探究F与ω关系时，图中标尺上红白相间的等分格显示出两个相同小球所受向心力的比值为1∶9，则与皮带连接的两个变速轮塔的角速度之比为1∶3，因塔轮边缘的线速度相同，根据v＝ωr，知两变速塔轮的半径之比为3∶1，故D正确。
4.某同学利用图甲中所示的DIS向心力实验器来探究圆周运动向心力的影响因素。实验时，砝码随旋臂一起做圆周运动，其受到的向心力可通过牵引杆由力传感器测得，旋臂另一端的挡光杆每经过光电门一次，通过力传感器和光电门就同时获得一组向心力F和挡光时间Δt，换算生成角速度ω。保持砝码的质量和转动半径不变，改变其转速得到多组F、ω的数据后，作出了F－ω2图线如图乙所示。牵引杆的质量和一切摩擦可忽略。
　　　甲　　　　　　　　　乙
(1)该同学采用的主要实验方法为________。
A.等效替代法
B.控制变量法
C.理想化模型法
(2)实验中，某次挡光杆经过光电门时的挡光时间为Δt，已知挡光杆到转轴的距离为d，挡光杆的挡光宽度为Δs，则可得挡光杆转动的角速度ω的表达式为ω＝________。
(3)根据图乙，得到的实验结论是______________________。
　　　甲　　　　　乙
　　　甲　　　　　　　　　乙
　　　甲　　　　　　　　　乙
5.用图甲所示的向心力演示器探究向心力大小的表达式。已知小球在挡板A、B、C处做圆周运动的轨迹半径之比为1∶2∶1。
(1)探究向心力与角速度之间的关系时，选择半径________(选填“相同”或“不同”)的两个塔轮，同时应将质量相同的小球分别放在________(选填字母)处。
A.挡板A与挡板B B.挡板A与挡板C
C.挡板B与挡板C
(2)探究向心力与角速度之间的关系时，若图中标尺上红白相同的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶9，运用圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速塔轮对应的半径之比为________。
A.1∶9 B.3∶1 C.1∶3 D.1∶1
(3)图乙是某同学用DIS实验装置研究向心力与哪些因素有关的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力传感器测定的是圆柱体所受的向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度，表格中记录了向心力与线速度对应的数据，为了简单明了地观察出向心力与线速度的关系，最好是选择下列选项图中的图________(填字母)。
v/(m·s－1) 1 1.5 2 2.5 3
F/N 0.88 2 3.5 5.5 7.9
答案　(1)不同　B　(2)B　(3)B
解析　(1)探究向心力与角速度之间的关系时，由于两个塔轮通过皮带相连，所以线速度大小相等，为了使塔轮转动的角速度不同，应选择半径不同的两个塔轮，同时将质量相同的小球分别放在挡板A与挡板C处，故选B。
(3)A和C图像均为曲线，并不能直观地反映F和v之间的关系，B图像为直线，可以直观地反映F和v2成正比，故选B。
6.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系。在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小F与半径r的数据，记录到表1中。
表1　向心力F与半径r的测量数据
次数 1 2 3 4 5
半径r/mm 50 60 70 80 90
向心力F/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力大小F和角速度ω的数据，记录到表2中。
表2　向心力F与角速度ω的测量数据
次数 1 2 3 4 5
角速度ω/(rad·s－1) 6.8 9.3 11.0 14.4 21.8
向心力F/N 0.98 2.27 2.82 4.58 10.81
(1)根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出F－r图线和F－ω图线。
(2)若作出的F－ω图线不是直线，可以尝试作F－ω2图线，试在图丙中作出F－ω2图线。
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________。
答案　(1)
(2)
(3)正比　正比第二节　第2课时　向心力与向心加速度
(分值：100分)
选择题1～12题，14题，每小题7分，共91分。
对点题组练
题组一　向心力的来源分析及计算
1.如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是(　　)
受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
受重力、台面的支持力和静摩擦力
受重力和台面的支持力
受重力、台面的支持力和向心力
2.用一个水平拉力F拉着一物体在水平面上绕着O点做匀速圆周运动。关于物体受到的拉力F和摩擦力f的受力示意图，下列四个图中可能正确的是(　　)
A B
C D
3.(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
向心力的大小等于mgtan θ
4.如图所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)(　　)
m m
m mg
题组二　向心加速度
5.对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
由a＝知，向心加速度与半径r成反比
由a＝ω2r知，向心加速度与半径r成正比
由ω＝知，角速度与周期T成反比
由a＝知，向心加速度与线速度的平方成正比
6.运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向心加速度为a。则(　　)
ω变小，a变小
ω变小，a变大
ω变大，a变小
ω变大，a变大
7.(多选)如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　)
小物块运动的角速度为2 rad/s
小物块做圆周运动的周期为2 s
小物块在π s内通过的路程为零
小物块在π s内通过的位移为零
8.如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5 m，B点的转弯半径为4 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　　)
运动周期之比为5∶4
运动线速度大小之比为1∶1
向心加速度大小之比为4∶5
受到的合外力大小之比为15∶14
综合提升练
9.如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
两物体受到的摩擦力都增大
两物体受到的摩擦力大小都不变
物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
10.(2024·广东梅州高一期中)在做“甩手动作的物理原理研究”的课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法正确的是(　　)
可估算手臂摆到竖直位置时手的线速度大小约为2 m/s
手臂摆到竖直位置时手机处于失重状态
自然下摆过程中手机所受合力始终沿手臂方向
由a＝可知手掌与手肘的向心加速度之比约为1∶2
11.(多选)如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(　　)
A、B两点的线速度大小之比为2∶1
A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2
A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
12.(多选)质量均为m的小球A、B分别固定在一长为L的轻杆的中点和一端点，如图所示。当轻杆绕另一端点O在光滑水平面上做角速度为ω的匀速圆周运动时，则(　　)
处于中点的小球A的线速度为ωL
处于中点的小球A的加速度为ω2L
处于端点的小球B所受的合外力为mω2L
轻杆OA段中的拉力与AB段中的拉力之比为3∶2
13.(9分)如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板，使小球A绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求(重力加速度为g)：
(1)(4分)轻绳的拉力大小；
(2)(5分)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
培优加强练
14.如图所示，两个质量相同的小球用长度相等的细线拴在同一点，并在各自水平面内做匀速圆周运动，则下列说法错误的是(　　)
A的角速度较大 A的周期较大
A的线速度较大 A的向心加速度较大
第二节　第2课时　向心力与向心加速度
1．B　[当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止，纸箱A受重力、台面的支持力和静摩擦力，其中静摩擦力提供纸箱随转台一起做圆周运动的向心力，因此A、C、D错误，B正确。]
2．C　[由于物体做匀速圆周运动，所以物体受到的合外力方向指向圆心，合外力提供向心力，故C正确。]
3．BCD　[对小球受力分析如图甲所示，可知小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解为水平和竖直的两个分力，拉力的水平分力提供向心力，如图乙所示，A错误，B、C正确；向心力的大小F＝mgtan θ，D正确。]
　　
第3题图　　　　　　　第4题图
4．A　[对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F。由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F1＝，F2＝mg，则F＝eq \r(F＋F)＝＝m，A正确。]
5．C　[由a＝可知，当线速度一定时，向心加速度与半径r成反比，当半径一定时，向心加速度与线速度的平方成正比，故A、D错误；由a＝ω2r可知，当角速度一定时，向心加速度与半径r成正比，故B错误；由ω＝得，角速度与周期T成反比，故C正确。]
6．D　[根据ω＝，可知，速率不变，半径减小，则角速度ω变大；根据a＝，可知，速率不变，半径减小，向心加速度a变大，故D正确。]
7．AD　[由a＝ω2R，可得ω＝＝2 rad/s，故A正确；由ω＝，可得T＝π s，故B错误；小物块在π s内通过的路程为一个周长，则有l＝2πR＝2π m，故C错误；小物块在π s内运动一周，所以通过的位移为零，故D正确。]
8．D　[A、B两点做圆周运动的角速度相等，根据T＝知，周期相等，故A错误；根据v＝ωr，半径之比为5∶4，知线速度大小之比为5∶4，故B错误；根据a＝ω2r知，向心加速度大小之比为5∶4，故C错误；根据F合＝ma，向心加速度大小之比为5∶4，质量之比为6∶7，知合外力大小之比为15∶14，故D正确。]
9．D　[容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器对物体的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变，故A、C错误；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝m(2πn)2r知，B受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故B错误，D正确。]
10．A　[由图可知，手机转动的半径约为0.65 m，根据公式a＝，可得手臂摆到竖直位置时手机的线速度大小约为v＝＝ m/s≈2 m/s，故A正确；手臂摆到竖直位置时，手机的加速度方向向上，处于超重状态，故B错误；自然下摆过程中，手机做变速圆周运动，所受合力不是始终沿手臂方向，故C错误；自然下摆过程中，手掌与手肘的角速度相同，由公式a＝ω2r，可知手掌与手肘的向心加速度之比约为2∶1，故D错误。]
11．CD　[传动中皮带不打滑，则A、B两点的线速度大小相等，A错误；由于A、B两点的线速度大小相等，半径之比为2∶1，由向心加速度a＝可知A、B两点的向心加速度大小之比为1∶2，B错误；由于B、C两点的角速度相等，由a＝ω2r可知B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2，则A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4，C、D正确。]
12．CD　[处于中点的小球A运动的轨道半径为r＝，根据v＝ωr可知线速度v＝ωL，A错误；处于中点的小球A的加速度为aA＝ω2r＝ω2L，B错误；处于端点的小球B的向心加速度aB＝ω2L，由牛顿第二定律可知小球B所受的合外力为F＝mω2L，C正确；设轻杆OA段中的拉力为F1，轻杆AB段中的拉力为F2，由牛顿第二定律，对小球A有F1－F2＝mω2L，对小球B有F2＝mω2L，联立解得＝，D正确。]
13．(1)m2g　(2)
解析　(1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小FT＝m2g。
(2)小球A做匀速圆周运动的向心力由轻绳拉力FT提供
根据牛顿第二定律有m2g＝m1，解得v＝。
14．B　[依题意，设绳长为L，绳与竖直方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2Lsin θ＝mLsin θ()2＝m＝ma，可得角速度ω＝，周期T＝2π，线速度v＝，向心加速度a＝gtan θ，由题图可知θA>θB，所以可得ωA>ωB，TAvB，aA>aB，故A、C、D正确，B错误。]第2课时　向心力与向心加速度
学习目标　1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。2.理解向心加速度。3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。4.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
知识点一　向心力的来源分析与计算
如图所示，圆桌上的水杯随玻璃圆盘一起做匀速圆周运动。
(1)水杯需要的向心力由什么力提供？水杯所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，水杯仍与转盘保持相对静止，水杯所受的摩擦力大小怎样变化？
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
1.向心力大小：F＝__________＝__________＝mr＝m(2πf)2r＝m(2πn)2r＝mωv。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中合力提供向心力，在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合力提供向心力。它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力。
3.分析向心力来源的几种典型实例
实例 向心力 示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 细线的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝T＋G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝T
物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝f
小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合
思考
如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，它受到了指向圆心的力的作用吗？
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
例1 (多选)如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是(　　)
A.甩干桶桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
B.甩干桶桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C.小物体对桶壁的压力为4 N
D.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
总结提升　应用向心力表达式解题的步骤
例2 如图所示，长为L的细绳吊起一个质量为m的摆球，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动。已知重力加速度为g，细绳与竖直方向的夹角为θ。则摆球(　　)
A.受重力、拉力和向心力的作用
B.线速度大小为
C.周期为2π
D.拉力大小为mgcos θ
圆锥摆模型
(1)受力特点：摆球只受两个力，竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力F，这两个力的合力提供摆球做圆周运动所需的向心力，且两个力的合力沿水平方向，摆球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。
(2)周期：如图所示，摆长为L，摆线与竖直方向的夹角为θ，对摆球进行受力分析，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mr，r＝Lsin θ，解得T＝2π＝2π，h为悬点到轨迹圆心的距离。　　
(3)规律：①θ越大，周期T越小，圆锥摆转得越快。
②摆线的拉力FT＝，则θ越大，摆线的拉力F越大。
训练1 一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从图示位置从静止开始释放，运动到最低点时球的速度为3 m/s(球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，g＝10 m/s2)。
(1)分析球运动到最低点时向心力的来源，画出小球的受力示意图；
(2)球到达最低点时绳对球的拉力大小。
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
知识点二　向心加速度
如图甲所示，地球绕太阳转动可近似看作匀速圆周运动；如图乙所示，光滑桌面上有一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向。
(2)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
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1.向心加速度：在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向________，称为向心加速度。
(1)向心加速度的方向总指向圆心，方向在时刻________。
(2)向心加速度的方向总是与线速度方向______，向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，而不表示速度大小变化的快慢。
(3)由于向心加速度时刻改变，所以圆周运动是________曲线运动。
2.向心加速度的大小
(1)向心加速度公式a＝________＝________＝r＝(2πf)2r＝(2πn)2r＝ωv。
(2)向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，在变速圆周运动中，表达式中的物理量均为瞬时值。
思考 在变速圆周运动中，物体所受外力F可分解为跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn。
(1)试分析两个分力的作用；
(2)该物体加速度指向圆心吗？试分析加速度两个分量的物理意义。
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例3 (多选)下列关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
训练2 关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A.向心加速度是描述速率变化快慢的物理量
B.匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C.向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D.向心加速度随着轨道半径的增大而减小
例4 一部机器由电动机带动，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的2倍，如图所示，皮带与两轮之间不发生滑动，已知机器皮带轮A点到转轴的距离为轮半径的一半，则(　　)
A.电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比是1∶2
B.电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比为1∶1
C.电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮边缘上某点的向心加速度大小之比为4∶1
D.电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮上A点的向心加速度之比为4∶1
训练3 (2024·辽宁卷，2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
随堂对点自测
1.(向心力的来源分析与计算)把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。如图所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A.重力、漏斗壁的支持力
B.重力、漏斗壁的支持力及向心力
C.重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D.小球受到的合力为零
2.(向心力的来源分析与计算)一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力为(　　)
A.μmg B.
C.μm(g＋) D.μm(g－)
3.(向心加速度)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
4.(向心加速度)(多选)(2024·广东深圳高一期中)中学生常用的学习用具修正带的结构如图所示，包括大、小齿轮、压嘴座等部件。大、小齿轮分别嵌合于大小轴孔中并相互咬合，半径之比为2∶1。a、b两点分别位于大、小齿轮的边缘，c点位于大齿轮半径的中点。当修正带被匀速拉动进行字迹修改时，下列说法正确的是(　　)
A.角速度ωb>ωc B.线速度vbC.转速na第2课时　向心力与向心加速度
知识点一
导学　提示　(1)水杯受到的静摩擦力提供向心力；水杯所受摩擦力方向沿半径指向圆心。
(2)当水杯转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
知识梳理
1．mω2r　m
[思考] 提示　它受到指向圆心的力的作用，即地球对月球引力。
例1 AC　[甩干桶桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，大小为FN＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力的作用，向心力是效果力，不是物体受到的力，故D错误。]
例2 C　[摆球受重力和拉力作用，其中二者的合力提供向心力，故A错误；对摆球受力分析，由牛顿第二定律可得mgtan θ＝m＝mLsin θ，解得v＝·sin θ，T＝2π，故B错误，C正确；对摆球受力分析，可得拉力为FT＝，故D错误。]
训练1 (1)见解析　见解析图　(2)3 N
解析　(1)当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力，它们的合力提供向心力；小球的受力分析如图所示。
(2)由(1)可知，球到达最低点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有FT－mg＝m
则FT＝mg＋m＝3 N。
知识点二
导学　提示　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于地球和小球的加速度方向总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
知识梳理
1．圆心　(1)改变　(2)垂直　(3)变加速　2.(1)　ω2r
[思考] 提示　(1)Ft与物体运动的速度同向，使物体的速度越来越大；Fn指向圆心，提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
(2)在变速圆周运动中，加速度a与F方向相同，不指向圆心；切向加速度at表示速度大小变化的快慢；向心加速度an表示速度方向变化的快慢。
例3 ABD　[向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心，故D正确，C错误。]
训练2 C　[匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故C正确，A错误；根据a＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。]
例4 D　[因电动机和机器由同一皮带连接，所以它们边缘的线速度大小相等，根据v＝n·2πr，可知，半径不同的两个轮子的转速与它们的半径成反比，所以电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比是n1∶n2＝r2∶r1＝2∶1，A错误；根据v＝ωr，可知，半径不同的两个轮子的角速度不同，B错误；根据向心加速度的公式a＝，可知电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮边缘上某点的向心加速度大小之比与它们的半径成反比，则a1∶a2＝r2∶r1＝2∶1，C错误；机器皮带轮边缘的点与A点具有相等的角速度，根据a＝ω2r可知，机器皮带轮边缘的点与A点的向心加速度之比为a2∶aA＝2∶1，则电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮上A点的向心加速度之比为a1∶aA＝4∶1，D正确。]
训练3　D　[由题图可知rP随堂对点自测
1．A　[小球受重力和支持力两个力的作用，这两个力的合力提供向心力，故A正确，B、C、D错误。]
2．C　[在最低点，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，则FN＝mg＋m，又由滑动摩擦力公式有f＝μFN＝μm，选项C正确。]
3．C　[向心加速度的公式a＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得a≈1 000 m/s2，C正确。]
4．ACD　[a、b两点的传动是齿轮传动，两齿轮边缘的线速度大小相等，即va＝vb，又有n＝，a＝，ω＝，a点转动半径大于b点的转动半径，所以ωa<ωb，naωc，b点转动半径等于c点的转动半径，所以vb>vc，故A正确，B错误。](共60张PPT)
第二节　向心力与向心加速度
第2课时　向心力与向心加速度
第二章　圆周运动
1.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算。
2.理解向心加速度。
3.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式。
4.能够运用向心加速度公式求解有关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　向心加速度
知识点一　向心力的来源分析与计算
知识点一　向心力的来源分析与计算
如图所示，圆桌上的水杯随玻璃圆盘一起做匀速圆周运动。
(1)水杯需要的向心力由什么力提供？水杯所受摩擦力沿什么方向？
(2)当转动的角速度变大后，水杯仍与转盘保持相对静止，水杯所受的摩擦力大小怎样变化？
提示　(1)水杯受到的静摩擦力提供向心力；水杯所受摩擦力方向沿半径指向圆心。
(2)当水杯转动的角速度变大后，由F＝mω2r可知，需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。
2.向心力的来源分析
在匀速圆周运动中合力提供向心力，在非匀速圆周运动中，沿半径方向的合力提供向心力。它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不分析向心力。
mω2r
3.分析向心力来源的几种典型实例
【思考】
如图所示，月球绕地球做匀速圆周运动时，它受到了指向圆心的力的作用吗？
提示　它受到指向圆心的力的作用，即地球对月球引力。
AC
例1 (多选)如图所示为甩干桶简易模型。若该模型的半径为r＝16 cm，以角速度ω＝50 rad/s做匀速圆周运动，质量为10 g的小物体随桶壁一起转动，下列说法正确的是(　　)
A.甩干桶桶壁上某点的线速度大小为8 m/s
B.甩干桶桶壁上某点的线速度大小为6.25 m/s
C.小物体对桶壁的压力为4 N
D.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力
解析　甩干桶桶壁上某点的线速度大小为v＝ωr＝8 m/s，故A正确，B错误；桶壁对小物体的弹力提供向心力，大小为FN＝mω2r＝4 N，根据牛顿第三定律可知，小物体对桶壁的压力为4 N，故C正确；小物体受到重力、弹力、摩擦力的作用，向心力是效果力，不是物体受到的力，故D错误。
总结提升　应用向心力表达式解题的步骤
例2 如图所示，长为L的细绳吊起一个质量为m的摆球，上端固定，使摆球在水平面内做匀速圆周运动。已知重力加速度为g，细绳与竖直方向的夹角为θ。则摆球(　　)
C
圆锥摆模型
(1)受力特点：摆球只受两个力，竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力F，这两个力的合力提供摆球做圆周运动所需的向心力，且两个力的合力沿水平方向，摆球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。
训练1 一个质量为0.1 kg的小球，用一长0.45 m的细绳拴着，绳的另一端系在O点，让小球从图示位置从静止开始释放，运动到最低点时球的速度为3 m/s(球视为质点，绳不可伸长，不计空气阻力，g＝10 m/s2)。
(1)分析球运动到最低点时向心力的来源，画出小球的受力示意图；
(2)球到达最低点时绳对球的拉力大小。
答案　(1)见解析　见解析图　(2)3 N
解析　(1)当小球运动到最低点时，小球受重力和绳的拉力，它们的合力提供向心力；小球的受力分析如图所示。
知识点二　向心加速度
如图甲所示，地球绕太阳转动可近似看作匀速圆周运动；如图乙所示，光滑桌面上有一个小球在细线的牵引下绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。
(1)分析地球和小球的受力情况，说明地球和小球的加速度方向。
(2)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？
提示　(1)地球只受到太阳引力作用，方向指向圆心，加速度方向指向圆心。小球受到重力、支持力、拉力作用，合力指向圆心，故加速度的方向指向圆心。
(2)由于地球和小球的加速度方向总是沿半径指向圆心，故加速度方向是变化的。匀速圆周运动是一种变加速曲线运动。
1.向心加速度：在匀速圆周运动中，F是指向圆心的向心力，所以加速度a也一定指向______，称为向心加速度。
(1)向心加速度的方向总指向圆心，方向在时刻______。
(2)向心加速度的方向总是与线速度方向______，向心加速度只表示线速度方向变化的快慢，而不表示速度大小变化的快慢。
(3)由于向心加速度时刻改变，所以圆周运动是________曲线运动。
圆心
改变
垂直
变加速
ω2r
【思考】在变速圆周运动中，物体所受外力F可分解为跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn。
(1)试分析两个分力的作用；
(2)该物体加速度指向圆心吗？试分析加速度两个分量的物理意义。
提示　(1)Ft与物体运动的速度同向，使物体的速度越来越大；Fn指向圆心，提供物体做圆周运动所需的向心力，改变物体速度的方向。
(2)在变速圆周运动中，加速度a与F方向相同，不指向圆心；切向加速度at表示速度大小变化的快慢；向心加速度an表示速度方向变化的快慢。
ABD
例3 (多选)下列关于向心加速度的说法正确的是(　 　)
A.向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B.向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C.物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D.物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析　向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，故A、B正确；物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不指向圆心，故D正确，C错误。
C
训练2 关于向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A.向心加速度是描述速率变化快慢的物理量
B.匀速圆周运动的向心加速度恒定不变
C.向心加速度是描述物体运动方向变化快慢的物理量
D.向心加速度随着轨道半径的增大而减小
解析　匀速圆周运动的向心加速度大小不变、方向时刻改变，是变化的，故B错误；向心加速度与速度垂直，是描述物体运动方向变化快慢的物理量，故C正确，A错误；根据a＝ω2r可知，角速度一定时，轨道半径越大，向心加速度越大，故D错误。
例4 一部机器由电动机带动，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的2倍，如图所示，皮带与两轮之间不发生滑动，已知机器皮带轮A点到转轴的距离为轮半径的一半，则(　　)
A.电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比是1∶2
B.电动机皮带轮与机器皮带轮的角速度之比为1∶1
C.电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮边缘上某点的向心加速度大小之比为4∶1
D.电动机皮带轮边缘上某点与机器皮带轮上A点的向心加速度之比为4∶1
D
训练3 (2024·辽宁卷，2)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　)
A.半径相等
B.线速度大小相等
C.向心加速度大小相等
D.角速度大小相等
D
随堂对点自测
2
A
1.(向心力的来源分析与计算)把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动。如图所示，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　　)
A.重力、漏斗壁的支持力
B.重力、漏斗壁的支持力及向心力
C.重力、漏斗壁的支持力、摩擦力及向心力
D.小球受到的合力为零
解析　小球受重力和支持力两个力的作用，这两个力的合力提供向心力，故A正确，B、C、D错误。
C
2.(向心力的来源分析与计算)一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力为(　　)
C
3.(向心加速度)“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点的向心加速度大小约为(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
解析　向心加速度的公式a＝ω2r，结合角速度与转速的关系ω＝2πn，代入数据可得a≈1 000 m/s2，C正确。
ACD
4.(向心加速度)(多选)(2024·广东深圳高一期中)中学生常用的学习用具修正带的结构如图所示，包括大、小齿轮、压嘴座等部件。大、小齿轮分别嵌合于大小轴孔中并相互咬合，半径之比为2∶1。a、b两点分别位于大、小齿轮的边缘，c点位于大齿轮半径的中点。当修正带被匀速拉动进行字迹修改时，下列说法正确的是(　 　)
A.角速度ωb>ωc B.线速度vbC.转速na课后巩固训练
3
B
题组一　向心力的来源分析及计算
1.如图所示，水平转台上放着一个纸箱A，当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止。关于这种情况下纸箱A的受力情况，下列说法正确的是(　　)
对点题组练
A.受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力
B.受重力、台面的支持力和静摩擦力
C.受重力和台面的支持力
D.受重力、台面的支持力和向心力
解析　当转台匀速转动时，纸箱相对转台静止，纸箱A受重力、台面的支持力和静摩擦力，其中静摩擦力提供纸箱随转台一起做圆周运动的向心力，因此A、C、D错误，B正确。
C
2.用一个水平拉力F拉着一物体在水平面上绕着O点做匀速圆周运动。关于物体受到的拉力F和摩擦力f的受力示意图，下列四个图中可能正确的是(　　)
解析　由于物体做匀速圆周运动，所以物体受到的合外力方向指向圆心，合外力提供向心力，故C正确。
BCD
3.(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　 　)
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于mgtan θ
A
4.如图所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)(　　)
C
D
6.运动员滑雪时运动轨迹如图所示，已知该运动员滑行的速率保持不变，角速度为ω，向心加速度为a。则(　　)
A.ω变小，a变小 B.ω变小，a变大
C.ω变大，a变小 D.ω变大，a变大
AD
7.(多选)如图所示，一小物块以大小为a＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是(　　)
A.小物块运动的角速度为2 rad/s
B.小物块做圆周运动的周期为2 s
C.小物块在π s内通过的路程为零
D.小物块在π s内通过的位移为零
D
8.如图所示为学员驾驶汽车在水平面上绕O点做匀速圆周运动的俯视图。已知质量为60 kg的学员在A点位置，质量为70 kg的教练员在B点位置，A点的转弯半径为5 m，B点的转弯半径为4 m，则学员和教练员(均可视为质点)(　　)
A.运动周期之比为5∶4
B.运动线速度大小之比为1∶1
C.向心加速度大小之比为4∶5
D.受到的合外力大小之比为15∶14
D
9.如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
综合提升练
解析　容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器对物体的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变，故A、C错误；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由f＝m(2πn)2r知，B受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故B错误，D正确。
A
10.(2024·广东梅州高一期中)在做“甩手动作的物理原理研究”的课题研究中，采用手机的加速度传感器测定手的向心加速度。某次一高一同学先用刻度尺测量手臂长(如图所示)，然后伸直手臂，以肩为轴从水平位置加速自然下摆，当手臂摆到竖直方向时，手握住的手机显示手的向心加速度大小约为6 m/s2，下列说法正确的是(　　)
CD
11.(多选)如图所示的皮带传动装置中，甲轮的轴和乙、丙轮的轴均为水平轴，其中，甲、丙两轮半径相等，乙轮半径是丙轮半径的一半。A、B、C三点分别是甲、乙、丙三轮边缘上的点，若传动中皮带不打滑，则(　　)
A.A、B两点的线速度大小之比为2∶1
B.A、B两点的向心加速度大小之比为2∶1
C.B、C两点的向心加速度大小之比为1∶2
D.A、C两点的向心加速度大小之比为1∶4
CD
12.(多选)质量均为m的小球A、B分别固定在一长为L的轻杆的中点和一端点，如图所示。当轻杆绕另一端点O在光滑水平面上做角速度为ω的匀速圆周运动时，则(　　)
A.处于中点的小球A的线速度为ωL
B.处于中点的小球A的加速度为ω2L
C.处于端点的小球B所受的合外力为mω2L
D.轻杆OA段中的拉力与AB段中的拉力之比为3∶2
13.如图所示，有一质量为m1的小球A与质量为m2的物块B通过轻绳相连，轻绳穿过光滑水平板，使小球A绕O点做半径为r的匀速圆周运动时，物块B刚好保持静止。求(重力加速度为g)：
(1)轻绳的拉力大小；
(2)小球A做匀速圆周运动的线速度大小。
解析　(1)物块B受力平衡，故轻绳拉力大小FT＝m2g。
培优加强练
14.如图所示，两个质量相同的小球用长度相等的细线拴在同一点，并在各自水平面内做匀速圆周运动，则下列说法错误的是(　　)
A.A的角速度较大 B.A的周期较大
C.A的线速度较大 D.A的向心加速度较大
B

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