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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第07讲 平方根
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【考点1】平方根与算术平方根的理解
【例1】（2022下·山西吕梁·七年级统考期中）
（1）已知是的平方根，3是的算术平方根，求a+2b的平方根；
（2）已知正数的平方根是和，若，求的值．
【变式1】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）的算术平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
【变式2】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知：一个正数的两个平方根分别是5和，则a的值是 ．
【考点2】算术平方根的非负性与取值范围
【例2】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）（1）若，则x的取值范围为 　 　；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．

【变式1】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知实数x、y满足，则的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．2
【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是 ．
【考点3】算术平方根的整数部分与小数部分
【例3】（2019下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【变式1】（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【变式2】（2017下·甘肃定西·七年级阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
【考点4】算术平方根的规律问题
【例4】（2023上·江苏·八年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向_____移动_____位．
（2）已知，，则_____；______．
【变式1】（2021下·广东惠州·七年级校联考期中）观察下列式子：，，…，按此规律，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知 那么 ．
【考点5】求一个数的平方根与算术平方根
【例5】（2019下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考阶段练习）求下列各数的平方根和算术平方根：
（1） （2） （3）
【变式1】（2022上·陕西西安·八年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．的平方根与算术平方根都是
【变式2】（2022下·七年级课前预方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，算术平方根和平方根相等的数是 ．
【考点6】已知平方根或算术平方根，求原数
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）已知±是的平方根，3是的算术平方根，求的平方根．
【变式1】（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（ ）
A． B． C．16 D．4
【变式2】（2020上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数的算术平方根是 ．
【考点7】平方根与算术平方根的应用
【例7】（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知一块面积为的正方形画布．
（1）求该正方形画布的边长；
（2）甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．若，，则子弹射出枪口时的速度为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．

【考点8】利用平方根解方程
【例8】（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中的值：
(1)； (2)．
【变式1】（2023下·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
【变式2】（2023上·湖北襄阳·九年级校联考期中）若，则 ．
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【同步提升】人教版七年级下册数学重难点突破（单元+期中+期末）
第07讲 平方根
要点一、平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
2.平方根的定义
　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
要点四、平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【考点1】平方根与算术平方根的理解
【例1】（2022下·山西吕梁·七年级统考期中）
（1）已知是的平方根，3是的算术平方根，求a+2b的平方根；
（2）已知正数的平方根是和，若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据是的平方根，可得a＝2，再由3是3a+2b-3的算术平方根，可得b=3，再代入即可求解；
（2）根据正数的平方根是和，可得，再代入方程，即可求解．
解：（1）∵是的平方根，
∴，
解得a＝2，
∵3是3a+2b-3的算术平方根，
∴3a+2b-3＝9，
解得b=3，
当a=2，b=3时
∴a+2b=8
∴a+2b的平方根为
（2）∵正数的平方根是和
∴
∴方程可化为
解得：
∵为正数
∴
【点拨】本题主要考查了平方根和算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·吉林长春·八年级统考期末）的算术平方根（　　）
A．是3 B．是 C．是 D．不存在
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握负数没有平方根，算术平方根的定义．
解：∵没有平方根，算术平方根是正数正的平方根，
∴没有算术平方根，即不存在．
故选：D．
【变式2】（2024上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知：一个正数的两个平方根分别是5和，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
由题意知可知，然后求解即可．
解：∵一个正数的两个平方根分别是5和，
∴，解得：．
故答案为．
【考点2】算术平方根的非负性与取值范围
【例2】（2023上·湖南衡阳·九年级校联考阶段练习）（1）若，则x的取值范围为 　 　；
（2）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简．

【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据的算术平方根为正值可知，进而可解答；
（2）根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知，进而可化简；
解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：根据实数a，b，c在数轴上的对应点位置可知，
∴原式．
【点拨】本题主要考查算术平方根的性质，绝对值，二次根式的应用，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
【变式1】（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）已知实数x、y满足，则的值是（ ）
A．4 B．8 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了非负数的性质．根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中即可解答．
解：∵，，
又∵，
∴，，
则，，
∴．
故选：A．
【变式2】（2024·全国·八年级竞赛）若a，b为实数，且，那么的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查平方根和绝对值的非负性，裂项法求式子的值．先由非负性求得a，b的值，再代入式子中，采用裂项法即可求解．
解：∵，，且，
∴，，
∴，，
∴，或，，
①当，时，
；
②当，时，
；
∴的值是或．
故答案为：或．
【考点3】算术平方根的整数部分与小数部分
【例3】（2019下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）
【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）对进行估值，即可解答；
（3）对，估值，分别求出a，b的值即可．
解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点拨】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
【变式1】（2021·北京·统考中考真题）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点拨】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
【变式2】（2017下·甘肃定西·七年级阶段练习）若的整数部分为，小数部分为，则 ， ．
【答案】
【分析】根据首先确定的值，则小数部分即可确定．
解：，
，
则．
故答案是：3，．
【点拨】本题主要考查了无理数的估算，解题的关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【考点4】算术平方根的规律问题
【例4】（2023上·江苏·八年级专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向_____移动_____位．
（2）已知，，则_____；______．
【答案】(1）两；右；一 (2)；
【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律型题目，观察题目，总结规律是解题的关键．
（1）从数字找规律，即可解答；
（2）利用（1）的规律进行计算，即可解答．
解：（1）解：，，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873．
【变式1】（2021下·广东惠州·七年级校联考期中）观察下列式子：，，…，按此规律，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用前面所给的等式得到，再利用可得到，，然后计算的值．
解：，
，
按此规律，
而，，
，，
，
故选：．
【点拨】本题考查了与算术平方根有关的规律探索题，解决此题的关键是找规律，发现等号左边根号内分母与等号右边分母之间的关系，从而得到、的值．
【变式2】（2024上·湖南岳阳·八年级统考期末）已知 那么 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质化简得出答案．
解：，
，
，
∴，
；
故答案为：
【考点5】求一个数的平方根与算术平方根
【例5】（2019下·江西南昌·七年级南昌市第三中学校考阶段练习）求下列各数的平方根和算术平方根：
（1） （2） （3）
【答案】(1) ±；；（2）±7；7；（3）±；.
【分析】(1)-（3）根据平方根和算术平方根的定义即可得到结论；
解：（1）的平方根是±，算术平方根是；
（2）的平方根是±7，算术平方根是7；
（3）的平方根是，算术平方根是；
【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟记定义是解题的关键．
【变式1】（2022上·陕西西安·八年级校考期中）下列说法错误的是（ ）
A．的平方根是 B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．的平方根与算术平方根都是
【答案】A
【分析】根据平方根，算术平方根的概念及计算方法即可求解．
解：、的平方根是，故原选项错误，符合题意；
、，则的平方根是，故原选项正确，不符合题意；
、是的算术平方根，故原选项正确，不符合题意；
、的平方根与算术平方根都是，故原选项正确，不符合题意；
故选：．
【点拨】本题主要考查平方根，算术平方根的概念及计算方法，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2022下·七年级课前预方根等于本身的数是 ，算术平方根等于它本身的数是 ，算术平方根和平方根相等的数是 ．
【答案】 0 0或1 0
【解析】略
【考点6】已知平方根或算术平方根，求原数
【例6】（2023·江苏·八年级假期作业）已知±是的平方根，3是的算术平方根，求的平方根．
【答案】±
【分析】根据题意求出，，解出a，b的值代入中，即可求解．
解：∵±是的平方根
解得：
∵3是的算术平方根，
，
解得：
当，时，
∴的平方根为．
【点拨】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
【变式1】（2023·广东深圳·深圳市东湖中学校考模拟预测）一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（ ）
A． B． C．16 D．4
【答案】C
【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列得，求出，即可得到这个数．
解：由题意得，得，
∴
∴这个数是，
故选：C．
【点拨】此题考查了平方根的性质：正数的两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根，熟记性质是解题的关键．
【变式2】（2020上·甘肃张掖·八年级校考阶段练习）已知一个正数的平方根是3x－2和5x＋6，则这个数的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】由于一个非负数的平方根有2个，它们互为相反数．依此列出方程求解即可．
解：根据题意可知：，解得，
所以，，
∴这个数的算术平方根为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维．
【考点7】平方根与算术平方根的应用
【例7】（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知一块面积为的正方形画布．
（1）求该正方形画布的边长；
（2）甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由．
【答案】(1）该正方形画布的边长为 (2）甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析
【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解；
（2）甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，分别列出方程，解方程即可求解．
解：（1）∵正方形画布的面积为400
∴该正方形画布的边长为．
（2）甲的方案不可行，乙方案可行
甲方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
，
解得：（负值舍去），
长方形的长为．
，但正方形纸片的边长只有，故甲方案不可行；
乙方案中，设长方形纸片的长为，宽为，
则，即，
解得：（负值舍去），
长方形的长为，故乙方案可行，
综上，甲方案不可行，乙方案可行．
【点拨】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
【变式1】（2023上·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式进行计算，其中为子弹的加速度，为枪筒的长．若，，则子弹射出枪口时的速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根的实际应用，代入字母的值计算即可．
解：根据题意得：
，
，
故选：C．
【变式2】（2022下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，已知一个等腰直角三角形的直角边长为，把这个等腰直角三角形以的速度向右沿直线平移．当图中阴影部分面积为，则这个等腰直角三角形平移的时间为 s．

【答案】/
【分析】用含有t的代数式各相关线段的长，再利用阴影部分面积以及三角形面积求出的面积，继而根据线段的和差列出方程求解即可．
解：设移动的时间为，且；
则，，

∵阴影部分面积为，
∴的面积为，
即，
∴，
∴（负值舍去）
∴，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平移的性质，等腰直角三角形的定义，平方根的应用，掌握等腰直角三角形的定义以及梯形的面积公式是解题的关键．
【考点8】利用平方根解方程
【例8】（2023上·江苏常州·八年级常州市第二十四中学校联考期中）求下列各式中的值：
(1)； (2)．
【答案】(1)； (2)或．
【分析】此题考查了运用平方根解方程的能力．
（1）整理后，直接运用平方根的定义进行求解即可；（2）运用平方根的定义进行求解即可．
（1）解：，
整理，得，
开平方，得；
（2）解：，
开平方，得，
解得或．
【变式1】（2023下·重庆永川·八年级统考期末）若，则的值是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．2或3
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义解答即可.
解：

故选：D
【点拨】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键.
【变式2】（2023上·湖北襄阳·九年级校联考期中）若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，两边直接开平方得，即可求解，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
解：∵，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故答案为：．
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