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2025年广西柳州市高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，复数对应的向量，则( )
A. B. C. D.
3.在等差数列中，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.在展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
6.有男、女教师各人，男、女学生各人，从中选派人参加一项活动，要求其中至少有名女性，并且至少有名教师，则不同的选派方案有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知双曲线：若直线与没有公共点，则的离心率的范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 有一组数、、、，这组数的第百分位数是
B. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过
C. 随机变量，若，，则
D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，
10.已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长是
B. 的最大值是
C. 的面积的最大值为，其中为坐标原点
D. 直线与椭圆相切时，
11.我们把称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相应地双曲正弦函数的函数表达式为，若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点，，曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相交于点，则( )
A. 是奇函数
B.
C. 在随的增大而减小，在随的增大而增大
D. 的面积随的增大而减小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆被轴截得的弦长为______．
13.已知为一个圆锥的顶点，是母线，，该圆锥的底面半径为，，分别在圆锥的底面上，则异面直线与所成角的最小值为______．
14.在中，，，，为内一点，且若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，的面积为已知．
求；
求函数在上的单调递增区间．
16.本小题分
已知函数．
若函数在处有极值为，求的值；
对任意，在上单调递增，求的最大值．
17.本小题分
如图，已知四棱锥中，顶点在底面上的射影落在线段上不含端点，，，，．
求证：平面；
若二面角的大小为，直线与平面所成角为，求的值．
18.本小题分
某学校有，两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家餐厅用晚餐已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，后一天继续选择去餐厅的概率为，如此往复．
求该同学第一天和第二天都选择去餐厅用晚餐的概率；
求该同学第二天选择去餐厅用晚餐的概率；
记该同学第天选择去餐厅用晚餐的概率为，求的通项公式．
19.本小题分
已知是抛物线：的焦点，过上点的切线交轴于点，过点的直线与交于，两点．
求抛物线的方程；
比较与的大小，并说明理由；
过点的直线与交于，两点，，，的延长线分别交于，两点，求点到直线距离的最大值．
参考答案
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14.
15.解：由，
得：，化简得：，
所以．
，
由，解得，
又，所以和．
16.解：由题意可得，
因为函数在处有极值，
所以，即，解得或，
当，时，，所以单调递增，不存在极值，不符合题意．
当，时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增
此时在处取到极小值，符合题意．
故所求的的值为．
若，则当时，对，
有．
所以在上单调递减．
而，所以不可能在上递增，不满足条件；
当时，对任意，有，且等号仅在一点成立．
所以单调递增，故一定在上单调递增，满足条件．
综上，的最大值为．
17.解：证明：由于平面，平面，故，
因为，所以底面为直角梯形，
故，
过，且与相交于，
则，，
又，
故BD，所以，
由于，，，平面，，
所以平面；
由题意可知，过作的垂线，垂足为，连接，
由于平面，平面，故，
，，，平面，
故BC平面，平面，故，
故为二面角的平面角，
所以，
从而．
18.解：已知该同学第一天随机选择一家餐厅用晚餐，若在前一天选择去餐厅的条件下，
后一天继续选择餐厅的概率为；而在前一天选择去餐厅的条件下，
后一天继续选择去餐厅的概率为，
记事件：该同学第天去餐厅，则，，，
由概率乘法公式可得．
由对立事件的概率公式可得，
由全概率公式可得．
记事件：该同学第天去餐厅，则，
由题意可知，，，
由全概率公式可得，
即，则，
所以，数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，，故．
19.解：已知点在抛物线：上，
将点的坐标代入抛物线方程可得：
，即，解得，
所以抛物线的方程为；
抛物线，则，
当时，切线斜率，
由点斜式可得过点的切线方程为，即；
令，可得，所以；
由，，可得，
所以，
设直线的方程为，，，
联立，解得：，，
由韦达定理得，，
根据抛物线的焦半径公式，，
因为，所以，同理，
则，
所以；
由题意知直线的斜率必存在，故设直线：，，，
联立，解得，
由韦达定理得，，
设直线方程为，
代入，有，
由，，
所以，同理可得；
所以直线的斜率，
可得直线：，
结合，，化简得，
所以直线过定点，
要使点到直线距离的最大，则只需，
从而最大值为．
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