资源简介
2025年中考第一次模拟考试数学试卷
南通卷
注意事项:
1.考试时间:120分钟,试卷满分:150分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答填空题时,请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4.回答解答题时,每题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括辅助线),请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1.计算﹣3+5的值为( )
A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8
2.由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映,电影票房便超过299400000元,数299400000用科学记数法表示为( )
A.0.2994×109B.2.994×108C.29.94×107D.2994×106
3.以下问题.不适合用全面调查的是( )
A.了解全班同学每周体育锻炼的时间
B.学校招聘老师,对应聘者进行面试
C.了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况
D.某批种子的发芽率
4.如图,AB∥CD,点E在AB上,过点E作AB的垂线与CD相交于点F,连接CE,若∠ECD=40°,则∠CEF的度数为( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
5.一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象经过点P(﹣2,﹣1)且y随着x的增大而减小,则该图象不经过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题:“今有甲乙二人持钱不知钱数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五十,问甲、乙持钱各几何?”译文:“现有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把自己一半的钱给甲,则甲的钱数为50;而甲把自己的钱给乙,则乙的钱数也能为50.问甲、乙各有多少钱?”设甲持钱数为x,乙持钱数为y,可列方程组( )
A.B. C.D.
7.下列说法不正确的是( )
A.一组邻边相等的矩形是正方形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.等腰梯形的对角和相等
D.矩形的对角线互相垂直平分
8.若关于x的不等式3m﹣2x<9的解集是x>3,则实数m的值为( )
A.5 B.4 C.3 D.
9.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直径,点C在函数y(k>0,x>0)的图象上,D为y轴上一点,△ACD的面积为,则k的值是( )
A.7 B.14 C.21 D.28
10.已知二次函数,(m,n为常数,n≠0)的最小值分别为p,q,( )
A.若p+q=0,则p=q=0 B.若p﹣q=0,则p=q=0
C.若p+q=1,则p=q=0.5 D.若p﹣q=1,则p=1,q=0
二、填空题(本大题共8小题,第11~12题每题3分,第13~18题每题4分,共30分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11.分解因式:m2﹣2m+1= .
12.因为,即,所以的整数部分为1,小数部分为,类比以上推理,的小数部分为 .
13.一个多边形的内角和与外角和相等,则它是 边形.
14.如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距40m的D处,观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆AB的高度为 m(结果保留整数,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19).
15.设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根,则2a2+4a+2020= .
16.如图,已知半圆O的直径为MN,点A在半径OM上,B为的中点,点C在弧BN上,以AB、BC为邻边作矩形ABCD,边CD交MN于点E,连接DO,并延长DO交AB于点P,若BP=2AP,则的值为 .
17.如图,△AOB的边AB∥x轴,点C在OB上,反比例函数y(k>0)的图象经过A,C两点.若△AOB的面积为5,且OC=2BC,则k的值为 .
18.如图,已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O,M是AO的中点,线段EF(点E在点F的左边)在直线BD上运动,连结AF、ME,若AB=6,,则AF+ME的最小值是 .
三、解答题(本大题共8小题,共90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(10分)(1)计算:;
(2)化简代数式,并请你取一个合适的a值,代入化简后的代数式求值.
20.(10分)某校九(1)班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组,其中男生2人,女生3人,现从小组中选人进社区宣传.
(1)若选1人,则恰好选中女生的概率是 ;
(2)若选2人,求恰好选中一男一女的概率.
21.(12分)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3,∠ACB=30°,点P从点A出发,沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动.连接PO并延长交BC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)求证:AP=CQ;
(2)当四边形ABQP是平行四边形时,求t的值;
(3)在P点运动过程中,当t为何值时,△AOP是等腰三角形.(直接写出答案即可)
22.(10分)为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神,学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神,培养学生的爱国情怀,某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会 凝聚奋进力量”主题知识竞赛,为了解竞赛成绩,随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x(单位:分),过程如下:
【收集数据】:
八年级15名学生竞赛成绩分别为:77,84,88,98,97,88,100,92,88,91,94,91,97,95,100;
七年级15名学生竞赛成绩中90≤x<95的成绩如下:91,92,94,90.
【整理数据】:
年级 75≤x<80 80≤x<85 85≤x<90 90≤x<95 95≤x≤100
八年级 1 1 m 4 6
七年级 1 2 3 4 5
【分析数据】:
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 92 a 92 37.7
七年级 90 87 b 50.2
根据以上提供的信息,回答下列问题:
(1)填空:m= ,a= ,b= ;
(2)该校八年级学生有600人,假设全部参加此次竞赛,请估计八年级成绩超过平均分的人数;
(3)请你根据以上信息,推断哪个年级的成绩更好,并说明理由.(写出一条理由即可)
23.(12分)亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元,在一段时间内,销售单价P(元/千克)与时间t(天)的函数图象如图,且其日销售量y(千克)与时间t(天)的关系是:y=﹣2t+120(其中天数t为整数).
(1)当0≤t≤40天,求销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式;
(2)问哪一天的销售利润最大?最大日销售利润为多少?
(3)在前20天中,超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润(n<9)给“精准扶贫”对象.而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,求n的取值范围.
24.(10分)如图,AB是半圆O的直径,C是半圆上一点,作射线AC,以点A为圆心,适当长为半径作弧,与AC,AB分别交于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线AP交半圆O于点D,过点D画半圆O的切线,分别交射线AB,AC于点E,F.
(1)求∠AFD的度数;
(2)若AF=3,∠ADF=60°,求BD的长.
25.(13分)(1)【活动背景】在鹿鸣成长课程中,同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题.如图1,在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F,且CF=2DE,连接CE、DF交于点O,将边AD沿着过点O的直线折叠,使得点A、D分别落在AB和CD上,试说明:点Q是边CD的三等分点.
(2)【活动操作】同学们进一步发现,在作图的过程中也可以参考类似的方法.如图2,已知线段BC,点E是BC的中点,请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD,使得AE⊥BD.(不写作法保留作图痕迹)
(3)【活动证明】同学们通过查阅资料发现,不能通过圆规直接三等分角,但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角,如图3,点C是OA上一点,用尺规作出CD⊥OB,CF∥OB后,将直尺一端放在点O处,不断转动直尺与CD、CF交于点M、N,当MN与CO满足某种数量关系时,即可得到,试猜想MN与CO的数量关系并证明.
(4)【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD,若BC=kAB,请直接写出k的取值范围.
26.(13分)如图,直线y=kx+b(b>0)与抛物线yx2相交于A,B两点(A在B的左侧),与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C.设△OCD的面积为S,且kS+2=0.过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E,过点C,E分别作x轴的平行线l1,l2,直线l3(不平行于y轴)与抛物线yx2有唯一公共点,分别交l1,l2于P,Q两点.
(1)求b的值;
(2)求点E的纵坐标;
(3)探究CP2﹣CQ2是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
参考答案
一、选择题(
1.选:B.
2.选:B.
3.选:D.
4.选:C.
5.选:A.
6.选:D.
7.选:D.
8.选:A.
9.选:B.
10.选:A.
二、填空题
11.答案为:(m﹣1)2.
12.答案为:3.
13.答案为:四.
14.答案为:8.
15.答案为:2024.
16.答案为:.
17.答案为:8.
18.答案为:.
三、解答题
19.解:(1)原式=39+4﹣21
=﹣6;
(2)原式[]
()
,
当a=2时,原式.
20.解(1)∵男生2人,女生3人,
∴选1人,则恰好选中女生的概率是.
故答案为:.
(2)根据题意,画树状图如下:
共有20种等可能的结果,其中符合题意的有12种,
∴P.
21.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OA=OC,
∴∠PAO=∠QCO,∠APO=∠CQO,
在△APO和△CQO中,
,
∴△APO≌△CQO(AAS),
∴AP=CQ;
(2)解:如图:
∵AB⊥AC,AB=3,∠ACB=30°,
∴BC=2AB=6,
由(1)知,AP=CQ=t,
∴BQ=BC﹣CQ=6﹣t,
由AP∥BQ可知,AP=BQ时,四边形ABQP是平行四边形,
∴t=6﹣t,
解得t=3,
答:当四边形ABQP是平行四边形时,t的值是3;
(3)解:①当AP=AO时,△AOP是等腰三角形,如图:
∵AB⊥AC,AB=3,∠ACB=30°,
∴ACAB=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=COAC,
∴AP=AO,
∴t;
②当AO=PO时,△AOP是等腰三角形,过O作OH⊥AD于H,如图:
∵AD∥BC,
∴∠HAO=∠ACB=30°,
在Rt△AOH中,
OHAO,AHOH,
∵AO=PO,OH⊥AD,
∴AP=2AH,
∴t;
③当AP=OP时,△AOP是等腰三角形,过P作PK⊥AO于K,如图:
∵AP=OP,PK⊥AO,
∴AKAO,
在Rt△APK中,
AP,
∴t,
综上所述,当t为或或时,△AOP是等腰三角形.
22.解:(1)由题意知m=3,八年级成绩的众数a=88,
七年级成绩的中位数是第8个数,即91,
所以b=91,
故答案为:3,88,91;
(人),
答:八年级成绩超过平均分的人数为280人;
(3)八年级成绩更好.
从平均数看,八年级成绩的平均数大于七年级,所以八年级成绩更好.
23.解:(1)当0≤t≤40天,设销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为p=kt+30,
∴40=40t+30,
解得t,
∴当0≤t≤40天,销售单价p(元/kg)与时间t(天)之间的函数关系式为pt+30;
(2)设日销售利润为w元,
当0≤t≤40天时,
w=(p﹣20)y
=(t+10)(﹣2t+120)
(t﹣10)2+1250,
∴当t=10时,w有最大值为1250;
当t>40时,
w=(p﹣20)y
=20(﹣2t+120)
=﹣40t+2400<800,
∴第10天的销售利润最大,最大日销售利润为1250元;
(3)∵w=(p﹣20﹣n)(﹣2t+120)
t2+(2n+10)t+1200﹣120n,
∴a,对称轴为直线t=2n+10,
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大,
∴,
∴5≤n<9.
24.(1)证明:如图,连接OD,
∵EF与半圆O相切于点D,
∴OD⊥DF,
由题意知,AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠BAD=∠ADO,
∴∠CAD=∠ADO,
∴AC∥OD,
又OD⊥DF,
∴DF⊥AC,
∴∠AFD=90°;
(2)解:由(1)知,∠AFD=90°,∠BAD=∠CAD,
在Rt△ADF中,∠ADF=60°,AF=3,AF2+DF2=AD2,
∴∠DAF=30°,
∴AD=2DF,
∴AF=3,
∴32+DF2=(2DF)2,
∴DF,
∴AD=2,
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=∠AFD=90°,
∴△ADF∽△ABD,
∴,
∴,
解得BD=2.
25.(1)证明:在矩形ABCD中,AD∥BC,
∴==
将边AD沿着过点O的直线折叠,使得点A、D分别落在AB和CD上,
∴∠APB=∠BPQ=90°,∠DQP=∠CQP=90°,
在矩形ABCD中,∠A=90°,
∴四边形APQD是矩形,
∴AD∥PQ,
∴==,
∴DQ=CD,即Q是边CD的三等分点;
(2)解:如图2,以BE为直径画圆O,在圆O上取点N,连接BN,EN,延长BN至A,使ND=2BN,延长EN至A,使AN=2NE,连接AD,AB,CD,则四边形ABCD为所求四边形;
证明:∵AN=2NE,DN=2BN,
∴==2,
∵∠AND=∠BNE,
∴△AND∽△ENB,
∴∠NBE=∠ADN,=2,
∴AD∥BE,AD=2BE,
又∵E为BC的中点,
∴2BE=BC,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵BE为圆O的直径,
∴∠BNE=90°,
∴AE⊥BD;
∴平行四边形ABCD符合条件;
(3)解:取MN的中点H,连接CH,如图3,
∵CD⊥OB,CF∥OB,
∴CD⊥CF,
∴CH=MN,
∵点H是MN的中点,
∴MH=NH=MN,
∴CH=NH,
∴∠HCN=∠CNH,
∴∠OHC=∠HCN+∠CNH=2∠CNH,
∵∠MOD=∠AOB,
∴∠COH=2∠MOD,
∵CF∥OB,
∴∠NOB=∠CNH,
∵∠OHC=2∠CNH,∠COH=2∠NOB=2∠CNO,
∴∠OHC=∠COH,
∴CO=CH=MN;
(4)解:作CM⊥BD交BD于M,
∴AE∥CM,
∵BE=EC,
∴BN=NM,
∵DN=2BN,
∴MD=NM=BN,
在Rt△ABN和Rt△BNE中,BN2=AB2﹣AN2=BE2﹣NE2,
∴AB2﹣BE2=AN2﹣NE2=3NE2>0,
∴AB2﹣()2>0,
∴AB2﹣AB2>0,
∴1﹣>0,
∴k2<4,
又∵k>0,
∴0<k<2;
在Rt△BCM和Rt△DCM中,CD2﹣DM2=BC2﹣BM2,
∴AB2﹣BC2=DM2﹣BM2,
∴k2﹣AB2=BM2﹣DM2=3DM2>0,
∴(k2﹣1)AB2>0,
∴k2>1,
又∵k>0,
∴k>1;
综上,k的取值范围1<k<2.
方法二:
∵DN=2BN,
延长BC至H,满足BE=EC=CH,
即EH=2BE,
∴EN∥DH,
∴∠BDH=∠BNE=90°,
∴点D在以BH为直径的圆上运动,
∵BC\BH长度固定,
∴CD最小值大于CH,最小值小于BC,
∴1<<2,
即1<k<2.
26.解:(1)∵y=kx+b(b>0),
∴当x=0时,y=b,当y=0时,,
∴C(0,b),,
∴,
∵kS+2=0,
∴,
∵b>0,
∴b=2;
(2)设,点B的横坐标为x2,则点E的横坐标为x2,
设直线OA为y=tx,则,
解得,
∴直线OA的解析式为,
由(1)可知y=kx+2,
令,
整理得x2﹣4kx﹣8=0,
则x1,x2是方程的两个实数根,
∴x1x2=﹣8,
将x=x2代入,
得,
∴点E的纵坐标为﹣2;
(3)是定值,理由如下:
设直线l3的解析式为y=mx+n,
令,
整理得x2﹣4mx﹣4n=0,
∵直线y=mx+n与抛物线只有一个交点,
∴(4m)2﹣4×(﹣4n)=0,
∴n=﹣m2,
∴y=mx﹣m2,
由(1)(2)可知C(0,2),E点的纵坐标为﹣2,
∴当y=2时,,当y=﹣2时,,
∴,,
∴,,
∴8﹣16=﹣8,
∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8.
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