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2025年中考第一次模拟考试数学试卷
南通卷
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算﹣3+5的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
2．由陈凯歌、张一白、管虎等七位导演执导的电影《我和我的祖国》于2019年9月30日在全国上映，电影票房便超过299400000元，数299400000用科学记数法表示为（　　）
A．0.2994×109B．2.994×108C．29.94×107D．2994×106
3．以下问题．不适合用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．学校招聘老师，对应聘者进行面试
C．了解“神舟十五号”载人飞船发射前零部件的状况
D．某批种子的发芽率
4．如图，AB∥CD，点E在AB上，过点E作AB的垂线与CD相交于点F，连接CE，若∠ECD＝40°，则∠CEF的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．一次函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象经过点P（﹣2，﹣1）且y随着x的增大而减小，则该图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．在我国古代数学著作《九章算术》中记录着这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知钱数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“现有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组（　　）
A．B． C．D．
7．下列说法不正确的是（　　）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．等腰梯形的对角和相等
D．矩形的对角线互相垂直平分
8．若关于x的不等式3m﹣2x＜9的解集是x＞3，则实数m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B，CB为⊙A的直径，点C在函数y（k＞0，x＞0）的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为，则k的值是（　　）
A．7 B．14 C．21 D．28
10．已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　）
A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0
C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．分解因式：m2﹣2m+1＝　　．
12．因为，即，所以的整数部分为1，小数部分为，类比以上推理，的小数部分为　　．
13．一个多边形的内角和与外角和相等，则它是　　边形．
14．如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距40m的D处，观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为45°，则旗杆AB的高度为　　m（结果保留整数，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
15．设a是方程x2+2x﹣2＝0的一个实数根，则2a2+4a+2020＝　　．
16．如图，已知半圆O的直径为MN，点A在半径OM上，B为的中点，点C在弧BN上，以AB、BC为邻边作矩形ABCD，边CD交MN于点E，连接DO，并延长DO交AB于点P，若BP＝2AP，则的值为　　．
17．如图，△AOB的边AB∥x轴，点C在OB上，反比例函数y（k＞0）的图象经过A，C两点．若△AOB的面积为5，且OC＝2BC，则k的值为　　．
18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD交于O，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边）在直线BD上运动，连结AF、ME，若AB＝6，，则AF+ME的最小值是　　．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（10分）（1）计算：；
（2）化简代数式，并请你取一个合适的a值，代入化简后的代数式求值．
20．（10分）某校九（1）班学生成立了一个“关于新冠肺炎45个知识点”的防疫科普宣传小组，其中男生2人，女生3人，现从小组中选人进社区宣传．
（1）若选1人，则恰好选中女生的概率是　　；
（2）若选2人，求恰好选中一男一女的概率．
21．（12分）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：AP＝CQ；
（2）当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值；
（3）在P点运动过程中，当t为何值时，△AOP是等腰三角形．（直接写出答案即可）
22．（10分）为全面深入学习宣传贯彻全国“两会”精神，学深悟透习近平总书记在“两会”期间的系列重要讲话精神，培养学生的爱国情怀，某校组织全校学生参加了“聚焦全国两会 凝聚奋进力量”主题知识竞赛，为了解竞赛成绩，随机抽样调查了七、八年级各15名学生的成绩x（单位：分），过程如下：
【收集数据】：
八年级15名学生竞赛成绩分别为：77，84，88，98，97，88，100，92，88，91，94，91，97，95，100；
七年级15名学生竞赛成绩中90≤x＜95的成绩如下：91，92，94，90．
【整理数据】：
年级 75≤x＜80 80≤x＜85 85≤x＜90 90≤x＜95 95≤x≤100
八年级 1 1 m 4 6
七年级 1 2 3 4 5
【分析数据】：
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 92 a 92 37.7
七年级 90 87 b 50.2
根据以上提供的信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝　　，a＝　　，b＝　　；
（2）该校八年级学生有600人，假设全部参加此次竞赛，请估计八年级成绩超过平均分的人数；
（3）请你根据以上信息，推断哪个年级的成绩更好，并说明理由．（写出一条理由即可）
23．（12分）亳州市某超市经销某种特色水果的成本为每千克20元，在一段时间内，销售单价P（元/千克）与时间t（天）的函数图象如图，且其日销售量y（千克）与时间t（天）的关系是：y＝﹣2t+120（其中天数t为整数）．
（1）当0≤t≤40天，求销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式；
（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
（3）在前20天中，超市决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．而且每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．
24．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，作射线AC，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与AC，AB分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交半圆O于点D，过点D画半圆O的切线，分别交射线AB，AC于点E，F．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若AF＝3，∠ADF＝60°，求BD的长．
25．（13分）（1）【活动背景】在鹿鸣成长课程中，同学们探究了一类“三等分线段、角”的问题．如图1，在矩形ABCD的边AD和BC上分别取点E、F，且CF＝2DE，连接CE、DF交于点O，将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，试说明：点Q是边CD的三等分点．
（2）【活动操作】同学们进一步发现，在作图的过程中也可以参考类似的方法．如图2，已知线段BC，点E是BC的中点，请用无刻度直尺和圆规作平行四边形ABCD，使得AE⊥BD．（不写作法保留作图痕迹）
（3）【活动证明】同学们通过查阅资料发现，不能通过圆规直接三等分角，但可以通过圆规和带刻度的直尺得出三等分角，如图3，点C是OA上一点，用尺规作出CD⊥OB，CF∥OB后，将直尺一端放在点O处，不断转动直尺与CD、CF交于点M、N，当MN与CO满足某种数量关系时，即可得到，试猜想MN与CO的数量关系并证明．
（4）【活动思考】在上面的活动操作中所探究的平行四边形ABCD，若BC＝kAB，请直接写出k的取值范围．
26．（13分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点．
（1）求b的值；
（2）求点E的纵坐标；
（3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、选择题（
1．选：B．
2．选：B．
3．选：D．
4．选：C．
5．选：A．
6．选：D．
7．选：D．
8．选：A．
9．选：B．
10．选：A．
二、填空题
11．答案为：（m﹣1）2．
12．答案为：3．
13．答案为：四．
14．答案为：8．
15．答案为：2024．
16．答案为：．
17．答案为：8．
18．答案为：．
三、解答题
19．解：（1）原式＝39+4﹣21
＝﹣6；
（2）原式[]
（）
，
当a＝2时，原式．
20．解（1）∵男生2人，女生3人，
∴选1人，则恰好选中女生的概率是．
故答案为：．
（2）根据题意，画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中符合题意的有12种，
∴P．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
∴∠PAO＝∠QCO，∠APO＝∠CQO，
在△APO和△CQO中，
，
∴△APO≌△CQO（AAS），
∴AP＝CQ；
（2）解：如图：
∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，
∴BC＝2AB＝6，
由（1）知，AP＝CQ＝t，
∴BQ＝BC﹣CQ＝6﹣t，
由AP∥BQ可知，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t＝6﹣t，
解得t＝3，
答：当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是3；
（3）解：①当AP＝AO时，△AOP是等腰三角形，如图：
∵AB⊥AC，AB＝3，∠ACB＝30°，
∴ACAB＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝COAC，
∴AP＝AO，
∴t；
②当AO＝PO时，△AOP是等腰三角形，过O作OH⊥AD于H，如图：
∵AD∥BC，
∴∠HAO＝∠ACB＝30°，
在Rt△AOH中，
OHAO，AHOH，
∵AO＝PO，OH⊥AD，
∴AP＝2AH，
∴t；
③当AP＝OP时，△AOP是等腰三角形，过P作PK⊥AO于K，如图：
∵AP＝OP，PK⊥AO，
∴AKAO，
在Rt△APK中，
AP，
∴t，
综上所述，当t为或或时，△AOP是等腰三角形．
22．解：（1）由题意知m＝3，八年级成绩的众数a＝88，
七年级成绩的中位数是第8个数，即91，
所以b＝91，
故答案为：3，88，91；
（人），
答：八年级成绩超过平均分的人数为280人；
（3）八年级成绩更好．
从平均数看，八年级成绩的平均数大于七年级，所以八年级成绩更好．
23．解：（1）当0≤t≤40天，设销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为p＝kt+30，
∴40＝40t+30，
解得t，
∴当0≤t≤40天，销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为pt+30；
（2）设日销售利润为w元，
当0≤t≤40天时，
w＝（p﹣20）y
＝（t+10）（﹣2t+120）
（t﹣10）2+1250，
∴当t＝10时，w有最大值为1250；
当t＞40时，
w＝（p﹣20）y
＝20（﹣2t+120）
＝﹣40t+2400＜800，
∴第10天的销售利润最大，最大日销售利润为1250元；
（3）∵w＝（p﹣20﹣n）（﹣2t+120）
t2+（2n+10）t+1200﹣120n，
∴a，对称轴为直线t＝2n+10，
∵每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴，
∴5≤n＜9．
24．（1）证明：如图，连接OD，
∵EF与半圆O相切于点D，
∴OD⊥DF，
由题意知，AD平分∠BAC，
即∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD，
又OD⊥DF，
∴DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°；
（2）解：由（1）知，∠AFD＝90°，∠BAD＝∠CAD，
在Rt△ADF中，∠ADF＝60°，AF＝3，AF2+DF2＝AD2，
∴∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∴AF＝3，
∴32+DF2＝（2DF）2，
∴DF，
∴AD＝2，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝∠AFD＝90°，
∴△ADF∽△ABD，
∴，
∴，
解得BD＝2．
25．（1）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴＝＝
将边AD沿着过点O的直线折叠，使得点A、D分别落在AB和CD上，
∴∠APB＝∠BPQ＝90°，∠DQP＝∠CQP＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴四边形APQD是矩形，
∴AD∥PQ，
∴＝＝，
∴DQ＝CD，即Q是边CD的三等分点；
（2）解：如图2，以BE为直径画圆O，在圆O上取点N，连接BN，EN，延长BN至A，使ND＝2BN，延长EN至A，使AN＝2NE，连接AD，AB，CD，则四边形ABCD为所求四边形；
证明：∵AN＝2NE，DN＝2BN，
∴＝＝2，
∵∠AND＝∠BNE，
∴△AND∽△ENB，
∴∠NBE＝∠ADN，＝2，
∴AD∥BE，AD＝2BE，
又∵E为BC的中点，
∴2BE＝BC，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BE为圆O的直径，
∴∠BNE＝90°，
∴AE⊥BD；
∴平行四边形ABCD符合条件；
（3）解：取MN的中点H，连接CH，如图3，
∵CD⊥OB，CF∥OB，
∴CD⊥CF，
∴CH＝MN，
∵点H是MN的中点，
∴MH＝NH＝MN，
∴CH＝NH，
∴∠HCN＝∠CNH，
∴∠OHC＝∠HCN+∠CNH＝2∠CNH，
∵∠MOD＝∠AOB，
∴∠COH＝2∠MOD，
∵CF∥OB，
∴∠NOB＝∠CNH，
∵∠OHC＝2∠CNH，∠COH＝2∠NOB＝2∠CNO，
∴∠OHC＝∠COH，
∴CO＝CH＝MN；
（4）解：作CM⊥BD交BD于M，
∴AE∥CM，
∵BE＝EC，
∴BN＝NM，
∵DN＝2BN，
∴MD＝NM＝BN，
在Rt△ABN和Rt△BNE中，BN2＝AB2﹣AN2＝BE2﹣NE2，
∴AB2﹣BE2＝AN2﹣NE2＝3NE2＞0，
∴AB2﹣（）2＞0，
∴AB2﹣AB2＞0，
∴1﹣＞0，
∴k2＜4，
又∵k＞0，
∴0＜k＜2；
在Rt△BCM和Rt△DCM中，CD2﹣DM2＝BC2﹣BM2，
∴AB2﹣BC2＝DM2﹣BM2，
∴k2﹣AB2＝BM2﹣DM2＝3DM2＞0，
∴（k2﹣1）AB2＞0，
∴k2＞1，
又∵k＞0，
∴k＞1；
综上，k的取值范围1＜k＜2．
方法二：
∵DN＝2BN，
延长BC至H，满足BE＝EC＝CH，
即EH＝2BE，
∴EN∥DH，
∴∠BDH＝∠BNE＝90°，
∴点D在以BH为直径的圆上运动，
∵BC\BH长度固定，
∴CD最小值大于CH，最小值小于BC，
∴1＜＜2，
即1＜k＜2．
26．解：（1）∵y＝kx+b（b＞0），
∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，，
∴C（0，b），，
∴，
∵kS+2＝0，
∴，
∵b＞0，
∴b＝2；
（2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2，
设直线OA为y＝tx，则，
解得，
∴直线OA的解析式为，
由（1）可知y＝kx+2，
令，
整理得x2﹣4kx﹣8＝0，
则x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1x2＝﹣8，
将x＝x2代入，
得，
∴点E的纵坐标为﹣2；
（3）是定值，理由如下：
设直线l3的解析式为y＝mx+n，
令，
整理得x2﹣4mx﹣4n＝0，
∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点，
∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0，
∴n＝﹣m2，
∴y＝mx﹣m2，
由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2，
∴当y＝2时，，当y＝﹣2时，，
∴，，
∴，，
∴8﹣16＝﹣8，
∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8．

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