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2025年中考第一次模拟考试数学试卷
南京卷
注意事项：
1．考试时间：120分钟，试卷满分：120分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．6的算术平方根是（　　）
A．2 B．6 C． D．
2．若（a+3）（a+2b）＝a2﹣2a﹣15，则b等于（　　）
A．5 B． C．2 D．﹣2
3．截至10月30日，某市累计新冠疫苗接种共完成1015000人次，将1015000用科学记数法表示应为（　　）
A．10.15×106B．1.015×106 C．0.1015×107D．1.015×107
4．若x1，x2是一元二次方程x2﹣13x﹣14＝0的两根，则x1+x2的值是（　　）
A．13 B．﹣13 C．14 D．﹣14
5．用一个平面截下列几何体，截面形状不可能出现三角形的是（　　）
A．B．C．D．
6．如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为（　　）
A． B．1 C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．的绝对值是　　，的相反数是　　．
8．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是　　．
9．把多项式3ax2﹣3ay2分解因式的结果是　　．
10．设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝　　．
11．已知线段点P是线段AB上的一点，AB长8厘米且BP2＝AP AB，那么AP的长是　　厘米．
12．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A′BE，当点A′恰好落在EC上时，DE的长为　　．
13．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm，圆心角为120°扇形，则该圆锥的侧面面积为　　cm2．
14．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线AE为⊙O的直径，连接HE，则∠AEH的度数为　．
15．如图，反比例函数的图象经过△ABO的顶点A，点D是OA的中点，若反比例函数的图象经过点D，则k的值为　　．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是边BC上的动点，连接AE，过点E作EF⊥AE，与CD边交于点F，连接AF，则AF的最小值为　　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算：（）．
18．（10分）（1）解方程：x2﹣4x﹣1＝0；（2）解不等式：．
19．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数．
20．（8分）某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a．甲班23名学生的身高：
163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180．
b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示：
班级 平均数 中位数 众数
甲 169 m n
乙 169 170 167
（1）写出表中m，n的值；
（2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为p1，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为p2，则p1　　p2（填“＞”“＜”或“＝”）；
（3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为　　cm．
21．（8分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AO＝CO．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，AB＝10，求BC的长．
22．（8分）某省运动会如期举行，其中第二个比赛日包含排球、足球、体操以及艺术体操4个项目．现有四张关于运动项目的门票，门票的正面分别印有的图案为A．“排球”、B．“足球”、C．“体操”和D．“艺术体操”．将这四张卡片背面朝上（这四种门票的背面完全相同，ABCD作为代号），洗匀：
（1）从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票分别是A和D的概率为　　；
（2）从中随机抽取两张，请你用合适的方法，求两张门票是B和D的概率．
23．（8分）小明家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小明利用相关数学知识测量了这个路灯的高．如图1所示，路灯顶部A处发光，光线透过窗子DC照亮地面的长度为EF，小明测得窗户距离地面高度DO＝1m，窗高CD＝1.5m，某一时刻，OE＝1m，EF＝4m，其中B、O、E、F四点在同一条直线上，C、D、O三点在同一条直线上，且AB⊥BE，CO⊥OE．
（1）求出路灯的高度AB．
（2）现在小明想让光线透过窗子DC照亮地面的最远端位置离右墙角点F的距离为2m，如图2所示，需将路灯AB的高度升高多少米？此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是多少？（画出图形并解答）
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC，
（1）请用尺规作图法在边BC上求作一点D，使S△ABD：S△ACD＝AB：AC；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接AD，F是AD的反向延长线上一点，过点F作EF⊥BC交线段BC于点E．若∠B＝35°，∠C＝60°，求∠AFE的度数．
25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求证：OE⊥AB；
（2）若AD＝4，，求⊙O的半径．
26．（9分）已知二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1：
（1）如果直线y＝x+1经过二次函数y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1图象的顶点P，求此时a的值；
（2）随着a的变化，该二次函数图象的顶点P是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；
（3）将该二次函数以x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b）（a未知，b为常数），求原函数与y轴的交点纵坐标．
27．（9分）将图形特殊化是发现结论和探索方法的重要途径．
如图，在△ABC中，AD是中线，E是AC边上一点，∠BAD＝∠DEC＝45°，作AD的垂直平分线分别交AD、DE于点O、F，探究下列问题．
【特殊化】
（1）当点A与点E重合时，
①在图中，画出此特殊情形的图；
②此情形下，点F与点　　重合，此时FD与AC满足的数量关系为　　．
（2）当点F与点E重合时，在图中，用尺规作出点A的位置；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【一般化】
（3）当点A、E、F中，任意两点不重合时，如图，判断（1）问中FD与AC所满足的数量关系在此情形下是否仍然成立？说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．选：C．
2．选：B．
3．选：B．
4．选：A．
5．选：B．
6．选：D．
二、填空题
7．答案为：；．
8．答案为：且x≠2．
9．答案为：3a（x+y）（x﹣y）．
10．答案为：2．
11．答案为：．
12．答案为：．
13．答案为：．
14．答案为：22.5°．
15．答案为：．
16．答案为：．
三、解答题
17．解：原式

＝a．
18．解：（1）x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2，x2＝2；
（2），
解不等式①得x≥0，
解不等式②得x＜5，
所以不等式组的解集为0≤x＜5．
19．解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成，
由题意得：1，
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成的天数为20天．
20．解：（1）把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168，故中位数m＝168；
甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多，故众数n＝165或n＝166；
（2）由题意得，p1＝9，p2＝12，
∴p1＜p2．
故答案为：＜；
（3）∵，
∴甲班未入选的3名学生的身高分别为163、164、180cm．
故答案为：163、164、180．
21．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠DCO＝∠BAO，
在△DCO和△BAO中
∴△DCO≌△BAO（ASA），
∴DO＝BO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：∵由勾股定理得：BC2＝CO2+OB2，AB2＝AO2+OB2，
又∵AO＝CO，
∴AB2＝BC2，
∴AB＝BC，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝10．
22．解：（1）列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中两张门票分别是A和D的结果有2种，
∴从中抽取一张后放回再抽取一张，两张门票是A和D的概率为．
故答案为：．
（2）列表如下：
A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
共有12种等可能的结果，其中两张门票是B和D的结果有2种，
∴两张门票是B和D的概率为．
23．解：（1）∵AB⊥BE，CO⊥OE，
∴AB∥CO，
∴△DOE∽△ABE，△COF∽△ABF，
∴，，
即，，
解得：AB＝BE＝4（m），
答：路灯的高度AB为4m；
（2）由（1）得：AB＝4m，BE＝4m，
∴BF＝BE+EF＝4+4＝8（m），
∴BO＝BF﹣OE﹣EF＝8﹣1﹣4＝3（m），
如图2，将路灯AB的高度升高至BH，
由题意得：NF＝2m，
∴BN＝BF﹣NF＝8﹣2＝6（m），
∴ON＝BN﹣BO＝6﹣3＝3（m），
同（1）得BH∥CO，
∴△CON∽△HBN，△DOM∽△HBM，
∴，，
即，，
解得：HB＝5（m），OM（m），
∴AH＝BH﹣AB＝5﹣4＝1（m），
答：需将路灯AB的高度升高1米，此时光线照亮地面的最近端位置离O点的距离是m．
24．解：（1）如图，点D为所作；
（2）如图，
∵∠B＝35°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝85°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC＝42.5°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝35°+42.5°＝77.5°，
∵FE⊥BC，
∴∠FED＝90°，
∴∠AFE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣77.5°＝12.5°．
25．（1）证明：连接OA、OB，如图所示．
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠OAC＝90°．
设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α．
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α，
∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC＝α，
∴∠BOE＝2∠BAE＝2α，
∴∠AOE＝∠BOE．
又∵OA＝OB，
∴OE⊥AB．
（2）解：∵，
∴可设ACx，BC＝2x．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴CDBC＝x，AD⊥BC，
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD＝4，
∴42+x2＝（x）2，解得：x＝2，
∴AB＝ACx＝2，BD＝CD＝x＝2．
∵OE⊥AB，
∴AFAB．
∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，
∴△FAE∽△DAB，
∴，即，
∴EF．
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r，
∵OF⊥AB，
∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r）2+（）2，
解得：r，
∴⊙O的半径为．
26．解：（1）由题意，∵y＝x2﹣2（a﹣1）x+a+1＝（x﹣a+1）2﹣a2+3a，
∴P（a﹣1，﹣a2+3a）．
又∵点P在直线y＝x+1图象上，
∴﹣a2+3a＝a﹣1+1．
∴a＝0或2．
（2）顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，理由如下：
∵顶点P的坐标为（a﹣1，﹣a2+3a），
又令x＝a﹣1，
∴y＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣1）2+（a﹣1）+2．
∴y＝﹣x2+x+2，
∴二次函数图象的顶点P是在抛物线y＝﹣x2+x+2图象上，
（3）∵原抛物线的顶点坐标为P（a﹣1，﹣a2+3a），
又x＝3为对称轴翻折后的图象过（a，b），
∴3，
∴a，
∴原函数与y轴的交点纵坐标为a+1．
27．解：（1）①∵点A与点E重合，在△ABC中，AD是中线，∠BAD＝∠DEC＝45°，
∴∠BAC＝90°，BD＝CD，则，
∴△ABC是等腰直角三角形，
如图所示：
②当点A与点E重合时，
∵ED与AD重合，
∴点F与点O重合，
由①可知，△ABC是等腰直角三角形，AD是△ABC中线、高线和顶角平分线，
∴△ADC是等腰直角三角形，且AD＝DC，则，
∵AF＝DF，
∴FD与AC满足的数量关系为；
故答案为：O；；
（2）作BD、CD的垂直平分线，在两条垂直平分线上，以BD、CD中点G，H为圆心，为半径画弧，在两条垂直平分线上的交点分别为I，O′，再分别以I，O′为圆心，O′D为半径作圆I，O′，再以圆O′和垂直平分线的交点M为圆心MD为半径作圆，交圆I于A，如图所示：
∴点A即为所求；
（3）成立．
证明如下：取AB中点G，连接BG，过点D作DH⊥AB，垂足为H，如图所示：
∵D、G分别是BC、AB的中点，
∴DG∥AC，，
∴∠GDE＝∠DEC＝45°，
∵DH⊥AB，∠BAD＝45°，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴，
∴∠HDG+∠GDA＝∠ODF+∠GDA＝45°，
∴∠HDG＝∠ODF，
∵∠DHG＝∠DOF＝90°，
∴△HDG∽△ODF，
∵O是AD的中点，
∴AD＝2OD，则，
∴，即，
∴，即．

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