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2025 年江苏省南京市浦口区明道学校中考数学零模试卷
一、选择题：本题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. 2 2 2 = 2 B. 5 2 2 2 = 3
C. 7 + = 7 2 D. 3 + 2 = 5
2.面积为 4 的正方形的边长是( )
A. 4 的平方根 B. 4 的算术平方根 C. 4 开平方的结果 D. 4 的立方根
3.下列整数中，与 13最接近的是( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
4.已知关于 的一元二次方程 2 4 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是( )
A. ≥ 4 B. > 4 C. ≥ 4 且 ≠ 0 D. > 4 且 ≠ 0
5.如图， ， 分别垂直 ，垂足分别为 ， ，连接 ， 交于点 ，作
⊥ ，垂足为 .设 = ， = ， = ，若 = 1，则下列等式：
① + = ；② + = 2 ；③ 2 = ，其中一定成立的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
6.如图，⊙ 是正八边形 的外接圆，则下列结论：
① = 2 ；
② 的度数为 90°；
③ 正八边形 = ．
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分。
7. 2 1的相反数是 ；2的倒数是 .
8.早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着 1731 克月球样品回到了地球.数据 1731 用科学记数法表
示为______．
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9.分解因式( )2 + 4 的结果是______．
10.一元二次方程 3 ( 1) = 1 的解是______．
11.设 、 是一元二次方程 2 + 3 5 = 0 的两个根，则 2 + 4 + =______．
12 = .如图，点 ， 在反比例函数 ( > 0)图象上，点 的横坐标为 1，连接 ， ，
，若 = ，△ 的面积为 4，则 的值为______．
13.如图，将半径为 2 的圆形纸片翻折，使得 ， 恰好都经过圆心 ，折 痕为 ，
，则阴影部分的面积为______ 2．
14.如图， 是△ 的中线，点 在 上，延长 交 于点 .若 =
3 ，则 = ______．
15.下列命题：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②一组对角相等且一组对边相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
其中所有真命题的序号是______．
16.如图，在矩形 中， = 1， = 2，以矩形的边 为边，向上作等边△ .
点 为 上一点，过点 分别作矩形相邻两边的平行线，交 、 于点 、 ，以 、
为一组邻边作矩形 ，则矩形 的面积的最大值为______. (结果保留根号)
三、解答题：本题共 11 小题，共 88 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 9 分)
(1)计算：( 1)0 + 4 45° 8 + | 3|．
+ 2 < 5,
(2)解不等式组 1 < 1.，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．3 2
18.(本小题 6 分)
2 2 2
先化简，再求值： 2+ ÷ ( 2 + )，其中 = 2．
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19.(本小题 8 分)
(1)某校有 、 两个食堂，甲、乙、丙三位同学各自随机选择其中的一个食堂就餐，求三位同学在相同食堂
就餐的概率．
(2)甲、乙、丙、丁四位同学分别站在正方形场地的四个顶点 、 、 、 处，每个人都以相同的速度沿着
正方形的边同时出发随机走向相邻的顶点处，那么甲、乙、丙、丁四位同学互不相遇的概率是______．
20.(本小题 8 分)
妈妈准备用 5 万元投资金融产品，她查询到有 、 两款“利滚利”产品，即上一周产生的收益将计入本金
以计算下一周的收益．例如：投资 100 元，第一周的周收益率为 5%，则第一周的收益为 100 × 5% = 5 元，
第二周投资的本金将变为 100 + 5 = 105 元．如图是这两款产品过去 5 周的周收益率公告信息．(第一周：
3 月 1 日～3 月 7 日)
(1)若妈妈 3 月 1 日投资产品 ，到第二周结束时会不赚不赔，这种说法对吗？请判断并说明理由．
(2)请运用学过的统计知识，为妈妈此次投资金融产品提出建议并简要说明理由．
21.(本小题 8 分)
如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上、一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单
位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市，如图②，线段 和折线 分别表示小明和妈妈离家
的距离 ( )与出发时间 ( )的关系．
(1)小明步行的速度是______ / ，妈妈的单位距离超市______ .
(2)求线段 所表示的 与 之间的函数表达式；
(3)当 = ______时，小明与妈妈相距 400 ．
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22.(本小题 8 分)
(1)如图①，在四边形 中，∠ = ∠ = 90°， = ，求证：四边形 是矩形；
(2)如图②，若四边形 满足∠ = ∠ > 90°， = ，求证：四边形 是平行四边形．
23.(本小题 8 分)
如图，为了测量建筑物 的高度，小明在点 处分别测出建筑物 、 顶端的仰角∠ = 30°，∠ = 45°，
在点 处分别测出建筑物 、 顶端的仰角∠ = 45°，∠ = 70°.已知建筑物 的高度为 14 ，求建
筑物 的高度(精确到 0.1 ). (参考数据： 70° ≈ 2.75， 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73. )
24.(本小题 9 分)
如图，△ 内接于⊙ ，∠ = ∠ ．
(1)判断直线 与⊙ 的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ = 30°， = 1，求弦 所对的弧长；
(3)在(2) 1的条件下，点 在优弧 上运动，是否存在点 ，使点 到弦 的距离为2？若有，请直接写出
的长；若没有，请说明理由．
25.(本小题 9 分)
在平面直角坐标系 中， ( , 1)， ( + 1, 2)， ( + 3, 3)三点都在抛物线 = 2 2 + 4( > 0)上．
(1)这个抛物线的对称轴为直线______；
(2)若 1 > 3 ≥ 2，求 的取值范围；
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(3)若无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，直接写出 的取值范围．
26.(本小题 6 分)
已知：如图点 、 为⊙ 定点．
求作：优弧 上点 使得 等于定长 . (保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明)
27.(本小题 9 分)
小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面
积最大．
【从特殊验证】
已知四边形 的各边长依次为 7，15，20，24，它的面积 何时最大？
小敏的演算纸
综上所述， 的最大值为……
(1)探索情形Ⅰ：
①求证：点 ， ， ， 在同一个圆上．
② 的值为______．
(2)探索情形Ⅱ：说明此时 的值小于情形Ⅰ中 的值．
【向一般进发】
(3)已知四边形 的各边长依次为 6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.2；2
8.1.731 × 103
9.( + )2
10. 1 = 1
1
， 2 = 3
11.2
12.3
13.43
14.32
15.①③
16.3+2 33 ．
17.4；
3 < < 3，不等式组的解集在数轴上表示见解析．
218.
2 2
解： 2+ ÷ ( 2 + )
( + )( ) 2 2 2
= ( + ) ÷ ( + )
2 2 + 2
= ÷

= ( )2
= 1 ，
当 = 2 1 2时，原式= 2 = 2 ．
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19.(1)画树状图得：
由树状图可知共有 8 种等可能结果，其中甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐有 2 种结果，
∴ 2 1甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率为8 = 4；
(2) 18；
20.解：(1)这种说法不对，
理由：设开始投资 元，
则两周结束时的总资产为： (1 + 2%)(1 2%) = 0.9996 ≠ ，
故到第二周结束时会不赚不赔，这种说法不对；
(2)选择 产品，理由：由图可以看出两个产品平均收益率相近，但 产品波动较小，方差较小，且一直是正
收益，说明收益比较稳定，故选择 产品．
21.(1)100，800；
(2) 600由图象知，妈妈的速度为 3 = 200( / )，
1400
妈妈从家到超市所用时间为： 200 = 7( )，
∴妈妈在家时间为：14 3 7 = 4( )，
∴ (7,0)， (14,1400)，
设线段 所表示的 与 之间的函数表达式为： = + ( ≠ 0)，
把(7,0)，(14,1400) 7 + = 0代入 = + ( ≠ 0)得： 14 + = 1400，
= 200
解得 = 1400，
∴线段 所表示的 与 之间的函数表达式为： = 200 1400 (7 ≤ ≤ 14)；
(3) 23或 10．
22.(1)证明：如图①，连接 ，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∵ = ， = ，
∴ △ ≌ △ ( )，
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∴ = ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ∠ = 90°，
∴四边形 是矩形；
(2)解：如图②，分别过点 、 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∵ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = ∠ = 90°， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ， = ，
由(1)可得四边形 是矩形，
∴ = ，
∴ = ，
∵ = ， = ，
∴四边形 是平行四边形．
23.解：设 = .
∵ △ 在 中，tan∠ = ，∴ = 30 = 14 3．
∵在 △ 中，∠ = 45°，
∴ = = 14，∴ = + = 14 3 + 14．
∵在 △ 中，∠ = 45°，∴ = = ．
∵在 △ 中，tan∠ = ，∴ =

70 = 70 ．
∴ 70 = 14 3 + 14．
∴ = (14 3+14)× 70° (14×1.73+14)×2.75 70° 1 ≈ 2.75 1 = 22 × 2.73 = 60.06 ≈ 60.1 ( )．
因此，建筑物 的高度为 60.1 ．
24.解：(1)直线 与⊙ 相切．理由如下：
如图 1，延长 交⊙ 于点 ，连接 ．
∵ 是⊙ 直径，
∴ ∠ = 90°(直径所对的圆周角是直角)，
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∴ ∠ + ∠ = 90°(直角三角形的两个锐角互余)．
在⊙ 中，∵ ∠ = ∠ ，且∠ = ∠ (同弧所对的圆周角相等)，
∴ ∠ + ∠ = 90°，即 ⊥ ；
又∵直线 经过半径 的外端点 ，
∴直线 与⊙ 相切．
(2)连接 、 ．
在⊙ 中，∵ ∠ = ∠ = 30°，∴ ∠ = 60°(同弧所对的圆周角是所对
的圆心角的一半)．
∵ = ，∴△ 为等边三角形，∴ = = = 1
= 60 1 300 1 5 180 = 3，或者 = 180 = 3；
(3)2 或 1．
作直径 ，则∠ = 90°，
又∵ ⊥ ，
∴ // ．
∴ = 12 =
1
2，
则当 是直径时满足条件，此时 = 2；
过点 作 2 ⊥ .
1 1 1
当 / / 时，垂径定理可知 2 = 2 = 2 = 2 .则△ 是等边三角形．
则 = = 1．
25.解：(1)由题意，对称轴是直线 = 2 2 = 1．
故答案为： = 1．
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(2)由题意，∵对称轴是直线 = 1，
又 1 > 3 ≥ 2，且开口向上，
∴ | 1| > | + 3 1| ≥ | + 1 1|．
∴ 1 ≤ < 12．
(3)由题意，当 = 4 2 16 < 0 时，显然符合题意，
∴ 0 < < 4．
又当抛物线与 轴有交点时，
设抛物线 = 2 2 + 4 与 轴交点横坐标为 1、 2，
∴ 1 +
4
2 = 2， 1 2 = ．
∵无论 取任何实数，点 ， ， 中都至少有两个点在 轴的上方，
∴ | 1 2| < 1，
∴ ( 1 + )22 4 1 2 < 1，
即 4 4 × 4 < 1，
∴ < 163，
∵ > 0，
16
综上，0 < < 3．
26.解：如图，作 的垂直平分线 交 于点 ，以点 为圆心 为半径作⊙ 交 于点 ，以点 为圆心
为半径作⊙ ，⊙ 与⊙ 交于点 ，连接 并延长交⊙ 于点 .根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点
′.点 和 ′即为所求．
思路：由于 = ，构造 = ，在等腰△ 中，
∠ = 180° ∠ = 180° ( 180° ∠ 2 ) = 180°
∠
2 = ∠ ．
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由于∠ = ∠ + ∠ = 2∠ ，180° ∠ 2 = 180° ∠ = ∠ + ∠ ，则∠ = ∠ ，
= = ，
由于∠ 为定角，则∠ 也为定角，点 的轨迹为以点 为圆心， 为半径的圆．
因点 又在以点 为圆心 为半径的圆上．
故两圆交点即为点 ，连接 并延长，即可找到点 ．
27.(1)①证明：连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，
∵ ∠ = 90°，
∴ 2 = 2 + 2 = 625，
又∵ 2 + 2 = 225 + 400 = 625，
∴ 2 + 2 = 2，
∴ ∠ = 90°，
∵ 为 的中点，
∴ = = = ，
∴点 ， ， ， 在同一个圆上；
②解：∵ ∠ = ∠ = 90°，
1 1
∴ = △ + △ = 2 + 2
1 1
= 2 × 15 × 20 + 2 × 7 × 24
= 150 + 84
= 234．
故答案为：234；
(2)解：∵ = ， = ，
∴ = 20 + 12 × 24 = 10 + 12 ，
在 △ 中， < 15，在 △ 中， < 7，
∴ = 10 + 12 < 10 × 15 + 12 × 7，
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即 < 234；
(3)解：由题意可知，当四边形 四顶点共圆时，它的面积最大，
设 = 6， = 8， = 8， = 12，连接 ，过点 分别作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
∵ = ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ = ，
∵ = ，
∴ △ ≌ △ ( )，
同理可证△ ≌△ ，
∴ = ， = ，
∴ = + ，
∴ = 3，
∵ ∠ = 90°，
∴ = 2 2 = 82 32 = 55，
∴ = 55，
∴ 四边形 = △ +
1 1
△ = 2 + 2 = 9 55，
即四边形 面积 的最大值为 9 55．
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