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2025 年辽宁省鞍山市千山区中考数学结课试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.如图是由 6 个大小相同的正方体搭成的几何体，其左视图是( )
A. B. C. D.
2.沸点是液体沸腾时的温度，下表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是( )
液体名称液氧 液氢 液氮 液氦
沸点/℃ 183 253 196 268.9
A.液氧 B.液氢 C.液氮 D.液氦
3.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省
3240 万斤，这些粮食可供 9 万人吃一年，“3240 万”这个数据用科学记数法表示为( )
A. 0.324 × 108 B. 32.4 × 106 C. 3.24 × 107 D. 3.24 × 108
4.如图，在 中， 是对角线，当△ 是等边三角形时，∠ 为( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
5.下列各式运算正确的是( )
A. 5 2 3 2 = 2 B. 2 3 = 6
C. ( 10)2 = 20 D. ( + 1) =
6.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5 时代”“ ”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中
一个主题，则她恰好选中“ ”的概率是( )
A. 19 B.
1
6 C.
1 2
3 D. 3
7.下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
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8.在《九章算术》中，二元一次方程组是通过“算筹”摆放的，如图 1、图 2 所示.图中各行从左到右列出
2 + 3 = 27
的算筹数分别表示未知数 ， 的系数与相应的常数项.如图 1 所示的算筹图表示的方程组是 + 2 = 14 ，
类似的，图 2 所示的算筹图表示的方程组是( )
2 + = 11 2 + = 11 2 + = 16 2 + = 16
A. 4 + 3 = 22 B. 4 + 3 = 27 C. 4 + 3 = 22 D. 4 + 3 = 27
9.如图，矩形 的对角线 、 相交于点 ， // ， // ，若 = 4，则四边形 的周长为
( )
A. 4 B. 8
C. 6 D. 10
10.如图，直线 = 43 + 4 与 轴、 轴分别交于点 、 、 是线段 上一点，四边形 是菱形，则
的长为( )
A. 4.2 B. 4.8 C. 5.4 D. 6
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11 2 = 1.方程3 2 5的解为______．
12.点 (1, 2)、 ( 3,4)按照一个方向平移后，点 的对应点的坐标是(3,2)，则点 的对应点是______．
13.如图，已知 // ， 和 相交于点 ， △ ： △ = 9：25，则 = ______．
14.已知抛物线 = ( 3)2 + 经过点 (2,0)，则该抛物线与 轴的另一个交点是______．
15.如图，在矩形 中， = 6， = 8.连接 ，在 和 上分别截取 、 ，
使 = 1，分别以点 和点 为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧交于点 ，
作射线 交 于点 ，则线段 的长是______．
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三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 10 分)
(1)计算：32 + 6 ÷ ( 2) + 12 + |3 3|；
7 2(2) 6 +9计算：(1 +4 ) ÷ +4 ．
17.(本小题 8 分)
如图，将转盘分为 6 等份，分别写上数字 1～6，转动一次转盘，指针指向的数字即为该次的得分，甲、乙
两人每人转动 次转盘．
(1)若 = 8，甲转得了 2 次 1 分，若要甲的总分不低于 26 分，求其他次数转得分数的平均分至少是多少？
(2)若乙转得了 3 次 6 分，其他次数转得分数的平均分为 2 分，甲的平均得分为 4 分，甲、乙两人得分相等，
求 的值．
18.(本小题 8 分)
为扎实推进“五育并举”工作，某校利用课外活动时间开设了舞蹈、篮球、象棋、足球和农艺五个社团活
动，每个学生必选且只选择一项活动参加.为了解活动开展情况，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调
查结果绘制成不完整的统计图表.参加五个社团活动人数统计表：
社团活动 舞蹈 篮球 象棋 足球 农艺
人数 40 80
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)抽取的学生共有______人， = ______；
(2)从篮球社团的学生中抽取了部分学生，他们的身高(单位： )如下：190，172，180，184，168，188，
174，184，则他们身高的中位数是______ ；
(3)若该校有 2000 人，估计全校参加舞蹈社团活动的学生有多少人？
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19.(本小题 8 分)
某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量
(盒)与销售单价 (元)是一次函数关系，下表是 与 的几组对应值．
销售单价 /元 … 12 14 16 18 20 …
销售量 /盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求 与 之间的函数关系式(不要求写出自变量 的取值范围)；
(2)该商品日销售额能否达到 1000 元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
20.(本小题 8 分)
如图，一个盛了水的长方体水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边点 处向水面 上的点 入射，折射
后照到水槽底部的点 .已知 // ，测得∠ = 45°，∠ = 32°，水槽高 = 20 ， = 10 ，
若 ， ， 三点在同一条直线上(直线 ′为法线， 为入射光线， 为折射光线)，请依据相关材料回
答以下问题：
(1)求 的长．
(2)求点 ， 之间的距离(结果精确到 0.1 )．
参考数据： 32° ≈ 0.530， 32° ≈ 0.848， 32° ≈ 0.625．
21.(本小题 8 分)
如图，⊙ 是△ 的外接圆. ∠ = 90°，点 是⊙ 上一点， = 2 .连接 ，过点 作 // 交
的延长线于点 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)若⊙ 的半径为 2，且 = ，求 的长．
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22.(本小题 12 分)
折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知
识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
(1)操作判断：
在 上选一点 ，沿 折叠，使点 落在正方形内部的点 处，把纸片展平，过 作 // 交 、 、
于点 、 、 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ，如图①，当 为 中点时，△ 是______三角形．
(2)迁移探究：
如图②，若 = 5，且 = 10，求正方形 的边长．
(3)拓展应用：
1
如图③，若 = ( > 1)，直接写出 的值为______．
23.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系中，若某函数的图象与矩形 对角线的两个端点相交，则定义该函数为矩形 的
“友好函数”．
(1)如图，矩形 ， // 轴，经过点 ( 1,1))和点 (3,3)的一次函数 1 = + 是矩形 的“友好
函数”，求一次函数 1 = + 的解析式；
(2)已知第一象限内矩形 的两条边的长分别为 2 和 4，且它的两条边分别平行 轴和 轴，经过点 和点
的反比例函数 2 =
6
是矩形 的“友好函数”，求矩形距原点最近的顶点坐标；
(3)若 3 = 2 + + ( ≠ 0)是矩形 的“友好函数”且经过 ， 两点，点 的坐标为(1, 3)，点
的坐标为( 3,5)， // 轴．
①若 3 = 2 + + ( ≠ 0)的图象与矩形 有且只有两个交点，求 的取值范围；
②点 ( , )是 3 = 2 + + ( ≠ 0)
1 ≤ ≤ 3 1图象上一点，且 2 2 ，当 > 0 时， 的最大值和最小
值的差是 3，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. = 10
12.( 1,8)
13.3：2
14.( 4,0 )
15.103
16.解：(1)32 + 6 ÷ ( 2) + 12 + |3 3|
= 9 + 6 ÷ ( 2) + 2 3 + 3 3
= 9 + ( 3) + 2 3 + 3 3
= 9 + 3；
2
(2)(1 7 6 +9 +4 ) ÷ +4
= +4 7 +4 +4 ( 3)2
= 3 +4 +4 ( 3)2
= 1 3．
17.解：(1)设甲在其他次数转得分数的平均分为 ，根据题意得：
2 × 1 + (8 2) ≥ 26，
解得 ≥ 4，
答：其他次数转得分数的平均分至少是 4 分；
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(2)根据题意得：3 × 6 + 2( 3) = 4 ，
解得 = 6，
即 的值为 6．
18.解：(1)本次抽取的学生有：(40 + 80) ÷ (1 15% 10% 15%) = 200(人)，
% = 80 ÷ 200 × 100% = 40%，
即 = 40，
故答案为：200，40；
(2)将 190，172，180，184，168，188，174，184 按照从小到大排列是：168，172，174，180，184，
184，188，190，
∴这组数据的中位数是(180 + 184) ÷ 2 = 182( )，
故答案为：182；
(3)2000 × (1 15% 10% 15% 40%)
= 2000 × 20%
= 400(人)，
答：估计全校参加舞蹈社团活动的学生有 400 人．
19.解：(1)设 = + ( ≠ 0)，
将(12,56)，(14,52)代入，
∴ 12 + = 5614 + = 52，
= 2
解得： = 80，
∴ = 2 + 80；
故答案为： = 2 + 80；
(2)由题意，销售额= ( 2 + 8) = 2 2 + 80 ，
又销售额是 1000 元，
∴ 1000 = 2 2 + 80 ．
∴ 2 2 80 + 1000 = 0．
∴ = ( 80)2 4 × 2 × 1000 = 1600 < 0．
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到 1000 元．
20.解：(1)由条件可知 = = 10 ， = 10 ，
∵ ′ ⊥ ， ′ ⊥ ，
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∴ = = 10 ，
∵ ∠ = 32°，
∴ = 32° ≈ 10 × 0.625 = 6.25 ；
(2)由条件可知∠ = 90° + ∠ = 135°，∠ ′ = 90° ∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ ′ = 45°，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
∴ = = = 10 ，
∴ = 10 6.25 ≈ 3.8 ．
21.(1)证明：如图，连接 并延长，交 于 ，延长 ，交 于 ，
∵ = 2 ，
∴ ∠ = 2∠ ，
由圆周角定理可知：∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ // ，
∵ // ，
∴四边形 为平行四边形，
∵四边形 为⊙ 内接四边形，∠ = 90°，
∴ ∠ = 90°，
∴平行四边形 为矩形，
∴ ∠ = 90°，即 ⊥ ，
∴ 为⊙ 的切线；
(2)解：∵ = ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 2∠ ，
∴ ∠ = 2∠ ，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 60°，
∴ ∠ = 120°，
120 ×2 4
∴ 的长为： 180 = 3．
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22.(1)等边；
(2) ∵四边形 为正方形，
∴ = = ，∠ = ∠ = 90°，
根据折叠的性质可得， = ，∠ = ∠ = 90°，
∴ = ，∠ = ∠ = 90°，
∵ = ，
∴ △ ≌ △ ( )，
∴ = ，
∵ // ，
∴四边形 为矩形，
∴ = = 5， = ，∠ = ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ = ，
∵ = 10，
∴ = 10，
∴ 5 = 10，即 = 2，
∴ = = 5 2 = 3，
∴ = = 3，
在 △ 中， = 2 2 = 32 22 = 5，
∴ = 105 = 2 5，
∴ = + = 2 5 + 5 = 3 5，
∴ = = 3 5，即正方形 的边长为 3 5；
(3) 1 +1．
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23.解：(1) ∵一次函数 1 = + 经过点 ( 1,1))和点 (3,3)，
∴ + = 13 + = 3．
= 1
解得： 2．
= 32
∴ = 11 2 +
3
2；
(2)①如图，当 = 2， = 4 时，
( , 6 ) ( + 4, 6设点 的坐标为 则点 的坐标为 2)．
∴ ( + 4)( 6 2) = 6．
解得： 1 = 2， 2 = 6(不合题意，舍去)．
∴点 的坐标为(2,3)，点 的坐标为(6,1)．
∵矩形 的两条边的长分别为 2 和 4，
∴点 的坐标为(2,1)，点 的坐标为(6,3)，
∴矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为(2,1)；
②如图当 = 4， = 2 时，
设点 的坐标为( , 6 )
6
则点 的坐标为( + 2, 4)．
∴ ( + 2)( 6 4) = 6．
解得： 1 = 1， 2 = 3(不合题意，舍去)．
∴点 的坐标为(1,6)，点 的坐标为(3,2)．
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∵矩形 的两条边的长分别为 2 和 4，
∴点 的坐标为(1,2)，点 的坐标为(3,6)，
∴矩形距原点最近的顶点坐标 的坐标为(1,2)；
综上，矩形距原点最近的顶点坐标为(2,1)或(1,2)．
(3)① ∵ (1, 3)， ( 3,5)，且 / / 轴，
∴ (1,5)， ( 3, 3)，
将 和 代入 3 = 2 + + 得，
+ + = 5
9 3 + = 3，
= 2 + 2
解得 = 3 3 ，
∴ 3 = 2 + 2( + 1) + 3 3
∴顶点坐标为( +1 , 4
2+ 1
)，
当 > 0 时，如图，
+1 ≤ 3
此时 4 2+ 1 ，
≤ 3
1
解得 0 < ≤ 2；
当 < 0 时，如图，
+1 ≥ 1
此时 4 2+ 1 ，
≥ 5
1解得 2 ≤ < 0，
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综上， 1的取值范围为 0 < ≤ 2或
1
2 ≤ < 0．
②由①知 = 2 + 2( + 1) + 3 3 = ( + +1
2
3 ) +
4 + 1，

∵ > 0，
∴ +1 < 1 2 ，
1 1
当 = 2 1 2 时， 最小= ( 2 ) + 2( + 1) 2 + 3 3 ，
= 3 1 = ( 3 1当 时， 最大 )2 2 2 + 2( + 1)
3 1
2 + 3 3 ，
∵ 的最大值和最小值的差是 3，
∴ ( 3 1 2 3 12 ) + 2( + 1) 2 + 3 3 [ (
1 2
2 ) + 2( + 1)
1
2 + 3 3 ] = 3，
解得 = 12．
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