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2025 年广东省广州市华南师大附中中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.2025 的绝对值是( )
A. 2025 B. 2025 C. 12025 D.
1
2025
2.下列几何体中，主视图是( )
A. B.
C. D.
3.如图，点 ， 在数轴上表示的数互为相反数，且 = 4，那么点 表示的数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 3
4.下列计算中，正确的是( )
A. 4 + 2 = 6 B. 6 ÷ 3 = 2
C. ( 2 2 )3 = 6 6 3 D. 2 + 3 =
5.某校篮球队 13 名同学的身高如下表：
身高( ) 175 180 182 185 188
人数(个) 1 5 4 2 1
则该校篮球队 13 名同学身高的众数和中位数分别是( )
A. 182，180 B. 180，180 C. 180，182 D. 188，182
6.如图，在 △ 中，∠ = 90°，∠ 的平分线交 于 ， 是 的垂直平分线，垂足为 .若 = 1，
则 的长为( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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7.如图，点 ， 分别是⊙ 的内接△ 的 、 边上的中点，若 = 1，∠ = 45°，则劣弧 的长等
于( )
A. 3
B. 2
C.
D. 22
8.关于 的方程 2 4 + = 0 有两个相等的实数根.在△ 中 = 3， = 5， = ，则 边上的中
线长为( )
A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3
9 2.已知点 、 分别在反比例函数 = ( > 0)， =
8
( > 0)

的图象上，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. 2
B. 12
C. 3
D. 3
10.二次函数 = 2 2 + 2 2 在 3 ≤ ≤ 2 的范围内有最小值 5，则 的值为( )
A. 3 或 1 B. 1 C. 3 或 1 D. 3
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。
11 1.如果分式 2有意义，那么实数 的取值范围是______．
12.如图，点 的坐标是(0,3)，将△ 沿 轴向右平移至△ ，点 的对应点
恰好落在直线 = 2 3 上，则点 移动的距离是______．
13.已知△ 中，∠ = 90°， = 5， = 4，则△ 内切圆半径为______．
14.某校数学兴趣小组开展“利用影子测量物体的高度”的活动：如图，直立
于地面上的电线杆 ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 ， ，
测得 = 5 米， = 4 米，∠ = 150°，在 处测得电线杆顶端 的仰角
为 45°，则电线杆 的高度约为______米. (结果保留根号)
15.《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小.以锯锯之，深一
寸，锯道长一尺.问径几何？转化为数学语言：如图， 为⊙ 的半径，弦 ⊥ ，
垂足为 ， = 1 寸， = 1 尺(1 尺= 10 寸)，则此圆材的直径长是______寸.
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16.如图，在矩形 中， = 10， = 12，点 是 边上的中点，点 是 边上的一动点连接 ，
将△ 沿 折叠，若点 的对应点 ′，连接 ′ ，则 ′ 的最小值为______，当△ ′ 为直角三角
形时， 的长为______．
三、解答题：本题共 9 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 4 分)
2 > 1
解不等式组： + 2 < 4 1．
18.(本小题 4 分)
如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上， 与 相交于点 ，且 = .求证： = ．
19.(本小题 6 分)
2+ ( + )( )
已知 = ．
(1)化简 ；
(2) 12若在平面直角坐标系中，点 ( , )为反比例函数 = 上一点，且 = 5，求 的值．
20.(本小题 8 分)
某中学九(1)班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排
球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两
幅不完整的统计图(如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类)，请你根据图中提供的信息解
答下列问题：
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(1)九(1)班的学生人数为______，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中 =______， =______，表示“足球”的扇形的圆心角是______度；
(3)排球兴趣小组 4 名学生中有 3 男 1 女，现在打算从中随机选出 2 名学生参加学校的排球队，请用列表或
画树状图的方法求选出的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率．
21.(本小题 8 分)
如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 ( 5,0)，点 的横坐标为 2，反比例函数 = 2 ( > 0)
的图象经过点 ．
(1)求 的值；
(2)过点 作 2的平行线交反比例函数 = ( > 0)的图象于点 ，求点 的坐标．
22.(本小题 10 分)
大学生小敏、小晨参加暑期实习活动，与公司约定一个月(30 天)的报酬是 型平板电脑一台和 1500 元现金，
当小敏工作满 20 天后因故结束实习，结算工资(按平均每天的报酬，实际工作天数计算)时公司给了她一台
该型平板电脑和 300 元现金．
(1)这台 型平板电脑价值多少元？
(2)为吸引、留住人才，公司规定实习期满一个月(30 天)之后平均每天所获得的报酬(折成现金后)在实习期
的基础上上涨 20%，若小晨欲获得不少于 6480 元的报酬，则至少在该公司实习多少天？
23.(本小题 10 分)
数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点 作⊙ 的一条切线．
甲同学的方法是：连接 ，作 的垂直平分线 ，交 于点 ，以 为圆心， 为半径画个圆，交⊙ 于
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点 ，连接 ， 即为⊙ 切线；
乙同学的方法是：连接 交⊙ 于点 ，延长 交⊙ 于点 ，以 点为圆心， 长为半径画弧，以 为圆
心， 长为半径，画弧，两弧交于点 ，连接 交⊙ 于点 ，连接 ， 即为⊙ 切线；
(1)甲同学作图的依据是：______；
(2)请在图①中，用乙同学的方法作出图形，并证明 为⊙ 切线；
(3)请在图②中，用不同于甲，乙同学的方法，尺规作图：作⊙ 的切线 . (保留作图痕迹)，简单说明作法
不需证明．
24.(本小题 10 分)
已知抛物线 ： = 2 6 + 9 4 与 轴交于点 ， ，顶点为 ．
(1)求 的取值范围及顶点 的坐标；
(2)若△ 的面积为 8，
5
①当 0 ≤ ≤ 时，抛物线 与直线 ： = 3 + ( ≤ 5)能有两个公共点，求 的取值范围；
②点 为 轴上一点，当∠ 最大时，求此时 sin∠ 的值．
25.(本小题 12 分)
如图，矩形 中， = 6， = 4，点 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 的垂线交 于点 ，
以 为斜边作等腰直角三角形 (点 在 上方)．
(1)若 = 1，求 的长；
(2)当点 从点 运动到点 的过程中，△ 的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到 边的距离的最大值．
(3)当点 从点 运动到点 时，点 也随之运动，
①四边形 的面积 是线段 的长 的函数吗？如果是求出函数解析式，如果不是说明理由；
②求点 经过的路径长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≠ 2
12.3
13.1.
14.(7 + 2 3)
15.26
16.8 5 10或 3
17. 2 > 1 ①解： ，
+ 2 < 4 1 ②
1
解①得： > 3，
解②得： > 1．
则不等式组的解集是： > 1．
18.
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19.
20.解：(1)九(1)班的学生人数为：12 ÷ 30% = 40(人)，
喜欢足球的人数为：40 4 12 16 = 40 32 = 8(人)，
补全统计图如图所示；
(2) ∵ 440 × 100% = 10%，
8
40 × 100% = 20%，
∴ = 10， = 20，
表示“足球”的扇形的圆心角是 20% × 360° = 72°；
故答案为：(1)40；(2)10，20，72；
(3)根据题意画出树状图如下：
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一共有 12 种情况，恰好是 1 男 1 女的情况有 6 种，
∴ (恰好是 1 男 1 女) = 6 112 = 2．
21.解：(1)作 ⊥ 于 ，
∵点 ( 5,0)，
∴ = 5，
∵四边形 是菱形，
∴ // ， // ， = = = 5，∠∠ = ∠ ，
∵点 的横坐标为 2，
∴ ( 2,0)，
∴ = 2，
∴ = 5 2 = 3，
∴ = 2 2 = 4，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ = 90°，
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = = 3， = = 4，
∴ (3,4)，
∵ 2反比例函数 = ( > 0)的图象经过点 ，
∴ 2 = 3 × 4 = 12，
∴ = 14；
(2)设直线 的解析式为 = + ，
∵ ( 5,0)， (3,4)，
1
∴ 5 + = 0
= 2
3 + = 4 ，解得 ， = 52
∴直线 的解析式为 = 12 +
5
2，
∵ / / ，
∴ 1直线 为 = 2 ，
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= 12 = 2 6 = 2 6由 12 ，解得 或 ， = = 6 = 6
∴点 的坐标为(2 6, 6).
22.
23.
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24.
第 10页，共 13页
25.
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