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2025年北京理工大学附中中考数学零模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，直线，相交于点，，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
3.实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.一个不透明的口袋中有个红球和个白球，这三个球除颜色外完全相同摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是( )
A. B. C. D.
6.党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出达二万八千亿元，居世界第二位“二万八千亿”用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
7.已知，点为射线上一固定点，按以下步骤作图：
分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点，；
作直线交射线于点，连接；
以为圆心，长为半径画弧，交射线于点．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是( )
A. B. ∽
C. D.
8.如图，在菱形中，，点和点分别在边和上运动不与、、重合，满足，连结、交于点，在运动过程中，则下列四个结论正确的是( )
；的度数不变；；．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.分解因式：
10.方程的解为______．
11.某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级名学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的名学生的读书册数进行调查，结果如表：
册数册
人数人
根据统计表中的数据估计八年级四月份读书册数不少于本的人数约有______人
12.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，随的增大而减小，则点在第______象限．
13.如图，为的直径，，为上的点，弧弧若，则的度数为______．
14.如图，在正方形网格中，，，，是网格线交点，与相交于点，小正方形的边长为，则的长为______．
15.如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若点到的距离为，则 ______．
16.某市为进一步加快文明城市的建设，园林局尝试种植、两种树种经过试种后发现，种植种树苗棵，种下后成活了棵，种植种树苗棵，种下后成活了棵第一阶段两种树苗共种植了棵，且两种树苗的成活棵树相同，则种植种树苗______棵第二阶段，该园林局又种植种树苗棵，种树苗棵，若，在第一阶段的基础上进行统计，则这两个阶段种植种树苗成活棵数______种植种树苗成活棵数填“”“”或“”．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
解不等式组：．
20.本小题分
如图，在四边形中，，，点在上，，平分．
求证：四边形为菱形；
连接，交于点，若，，求的长．
21.本小题分
某校在商场购进、两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了元，购买品牌篮球花费了元，且购买品牌篮球的数量是购买品牌篮球数量的倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花元．
问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？
该校决定再次购进、两种品牌篮球共个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了，品牌篮球按第一次购买时售价的折出售，如果该校此次购买、两种品牌篮球的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？
22.本小题分
月日是中国航天日，某校初中部举办了“航天知识”竞赛，每个年级各随机抽取名学生统计这部分学生的竞赛成绩，并对成绩进行了收集、整理，分析下面给出了部分信息．
初一、初二年级学生得分的折线图
初三年级学生得分：，，，，，，，，，．
初一、初二、初三，三个年级学生得分的平均数和中位数如下：
年级 初一 初二 初三
平均数
中位数
根据以上信息，回答下列问题：
由折线图可知，初一、初二两个年级学生“航天知识”竞赛，成绩更稳定的是______填“初一”或“初二”；
统计表中 ______， ______；
由于数据统计出现失误，初三年级所调查的名学生中有一名学生被记录为分，实际得分为分，将数据修正后，初三年级所调查的名学生中以下统计数据发生变化的：______写出符合题意的序号．
平均数；中位数；众数；方差．
23.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与函数的图象交于点．
求的值和函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围．
24.本小题分
如图，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．
求证：；
若，，求的长．
25.本小题分
小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线如图和图分别建立平面直角坐标系．
通过测量得到球距离台面高度单位：与球距离发球器出口的水平距离单位：的相关数据，如表所示：
表直发式
表间发式
根据以上信息，回答问题：
表格中 ______， ______；
直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；
若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则 ______填“””或“”．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线是常数．
求该抛物线的顶点坐标用含代数式表示；
如果点，都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，点是线段上一个动点不与点，重合，，以为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
依题意补全图形；
求的大小用含的代数式表示；
用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
28.本小题分
对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，，，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”例如，图中的点是线段的一个“关联点”特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．
在平面直角坐标系中，点的坐标为．
如图，在点，，，中，是线段的“关联点”的是______；
点在直线上存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”．
直接写出点的坐标；
动点在第四象限且，记若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.一
13.
14.
15.
16.
17.解：原式
．
18.解：由于
原式

19.解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．
20.证明：，，
，，
四边形为平行四边形，
平分，
，
，
，
平行四边形为菱形；
解：四边形为菱形，，
，，，
在中，，
，
，
，
，
．
21.解：设购买一个品牌的篮球需元，则购买一个品牌的篮球需元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则．
答：购买一个品牌的篮球需元，购买一个品牌的篮球需元．
设该校此次可购买个品牌篮球，则购进品牌篮球个，
由题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买个品牌篮球．
22.解：由折线图可知，初一学生得分的波动比初二的小，所以成绩更稳定的是初一．
故答案为：初一；
由题意得，，
把初三年级学生得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数，
故答案为：，；
将其中的数据改为，则平均数、中位数和方差改变，众数不变．
故答案为：．
23.解：把代入数得：，
把，代入得：
，
解得，
；
在中，令时，，
函数图象过，
如图：
由图可得，的取值范围是且．
24.证明：，
，
，
，
，
；
解：如图，连接，过点作于点，
，
由知，，
，
，
为的直径，为的切线，切点为，
，
，
，
，
，
在中，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
25.解：由抛物线的对称性及已知表中的数据可知：；
在“间发式“模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
设这条直线的解析式为，把、代入，得，
解得：，
这条直线的解析式为，
当时，，
表格中，；
故答案为：，；
；理由如下：
由已知表中的数据及抛物线的对称性可知：“直发式“模式下，抛物线的顶点为，
设此抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：，
“直发式“模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为；
当时，，
解得：舍去，，
“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为；“间发式“模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由已知表中的数据及抛物线的对称性可知：“间发式“模式下，这条抛物线的顶点坐标为，
设这条抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得：，
这条抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，，
，
，
故答案为：．
26.解：，
抛物线顶点坐标为．
抛物线顶点在第四象限，
，
解得，
抛物线开口向下，
时，随增大而减小，
点，在对称轴右侧时，满足题意，即，
当点在对称轴左侧时，设点关于对称轴对称点坐标为，
点在右侧时，满足题意，即，
解得，
，
，
．
27.解：补全图形如下：
，，
，
，
，
；
，证明如下：
如图，过点作，交于点，交的延长线于点，
则，
，
即，
，
，
，
由旋转的性质得：，
≌，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
．
28.解：，
的垂直平分线为，，
不是“关联点”，
，，，
，，，
，
，是线段的“关联点”，
故答案为：，；
由知，在直线上，
是线段的“强关联点”，
，
在直线上，
，
，
或舍去，由知，不符合题意，
在直线上，
，
，
设，
，
解得：或舍去，与重合，
；
动点在第四象限且，
在以为圆心，半径为的圆上，如图：
以为圆心，以为半径作，交轴于，连接，连接并延长交于，取中点，作交于点，过作，交于，，
由知，，，
为等边三角形，
，
，
，
，
也在的垂直平分线上，
为的垂直平分线，
，
，
，
，
当点在上时，即，
，
点是线段的“关联点”，
，，，
，
当点和点重合时，即，
，
此时，
点不存在；
当点在上时，即，
，
，
，
，
，
当在上时，即，
，
，
，
，
，
，
综上所述，或或，．

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