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2024-2025 学年山东省青岛第二中学高一下学期 3 月阶段练习
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知角 的终边过点 2, 3 ，则 sin2 =( )
A. 3 B. 3 C. 4 42 2 7 3 D. 7 3
2.若 1, 2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. 1 2 2, 2 2 1 B. 2 1 + 3 2, 3 1 + 2 2
C. 2 2 + 3 1, 6 1 + 4 2 D. 1 2 ,
1
2 2 2 1
3.已知向量 , 满足 = 4, = 2, = 4，则 在 方向上的投影向量是( )

A. 8 B. 4 C. 4 D. 2
4 8 1+sin +cos .已知 sin = 17 , ∈ 0, 2 ，则 =( )sin 2+cos

2
A. 8 17 B. 4 17 2 1717 17 C. 17 D.
17
17

5.已知 ∈ ，函数 = , ≤ 0, ln + 1 , > 0在 上没有零点，则实数 的取值范围( )
A. 0, + ∞ B. 1, + ∞ C. 1, + ∞ ∪ 0 D. 1, + ∞ ∪ 0
6.已知向量 , 满足 = 12 ,
3 , 2 = 3, +
= 7，则向量 , 的夹角为( )
A. 6 B.

3 C.
2 D. 5 3 6
7 1.将函数 = sin 的图象先向右平移3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 ( > 0)倍，
3
纵坐标不变，得到函数 的图象，若函数 在 2 , 2 上没有零点，则 的取值范围是( )
A. 0, 2 ∪ 29 3 ,
8 8 2 8
9 B. 0, 9 C. 0, 9 ∪ 9 , 1 D. 0,1
8.如图，在 中，已知 = 2， = 3，∠ = 120 ， ， 分别是 ， 边上的点，且 = ， = ，
且 2 + = 1，若线段 ， 的中点分别为 ， ，则| |的最小值为( )
A. 7 3 39 21 4 132 B. 26 C. 14 D. 13
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 = sin + 3cos > 0 的最小正周期为 ，则( )
A. 的最大值为 2
B. 在 3 , 12 上单调递增
C. 点 3 , 0 是 的图象的对称中心
D. 的图象可由 = 2cos2 的图象向右平移12个单位得到
10 .在 中， = 2， = = 2，则下列结论中正确的是( )
A.若 是 的重心，则 + =
B.若 是 内的一点，满足 3 + + 4 = 0，则 = 8
C.若 、 3为 边上的两个动点，且 = 2；则 的最小值为2
D.若 是 内部(含边界)一点，若 = 1，且 = + ，则 + 的最大值是 1
11 .函数 定义域为 ，满足 ∈ , + 3 = 2 ，且当 ∈ 0,3 时， = sin 2 + 6 ，则下列说法
正确的是( )
A. 与 = 有无数个交点
B.在区间 , + 9 上， 总有三个零点
C. ∈ ∞,2 , 2 + 1 ≥ 0 恒成立
D. + 2 + = 0 的解集为 3 ≤ < 3 + 1, ∈
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 4 .已知 sin 3 = 5，则 cos 3 + 2 = ．
13.在 中， = 2 3
， 为线段 上一点，且 = + , , ∈ 0, + ∞ 1 3，则 + 的最小值为 ．
14.已知正六边形 边长为 6，点 满足 = 12，当 + + 取最小值时，则
= ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 18 分)
已知向量 = (3,2), = ( , 1)．
(1)当( + 2 ) ⊥ (2 )且 > 0 时，求 ；
(2)当 = ( 8, 1), //( + )，求向量 与 的夹角 ．
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16.(本小题 18 分)
已知向量 = cos , cos , = 3sin , cos ，函数 = + 1．
(1)求函数 的最小正周期及函数 图象的对称轴；
(2) = 3 < < sin 2 + 当 10，且 6 3时，求 6 的值．
17.(本小题 18 分)
经研究表明，同一地区在一天内的温度 (单位：℃)随时间 (单位： )变化的曲线接近于函数 = sin +
+ > 0, > 0, < , ∈ 0, 24 的函数图象.根据历年气象台测量数据显示预测 2025 年 7 月下旬
某市区一天内的最高温度出现在 14: 00，最高温度为 30℃；最低温度出现在 02: 00，最低温度为 22℃．
(1)根据以上信息，求出该市区一天内的气温与时间的函数关系式；
(2)7 月 22 日—7 月 23 日，某家居公司将举办家居博览会，展出时间为每天上午 7: 40 12: 00，下午
14: 30 17: 00，晚上 19: 00 20: 15.根据公司规定当气温大于或等于 26℃时，会场内需开启空调制冷以保
证产品质量.在此条件下，博览会期间会场内的空调每天需要开启多长时间？
18.(本小题 23 分)
已知 1, 2, , 是单位向量，记 = 1 +1 = 1, 2, , ，其中 0 = , +1 = 1, = 1 +
2 + . . . + ．
(1)当 = 6, = cos 6 , sin

6 = 1, 2, , 6 时，计算 6；
(2)证明：对于 ≥ 2，均存在 1, 2, , ，使得 = 0；
(3)当 = 4 ∈ 时，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 725
13.16
14. 91
15.(1)因为向量 = 3,2 , = , 1 .
则 + 2 = 3 + 2 , 0 ，2 = 6 , 5 ，
又因为 + 2 ⊥ 2 ，则 + 2 2 = 0，
可得(3 + 2 )(6 ) + 0 × 5 = 0 3，解得 = 6 或 = 2，
且 > 0，则 = 6，则 = 6, 1 ， = 3,3 ，
所以 = 3 2 + 32 = 3 2．
(2)由 = 8, 1 , = , 1 , = 3,2 ，则 + = 8, 2 ，
由 // + ，可得 3 × ( 2) 2 × ( 8) = 0，解得 = 5，即 = 5, 1 ，
可得 = 13， = 26， = 3 × 5 + 2 × 1 = 13，
cos =

则 = 13 = 2，
13× 26 2
且 ∈ 0, ，所以向量 与 的夹角 = 4．
16.(1)因为 = cos , cos , = 3sin , cos ，
所以 = 3sin cos 2 = 32 sin2
1 1
2 cos2 2
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= sin 2 1 16 2，所以 = sin 2 6 + 2．

最小正周期为 ，令 2 6 = + 2 , ∈ ，得 = 2 + 3 , ∈ ，
即 图象的对称轴为 = 2 + 3 , ∈ ．
(2)由 = 310得 sin 2

6 =
4
5，
< < 因为 6 3，所以 2

6 ∈ 2 ,

2 ，所以 cos 2 6 = 1
2 2 36 = 5；
1 3
sin 2 + 6 = sin 2 6 + 3 = 2 sin 2 6 + 2 cos 2 6
= 1 × 4 3 3 3 3 42 5 + 2 × 5 = 10 ．
17.(1) 30 22振幅 ：最高与最低温差的一半，即 = 2 = 4．
= 30+22平均值 ：最高与最低温度的平均值，即 2 = 26．
2
角频率 ：周期为 24 小时，故 = 24 = 12．
相位 ：最高温度出现在 = 14，代入最大值条件
sin 12 14 + = 1，结合 <

得12 14 + =
2
2 = 3．
2
最终函数为： = 4sin 12 3 + 26;
(2)温度 ≥ 26时需开启空调．
由函数可知，当
sin 2 12 3 ≥ 0 ∈ [8,20]．
∈ [0,24)
分析各展出时段与高温时段的交集：
上午 7: 40–12: 00：有效时间为 8: 00–12: 00，共 4 小时．
下午 14: 30–17: 00：完全在高温时段内，共 2.5 小时．
晚上 19: 00–20: 15：有效时间为 19: 00–20: 00，共 1 小时．
总开启时间：4 + 2.5 + 1 = 7.5 小时．
18.(1)因为 = cos

6 , sin 6 ，所以 , +1 = 1,2, , 5

间的夹角为6，
所以
3
+1 = 2 ，
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由题意 = 30 6 = 1,0 , 7 = 1 = 2 ,
1
2 ，所以 1 = 0 1 1 2 = 3，
6 = 5 6 6 7 = 3； 2 = 3 = 4 = 5 = 0，
所以 6 = 1 + 2 + + 6 = 2 3．
(2)证明：在单位圆上构造 个单位向量 1, 2, , ，
使得每两个相邻向量之间的夹角均相同，
此时 0 = , +1 = 1，所以 = 0，所以 = 0．
(3)因为 , +1为单位向量，所以 +1 ∈ 1,1 ，所以 的最大值为 2；
构造单位向量序列， 4 3 = , 4 2 = , 4 1 = , 4 = ,其中 = 1,2, , ，
0 = 4 = , 4 +1 = 1 = ，
4 3 = 4 4 =
2 + 24 3 4 3 4 2 = 2， 4 2 = 4 3 4 2 4 2 4 1 =
2 2 = 2，
4 1 = 4 2 4 1
2 2
4 1 4 = + = 2，
4 =
2 2
4 1 4 4 4 +1 = = 2，
四组 为一个周期，其和为 8，
所以 max = 1 + 2 + + 4 = 8 = 2 ．
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