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2.3 平行线的性质复习题
题型一 利用平行线的性质求角的度数
解题技巧提炼 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.
1．如图，AB∥CD，若∠1＝140°，则∠C的度数是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
2．如图，BC⊥AE，垂足为C，CD∥AB，∠A＝50°，则∠BCD的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
3．如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（　　）
A．70° B．110° C．140° D．150°
4．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝135°，则∠D的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（　　）
A．200° B．210° C．220° D．230°
6．如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（　　）
A．10° B．15° C．20° D．35°
7．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为　 　．
8．如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．
9．如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．
10．如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．
（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；
（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；
（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．
题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直
解题技巧提炼 准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
1．已知：如图，EF⊥BC，AB∥DG，∠1＝∠2．求证：AD⊥BC．
2．已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．
3．已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．
4．如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．
5．如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．
题型三 利用平行线的性质解决实际问题
解题技巧提炼 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.
1．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　）
A．58° B．48° C．26° D．32°
2．太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（　　）
A．88° B．89° C．90° D．91°
3．某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（　　）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°
C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°
D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°
4．如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？
5．如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝　　 ．
6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是　 　千米．
7．如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝　　 ．
8．图1是一打孔器的实物图，图2是使用打孔器的侧面示意图，AD∥BC，使用打孔器时，AD，DE，DC分别移动到AD′，D′E′，D′C．此时D′E′∥BC，DD′平分∠ADC，若∠DD′E′＝62°，则∠DCB＝ 　 °．
9．共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中AB∥ED，∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，则∠BCD的度数为 　 °．
10．如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
题型四 借助三角尺求角的度数
解题技巧提炼 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.
1．一块直角三角板和直尺按如图方式放置，已知∠1＝53°，则∠2的度数为（　　）
A．37° B．47° C．117° D．127°
2．如图，直线m∥n，一把含30°角的直角三角尺按所示位置摆放，若∠1＝30°，则∠2的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
3．把一块含有45°角的三角尺与两条长边平行的直尺按如图所示方式放置（直角顶点在直尺的一条边上）．若∠2＝25°，则∠1＝（　　）
A．50° B．60° C．70° D．65°
4．如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2+∠3＝90° C．∠3+∠4＝180° D．∠1+∠2＝90°
5．如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为 　 　度．
7．如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝　 　．
8．如图，一副三角尺按如图方式摆放．若直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．
9．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为 　 　．
10．如图，已知∠ABC．画直线DE∥BC，DE与AB相交于点O．现将一个直角三角尺的直角顶点落在点O处，顶点M、N落在DE同侧，并使OM平分∠AOD．
（1）当∠ABC＝54°时，求∠AOM的度数；
（2）画∠ABC的平分线BF，那么ON与BF有怎样的位置关系？为什么？
题型五 利用平行线的性质解决折叠问题
解题技巧提炼 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.
1．如图，将长方形ABCD沿EF折叠后，ED与BF交于G点，若∠EFG＝50°，则∠BGE的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　）
A．77° B．64° C．26° D．87°
3．已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（　　）
A.∠1+∠2＝135° B．∠2﹣∠1＝15°
C．∠1+∠2＝90° D．2∠2﹣∠1＝90°
4．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，若∠1＝70°，则∠2＝ 　 　°．
5．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为 　 　．
6．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　　 ．
7．如图①是长方形纸带，∠CFE＝55°，将纸带沿EF折叠成图②，再沿GE折叠成图③，则图③中∠DEF的度数是 　 　．
8．如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为 　 　．
题型六 平行线的性质与判定的综合应用
解题技巧提炼 平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.
1．如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：
①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；
②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；
③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；
④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（　　）
A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（　　）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2＝180°+∠3
C．∠1+∠3＝180°+∠2 D．∠2+∠3＝180°+∠1
4．已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，CD与EF相交于点H，且∠BDC＝∠DHE，∠DEF＝∠B．求证：DE∥BC．
5．如图，已知点A在射线BG上，∠1+∠3＝180°，∠1＝∠2，∠EAB＝∠BCD，说明EF与CD平行的理由．
6．如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；
（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．
7．如图，AB∥CD，连接CA交延长至点H，CF平分∠ACD，CE⊥CF，∠GAH与∠AFC互余．
（1）试判断AG与CE的位置关系，并说明理由．
（2）若∠GAF＝110°，求∠AFC的度数．
8．如图（1），直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，EP延长线与CD交于点G，点H是MN上一点，且PF∥GH，试判断直线GH与EG的位置关系，并说明理由；
（3）如图（3），点P为AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分∠PEF和∠CFN，求∠AEP与∠EQF之间的数量关系．
9．
（1）如图①，若AB∥CD，易证∠B+∠D＝∠E．不必证明．
（2）反之，在图①中，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请说明理由．
（3）若将点E移至图②的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请说明理由．
（4）在图③中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？（直接写出结论即可）
（5）如图④，AB∥EF，直接写出∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　．
答案
题型一 利用平行线的性质求角的度数
解题技巧提炼 两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.
1．
【分析】先利用平角定义可得：∠2＝40°，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1＝140°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠C＝40°，
故选：A．
2．
【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝50°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠BCD＝∠B＝40°．
故选：A．
3．
【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，
∴∠5＝180°﹣140°＝40°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝70°，
∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，
∴∠4＝∠2+∠5＝110°．
故选：B．
4．
【分析】由平行线的性质推出∠B+∠D＝180°，而∠B＝135°，即可求出∠D的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵BC∥DE，
∴∠C＝∠D，
∴∠B+∠D＝180°，
∵∠B＝135°，
∴∠D＝45°．
故选：B．
5．
【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．
【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠2+∠BOE＝180°，
∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，
∵O在EF上，
∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，
∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，
故选：D．
6．
【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．
【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，
∴∠BCF＝∠ABC＝70°，
又∵DE∥CF，
∴∠DCF+∠CDE＝180°，
∴∠DCF＝50°，
∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．
故选：C．
7．
【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；
②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．
【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
又∵∠1＝40°，
∴∠2＝40°；
②若∠1与∠2位置如图2所示：
∵AB∥DE，
∴∠1＝∠3，
又∵DC∥EF，
∴∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠1＝180°，
又∵∠1＝40°
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，
综合所述：∠2的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
8．解：∵CD平分∠ACM，
∴∠ACM＝2∠DCM．
∵∠DCM＝60°，
∴∠ACM＝120°．
∵直线AB与OM交于点C，
∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），
∵AB∥ON，
∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠O＝60°．
9．解：∵DB∥FG∥EC，
∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，
∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，
∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，
∴∠DAC＝96°，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝48°，
∴∠PAG＝12°．
10．解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，
∴∠PDB＝∠AOB＝45°；
（2）∵CE∥OB，
∴∠CPD＝∠PDB，
∵DF∥OA，
∴∠PDB＝∠AOB，
∴∠AOB＝∠CPD，
∵∠CPD＝45°，
∴∠AOB＝45°；
（3）相等，理由如下：
∵CE∥OB，DF∥OA，
∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，
∵∠AOB＝∠CPD，
∴∠OCP＝∠ODP．
题型二 利用平行线的性质说明两直线垂直
解题技巧提炼 准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.
1．证明：∵AB∥DG，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥AD，
∵EF⊥BC，
∴AD⊥BC．
2．证明：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴DA⊥AB．
3．证明：FH⊥AB（已知），
∴∠BHF＝90°．
∵∠1＝∠ACB（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠BCD（等量代换），
∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），
∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）
∴CD⊥AB．
4．解：过E作EF∥AD，交CD于F，
则∠ADE＝∠DEF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADE，
∴∠1＝∠DEF，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DEF+∠FEC＝90°，
∴∠2＝∠FEC，
∵CE平分∠DCB，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠FEC＝∠BCE，
∴BC∥EF，
∴BC∥AD，
∵DA⊥AB，
∴BC⊥AB．
5．证明：∵AD∥BE，
∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝∠D，
∴∠B＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠CGF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE∠BAD，
∴∠CGF∠BAD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠FCG∠DCE，
∴∠FCG∠B，
∴∠CGF+∠FCG（∠BAD+∠B）180°＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，
∴CF⊥AE．
题型三 利用平行线的性质解决实际问题
解题技巧提炼 给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.
1．
【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠CGF+∠AFG＝180°，
∵∠2+∠1+∠AFG＝180°，
∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°．
故选：A．
2．
【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．
【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，
∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，
∵∠BOC＝133°，
∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，
∴∠OCD＝∠POC＝89°．
故选：B．
3．
【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．
【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，
故选：D．
4．解：
∵AB∥CD（已知），
∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知），
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4 （等量代换），
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），
即：∠5＝∠6 （等量代换），
∴l∥m．
5．
【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，
∴∠BOD＝∠ODC＝32°．
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝90°+32°＝122°．
∵OE∥DM，
∠ANM＝∠EOB＝122°．
故答案为：122°．
6．
【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．
【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，
∴AB⊥BC，
∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，
故答案为：8．
7．
【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．
【解答】解：由题意得：DE∥AB，
∴∠ABD＝∠EDC＝50°，
∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，
∴∠DCE＝70°，
∴∠ACB＝∠DCE＝70°，
故答案为：70°．
8．
【分析】根据平行于同一条直线的两条直线平行可得：AD∥D′E′，然后利用平行线的性质可得∠ADD′＝∠DD′E′＝62°，再利用角平分线的定义可得∠ADC＝124°，最后利用平行线的性质进行计算即可解答．
【解答】解：∵D′E′∥BC，AD∥BC，
∴AD∥D′E′，
∴∠ADD′＝∠DD′E′＝62°，
∵DD′平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADD′＝124°，
∵AD∥BC，
∴∠DCB＝180°﹣∠ADC＝56°，
故答案为：56．
9．
【分析】根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【解答】解：过点C作CM∥AB，
∵AB∥ED，
∴AB∥CM∥ED，
∴∠ABC+∠BCM＝180°，∠EDC+∠DCM＝180°，
∵∠ABC＝115°，∠EDC＝135°，
∴∠BCM＝65°，∠DCM＝45°，
∴∠BCD＝∠BCM+∠DCM＝110°，
故答案为：110．
10．解：AB∥CD．
理由：∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD．
题型四 借助三角尺求角的度数
解题技巧提炼 借助三角尺求角的度数主要是利用三角尺的特征，结合平行线的性质一般解决求角的度数问题.
1．
【分析】通过平角，直角的应用，即可计算出∠2的度数．
【解答】解：如图，∠CAB＝90°，
∵∠1＝53°，
∴∠2＝180﹣∠CAB﹣∠1＝180°﹣90°﹣53°＝37°．
故选：A．
2．
【分析】根据已知易得：∠DCB＝120°，然后利用平行线的性质可得∠ABC＝60°，从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1＝30°，∠4＝90°，
∴∠DCB＝∠1+∠4＝120°，
∵直线m∥n，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCD＝60°，
∵∠3＝30°，
∴∠2＝∠ABC﹣∠3＝30°，
故选：C．
3．°
【分析】先利用三角形的外角性质可得∠3＝70°，然后利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝70°，即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠3是△CEF的一个外角，
∴∠3＝∠2+∠F＝25°+45°＝70°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝70°，
故选：C．
4．
【分析】根据平行线的性质定理求解．
【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，
∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；
∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；
由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；
∵两直线平行，同旁内角互补，
∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；
故选：D．
5．
【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD的度数．
【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，
∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．
∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠AEF＝65°，
∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．
故选：B．
6．
【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．
【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，
∵FD∥BC，
∴∠BDF＝∠ABC＝60°，
∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．
故答案为：15．
7．
【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．
【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，
∵∠2＝98°，
∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，
∵m∥n，
∴∠1＝∠4＝52°．
故答案为：52°．
8．
【分析】根据已知易得：∠ABD＝80°，然后利用平行线的性质可得∠4＝∠ABD＝80°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠1＝50°，∠3＝30°，
∴∠ABD＝∠1+∠3＝80°，
∵a∥b，
∴∠4＝∠ABD＝80°，
∵∠CAB＝90°，
∴∠2＝∠CAB﹣∠4＝10°，
故答案为：10°．
9．
【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．
【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，
∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．
故答案为：105°．
10．解：（1）∵DE∥BC，∠ABC＝54°，
∴∠ABC＝∠AOE＝54°，
∵∠AOD+∠AOE＝180°，
∴∠AOD＝126°，
∵OM平分∠AOD，
∴∠AOM∠AOD＝63°；
（2）ON∥BF，理由如下：
过B点作∠ABC的平分线BF，
∵DE∥BC，
∴∠ABC+∠EOB＝180°，
∵∠EOB＝∠AOD，
∴∠ABC+∠AOD＝180°，
∵OM平分∠AOD，BF平分∠ABC，
∴∠AOD＝2∠AOM，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠AOM+2∠ABF＝180°，
∴∠AOM+∠ABF＝90°，
∵∠AOM+∠AON＝90°，
∴∠ABF＝∠AON，
∴ON∥BF．
题型五 利用平行线的性质解决折叠问题
解题技巧提炼 结合长方形的性质，对边是互相平行的，从而综合折叠的特征和平行线的性质求解即可.折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化.
1．
【分析】利用翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF；然后根据两直线平行，内错角相等，求得∠BGE＝∠DEG，∠DEF＝∠EFG；最后由等量代换求得∠BGE的度数．
【解答】解：根据翻折的性质，得∠DEF＝∠GEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG，∠BGE＝∠DEG＝2∠DEF，
∵∠EFG＝50°，
∴∠DEF＝50°，
∴∠BGE＝2∠DEF＝100°．
故选：A．
2．
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，
∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，
由折叠可得，∠α∠DEG154°＝77°，
故选：A．
3．
【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．
【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，
∴∠ED′G＝90°，
∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，
∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠1∠A′EA，∠2∠D′GD，
∴∠1+∠2＝135°，
故选：A．
4．
【分析】由平行线的性质推出∠ACF＝∠1＝70°，由折叠的性质得到∠ACB＝∠ACF＝70°，由平角定义即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ACF＝∠1＝70°，
由折叠的性质得到：∠ACB＝∠ACF＝70°，
∴∠2＝ 180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．
5．
【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．
【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．
∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．
∵图案是由一张等宽的纸条折成的，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
又∵纸条的长边平行，
∴∠ABC＝∠1＝20°，
∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．
故答案为：140°．
6．
【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．
【解答】解：如图，
∵a∥b，
∴∠2＝∠5，
由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，
∴∠4＝∠2，
∵∠1＝∠2+∠4＝110°，
∴∠2＝∠4＝55°，
故答案为：55°．
7．
【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠AEF＝∠CFE＝55°，根据平角定义，则图②中的∠DEG＝70°，进一步求得图③中∠GEF＝55°，进而求得图③中的∠DEF的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE＝55°，
∴∠AEF＝∠CFE＝55°，∠DEF＝125°，
∴图②中的∠GEF＝55°，∠DEG＝180°﹣2×55°＝70°，
∴图③中∠GEF＝55°，∠DEF＝70°﹣55°＝15°．
故答案为：15°
8．
【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．
【解答】解：如图，
设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，
①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，
∵∠BCD＝90°，
∴α+18°+2α+18°＝90°，
解得α＝18°，
∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；
②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，
∵∠BCD＝90°，
∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，
解得α＝42°，
∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；
综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，
故答案为：72°或48°．
题型六 平行线的性质与判定的综合应用
解题技巧提炼 平行线的判定和性质在解题中经常反复使用，见到角相等或互补就应该联想到能否判定两条直线平行，见到直线平行就应该联想到能否证明相关的角相等或互补.
1．
【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．
【解答】解：
①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；
②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；
③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；
④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．
故选：B．
2．
【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，
∴AD⊥EF，故①符合题意；
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠BCE，
∵EC⊥CF，
∴∠ECF＝90°，
∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，
∵∠EFC＝∠ACF，
∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CE平分∠ACB，故②符合题意；
∵EC⊥CF，要使AB∥CF，
则CE⊥AB，
∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，
∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，
故选：C．
3．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，
又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，
∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．
故选：D．
4．解：∵∠BDC＝∠DHE，
∴BD∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠EFC＝∠DEF，
∴DE∥BC．
5．解：∵∠1+∠3＝180°，
∴BG∥EF，
∵∠1＝∠2，
∴AE∥BC，
∴∠EAB+∠2＝180°，
∵∠EAB＝∠BCD，
∴∠BCD+∠2＝180°，
∴BG∥CD，
∴EF∥CD．
6．解：（1）DE∥AB；理由如下：
∵AB∥CF，∠ACF＝80°，
∴∠BAC＝∠ACF＝80°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，
∵∠ADE＝120°，
∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，
∴DE∥AB．
（2）DE∥AB，∠CED＝71°，
∴∠B＝∠CED＝71°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．
7．（1）AG∥CE，理由如下：
证明：∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∵CF平分∠ACD，
∴∠FCD＝∠ACF，
∴∠AFC＝∠ACF，
又∵CE⊥CF，∠GAH与∠AFC互余，
∴∠ECH＝∠GAH，
∴AG∥CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠HCD＝∠HAF，
∵AG∥CE，
∴∠HCE＝∠HAG，
∴∠ECD＝∠GAF＝110°，
又∵CE⊥CF，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝20°，
∴∠AFC＝∠DCF＝20°．
8．解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2＝180°，
又∵∠2+∠CFE＝180°，
∴∠1＝∠CFE，
∴AB∥CD；
（2）GH⊥EG，理由如下：
由（1）知，AB∥CD，
∴∠AEF+∠EFC＝180°．
又∵∠AEF与∠EFC的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP（∠AEF+∠EFC）＝90°，
∴∠EPF＝90°，即EG⊥PF，
∵PF∥GH，
∴GH⊥EG．
（3）如图，
∵AB∥CD，FQ平分∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFN＝2∠2，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠AEP＝2∠2﹣2∠1＝2（∠2﹣∠1），
∵∠EQF＝∠2﹣∠1，
∴∠AEP＝2∠EQF．
9．（1）证明：过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）解：AB∥CD，过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED＝∠BEF+∠DEF，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（3）解：AB∥EF，过E点作AB∥EF，如图所示：
∵AB∥EF，
∴∠B+∠BEF＝180°，
∵AB∥EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF＝180°+180°＝360°，
∴∠B+∠D+∠E＝360°；
（4）解：∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F，过点F作AB∥FM，如图所示：
∵AB∥FM，结合（1）结论，
∴∠E＝∠B+∠EFM，
∵FM∥AB∥CD，结合（1）结论，
∴∠G＝∠GFM+∠D，
∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM，
∴∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F；
（5）解：∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，分别过点C和点D作AB∥CM和AB∥DN，如图所示：
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠B+∠BCM＝180°，∠NDE+∠DEF＝180°，∠NDC+∠MCD＝180°，
∴∠B+∠C+∠D+∠E＝540°，
故答案为：540°．

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