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贵阳市花溪区高坡民族中学2024-2025学年度第二学期4月质量监测
九年级 数学试卷
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1.已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm,那么直线l与☉O的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
2.下列说法错误的是( )
A.直径是圆中最长的弦 B.长度相等的两条弧是等弧
C.面积相等的两个圆是等圆 D.半径相等的两个半圆是等弧
3.如图所示,A,B,C是☉O上的三点,已知 ∠AOC=110°,则∠ABC的度数是( )
A.50° B.55° C.60° D.70°
4.为了测量一个铁球的直径,将该铁球放入工件槽内,测得的有关数据如图所示(单位:cm),则该铁球的直径为( )
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
5.如图所示,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ACD=30°,则∠BAD的度数是( )
A.30° B.50° C.60° D.70°
6.如图所示,已知∠ABC=60°,D为BA边上一点,BD=10,O为线段BD的中点,以点O为圆心,线段OB长为半径作弧,交BC于点E,连接DE,则BE的长是( )
A.5 B.5 C.5 D.5
7.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=135°,AC=4,则☉O的半径为( )
A.4 B.2 C.2 D.4
8.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为( )
A. B. C. D.
9.如图所示,AB是☉O的直径,若AC=4,∠D=60°,则BC的长等于( )
A.8 B.10 C.2 D.4
10.如图所示,△ABC的内切圆☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,若∠DEF=53°,则∠A的度数是( )
A.36° B.53° C.74° D.128°
11.如图所示,在△ABC中,O是AB边上的点,以O为圆心,OB为半径的☉O与AC相切于点D,BD平分∠ABC,AD=OD,AB=12,则CD的长是( )
A.2 B.2 C.3 D.4
12.如图所示,有一边长为6 cm的等边三角形ABC木块,点P是CA的延长线上的点,AP为15 cm,其中,,的圆心依次为A,B,C,则曲线PDFE的长是( )
A.18π cm B.15π cm C.20π cm D.21π cm
二、填空题:每小题4分,共16分.
13.如图所示,AB,CD是☉O的直径,=,若∠AOE=32°,则∠COE的度数是　 　.
14.如图所示,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB,E为上一点,若∠CEA=28°,则∠ABD=　 　.
15.如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,连接AC,若BD=AO=4,则AC的长度为　 　.
16.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置,则边BC扫过区域(阴影部分)的面积为　 　(结果用含π的式子表示).
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分10分)
如图所示,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,OP与☉O相交于点C,连接CB,∠OPA=40°,求∠ABC的度数.
18.(本题满分10分)
如图所示,已知△ABC是☉O的内接三角形,AD是☉O的直径,连接BD,BC平分∠ABD.
(1)求证:∠CAD=∠ABC;
(2)若AD=6,求的长.
19.(本题满分10分)
如图所示,AB为☉O的直径,D是弦AC延长线上一点,AC=CD,DB的延长线交☉O于点E,连接CE.
(1)求证:∠A=∠D;
(2)若所对的圆心角的度数为108°,求∠E的度数.
20.(本题满分10分)
如图所示,已知☉O的半径为5,PA是☉O的一条切线,切点为A,连接PO并延长,交☉O于点B,过点A作AC⊥PB,交☉O于点C,交PB于点D,连接BC.当∠P=30°时,
(1)求弦AC的长;
(2)求证:BC∥PA.
21.(本题满分10分)
如图所示,以△ABC的边AB为直径作☉O交BC于点D,已知BD=DC.
(1)求证:△ABC是等腰三角形;
(2)若∠A=36°,求所对圆心角的度数.
22.(本题满分12分)
如图所示是正在修建的某大门上半部分的截面,其为圆弧形,跨度CD(弧所对的弦)的长为3.2 m,拱高AB(弧的中点到弦的距离)为
0.8 m.
(1)求该圆弧所在圆的半径;
(2)在修建中,在距大门边框的一端(点D)0.4 m处将竖立支撑杆HG,求支撑杆HG的高度.
23.(本题满分12分)
如图所示,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠BOD=2∠A.
(1)写出图中一对你认为全等的三角形:　　　　　　;
(2)求证:AB⊥CD;
(3)若☉O的半径为4,AE∶EB=3∶1,求CD的长.
24.(本题满分12分)
如图所示,点A,B,C都在☉O上,连接AB,AC,OB,
OC,AC与OB相交于点D,∠BAC=∠ACO=30°,AC=6 cm.
(1)写出线段AB与OC的位置关系,并说明理由;
(2)求证:OB⊥AC;
(3)求由弦AB,AC与所围成的阴影部分的面积(结果保留π).
25.(本题满分12分)
(1)课本再现:在☉O中,∠AOB是所对的圆心角,∠C是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图(1)是其中一种情况,请你在图(2)和图(3)中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=
∠AOB;
(2)知识应用:如图(4)所示,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长.答案：
1.(A)
2.(B)
3.(B)
4.(B)
5.(C)
6.(A)
7.(B)
8.(A)
9.(D)
10.(C)
11.(A)
12.(A)
13.　64°　.
14.则∠ABD=　28°　.
15.　4　.
16.　π　.
17.解:∵PA与☉O切于点A,∴∠OAP=90°.
∵∠OPA=40°,∴∠AOP=50°.
∴∠ABC=∠AOP=25°.
18.(1)证明:∵BC平分∠ABD,
∴∠DBC=∠ABC.
∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC.
(2)解:∵∠CAD=∠ABC,∴=.
∵AD是☉O的直径,AD=6,
∴的长为××π×6=π.
19.(1)证明:如图所示,连接BC.
∵AB是☉O的直径,
∴AD⊥BC.
又∵AC=CD,
∴AB=BD.
∴∠A=∠D.
(2)解:∵所对的圆心角的度数为108°,
∴∠EBA=54°.
又∵∠EBA=∠A+∠D,∠A=∠D,
∴∠A=∠EBA=27°.
∴∠E=∠A=27°.
20.(1)解:如图所示,连接OA.
∵PA是☉O的切线,
∴∠PAO=90°.
∵∠P=30°,
∴∠AOD=60°.
∵AC⊥PB,PB过圆心O,
∴AD=DC.
在Rt△ODA中,AD=OA·sin 60°=,
∴AC=2AD=5.
(2)证明:∵AC⊥PB,∠P=30°,
∴∠PAC=60°.
∵∠AOP=60°,∴∠BOA=120°.
∴∠BCA=60°.∴∠PAC=∠BCA.
∴BC∥PA.
21.
(1)证明:连接AD(图略).
∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC.
∵BD=CD,∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.
(2)解:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=72°.
∴所对圆心角的度数为144°.
22.
解:(1)∵AB垂直平分CD,
∴圆心O在BA的延长线上.
连接OC,OG,如图所示.
设☉O的半径为r m,则OA=(r-0.8)m,
∵OB⊥CD,
∴CA=DA=CD=×3.2=1.6(m).
在Rt△OAC中,1.62+(r-0.8)2=r2,
解得r=2,
即该圆弧所在圆的半径为2 m.
(2)过点G作GE⊥AB于点E,如图所示.
∵DH=0.4 m,
∴AH=AD-DH=1.2(m).
∵∠GEA=∠EAH=∠GHA=90°,
∴四边形AHGE为矩形.
∴AE=GH,GE=AH=1.2 m.
在Rt△OEG中,OE===1.6(m),
∵OA=OB-AB=2-0.8=1.2(m),
∴AE=OE-OA=1.6-1.2=0.4(m).
∴GH=0.4 m,即支撑杆HG的高度为0.4 m.
23.
(1)△OCE≌△ODE
(2)证明:∵=,
∴∠COB=2∠A.
∵∠BOD=2∠A.
∴∠COB=∠BOD.
∴=.
∴EC=ED.
∵AB是☉O的直径,
∴AB⊥CD.
(3)解:∵AE∶EB=3∶1,OA=OB,
∴OB∶EB=2∶1.
∵OB=OC=4,
∴OE=EB=2.
∵AB⊥CD,
∴CE===2.
∴CD=2CE=4.
24.
(1)解:AB∥OC.理由如下:
∵∠BAC=∠ACO,
∴AB∥OC.
(2)证明:如图所示,连接BC.
∵∠BOC=2∠BAC=60°,OB=OC,
∴△BOC是等边三角形.
∴∠OCB=60°.
∴∠ACB=60°-30°=30°=∠BAC.
∴=.
∴AC⊥OB.
(3)解:∵AC⊥OB,
∴AD=CD=AC=3(cm).
在Rt△COD中,CD=3(cm),∠DCO=30°,
∴OD=CD=3(cm),OC=2OD=6(cm).
由题意,可知S阴影部分===6π(cm2).
答:由弦AB,AC与所围成的阴影部分的面积为6π cm2.
25.
解:(1)其他两种情况的图形如图①和图②所示.
①选择图①(答案不唯一).
若圆心O在∠ACB的内部.
如图③所示,连接CO,并延长CO交☉O于点D.
∵OA=OC=OB,
∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO.
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB.
∴∠ACB=∠AOB.
(2)如图④所示,连接OA,OB,OP.
∵∠C=60°,
∴∠AOB=2∠C=120°.
∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=∠APB=×(180°-120°)=30°.
∵OA=2,∴OP=2OA=4.
在Rt△PAO中,
由勾股定理,得PA===2.

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